空氣中水體溫度下降隨時間的變化模型

中國人民解放軍后勤工程學院 何昊男 韓 明 楊繼寶 丁志康

空氣中水體溫度下降隨時間的變化模型

中國人民解放軍后勤工程學院 何昊男 韓 明 楊繼寶 丁志康

本模型準備建立一個空氣中水體溫度下降隨時間的變化模型，當杯子中剛倒上一杯滾燙的水時，溫度傳感器采集數據，傳輸給處理芯片，芯片根據預先編好的溫降模型，計算出水體下降到人們需要的溫度時所需要的時間，然后達到這個時間后，提醒人們水的溫度已經適合飲用，讓人們不再錯過喝水的最佳時間。本研究采用最小二乘法準則進行曲線擬合，得到函數表達式的各個待定系數的值，最后再將擬合函數曲線與實際溫度下降曲線進行對比。

溫降模型；最小二乘法

1 制定計劃以及實驗探究

以不同體積的熱水作為探究的對象。將體積分別為250ml、350ml和滿杯的水加熱至沸騰，選用塑料杯和玻璃杯兩種容器來盛裝水，然后利用溫度傳感器對其降溫過程進行實時監測，記錄其溫度變化數據，利用計算機進一步分析處理。

實驗步驟：1）將沸水倒入杯中，將溫度傳感器探頭伸入水中，同時開始進行環境溫度與水體溫度的監測，每10s記錄一次數據。2）采集體積為350ml和滿杯的沸水的降溫過程溫度變化數據。3）處理實驗數據并且根據曲線特點選擇合適的函數進行擬合。

2 理論分析與數據處理

假設環境溫度不變，由牛頓的冷卻定律可知：將溫度為T的物體放入處于常溫的介質中時，T 的變化速率正比于T與周圍介質的溫度差。即：

求解微分方程可得：

其中T(t)是實時溫度，t是時間，T0為環境溫度，c、k是待定參數。理論上，當開始降溫時于是上式變為：

因此C就是熱水與環境的最大溫差。

基于上面的分析，可以再測量任一時刻的水溫，即可以確定K的值。同時，僅改變熱水的體積不會對C值產生影響，只影響K。此外，根據熱水的冷卻時間與水杯的體積成反比的特性可知：

其中，a, b為待定系數，V為熱水體積?？梢酝ㄟ^改變熱水體積的方式確定a, b，從而得到水溫（給定環境溫度以及熱水體積）隨時間的變化情況：

這種計算的優點在于，不需要太多的水溫變化數據，只需保持其它實驗條件不變的情況下，改變熱水的體積，每種體積下測量兩次溫度（包括初始溫度），就可以得到水溫隨時間變化的具體公式，進而利用這個公式預測給定時刻的水溫。缺點是缺乏對具體實驗環境的考慮，比如：水杯的材質、水杯的密封程度（開口或閉口）等可能會影響水溫變化的條件，為了克服理論計算的不足，可以從具體實驗環境下得到的數據出發，采用函數擬合的方法來充分提取數據信息，預測不同時刻的水溫。

3 基于實驗數據與函數擬合的水溫下降模型

3.1 擬合的思路

根據牛頓冷卻定律，可以提出類似的擬合函數T(t)，令：

其中，T0是環境溫度，c、k、a、b是待定系數，V為熱水體積，Ti是ti時刻對應的溫度值。J(T0, c, k)為各時刻ti對應的計算值T(ti)與實際溫度值Ti間誤差的平方和。

本研究采用最小二乘法準則進行曲線擬合。其基本思路是根據構造好的擬合函數T(t)，計算T(ti)，使得T(ti)與實際溫度值Ti間誤差的平方和最小，即：尋找非線性規劃minJ(T0, c, k)的最優解。這種擬合方法稱為最小二乘擬合。

3.2 模型求解與數據實例

保持其它實驗條件不變，僅改變熱水的體積進行降溫實驗，將數據導入MATLAB軟件編程進行函數擬合。為了測試模型效果，分別選用不同規格以及型號的水杯盛放不同體積的熱水，并在恒溫箱中進行實驗。

首先利用烘箱保持環境溫度為40℃的實驗數據進行數據擬合（由于水杯剛放入設備時環境溫度不穩定，因此計算使用數據是從玻璃杯裝的熱水溫度降到74.1℃時篩選其中的一部分；同時塑料杯的熱水溫度從74℃開始篩選），實驗預設參數以及擬合系數的計算結果如下所示：

表1 熱水降溫公式的數據擬合系數列表

可以看出，當實驗初始溫度固定后，即使體積變化，c的值基本上變動不大，接近理論模型值，約為。

4 結論

為了檢驗模型計算效果，可以根據計算結果構造擬合曲線并繪圖與真實數據進行比較，如圖1與圖2，可以看出擬合曲線在絕大多數時刻都與真實溫度很接近，如果不用工具測量，人體很難感受到這種差異。因此利用本模型來預測熱水溫度是有效的。

此外，選用不同的時間與體積單位也會有不同公式，選用不恰當的單位進行計算，在實際計算中有可能會因為量綱而產生較大的誤差，但通過實例計算，反復觀察計算效果，本文選用的時間單位是分鐘，體積V的單位是ml進行計算，得到了較好的結果。同時，初始計算溫度對參數也是有影響的，選用不同的數據會得到不同的降溫公式。因而，實例計算得到的模型只能預測74℃以下的兩類型號玻璃杯（在相應三種熱水體積）的降溫情況。但是不管那種公式，擬合誤差都比較小。說明這種數據擬合的方法預測效果是穩定的、合理的。

圖1 250ml閉口塑料杯降溫曲線圖

圖2 250ml閉口玻璃杯降溫曲線圖

[1]葛新石,葉宏等.傳熱和傳質基本原理[M].北京:化學工業出版社,2009.

[2]姜啟源,謝金星等.數學建模[M].北京:高等教育出版社,2005.