利用“數(shù)學(xué)工具”探索數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)模式初探

羅海霞

摘要：問題解決是數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一。從中職生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)出發(fā)，充分挖掘數(shù)學(xué)工具輔助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的作用，探索問題解決教學(xué)模式的主要特征、教學(xué)程序及評價方法等。

關(guān)鍵詞：教學(xué)模式；問題解決；數(shù)學(xué)工具

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094-（2017）02/03C-0018-04

“數(shù)學(xué)工具”指數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為更好地促進(jìn)并達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)所采用的工具，主要指數(shù)學(xué)軟件或數(shù)學(xué)辭典等。本課題指幾何畫板、計算器、EXCEI等較為普及的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件。這些教學(xué)軟件具有強(qiáng)大的計算、作圖、列表、動畫、演示等功能。“在講抽象的概念之前，運(yùn)用計算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件的計算、演示、模擬功能，讓學(xué)生自己去分析、發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，在真正講授抽象概念時，就不會感到突然。在講述定理時，也可以參照這個辦法。在計算機(jī)的幫助下，可以將以往繁重的、手工不能實(shí)現(xiàn)的計算變得輕松起來……這樣就可以將實(shí)際問題引進(jìn)課堂，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實(shí)際價值”。研究證明，數(shù)學(xué)工具可以彌補(bǔ)學(xué)生抽象思維能力的不足，讓他們在動手實(shí)踐的過程中理解知識、應(yīng)用知識，從而促進(jìn)他們利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行計算、思維和應(yīng)用的能力。據(jù)此，筆者嘗試在中等職業(yè)學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)工具的教學(xué)，并根據(jù)中職生的認(rèn)知特點(diǎn)和教學(xué)規(guī)律，構(gòu)建起問題解決教學(xué)模式。

一、數(shù)學(xué)工具輔助學(xué)生問題解決學(xué)習(xí)的可能性

問題解決教學(xué)的教育價值在于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會觀察、分類、概括、歸納、一般化、特殊化、分析解決問題的思維能力，運(yùn)用原有的知識和經(jīng)驗(yàn)解決新的陌生的問題。《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計算器、計算機(jī)進(jìn)行計算的能力……學(xué)會分析問題、解決問題的問題解決的能力”。新的課標(biāo)要求充分明確數(shù)學(xué)工具的功能與價值。我們不能再簡單滿足于用幾何畫板研制個別課例，或?qū)⒂嬎闫鳌XCEL的部分操作案例僅僅作為教材的附錄加以介紹，而需要利用數(shù)學(xué)工具引導(dǎo)中職生開展問題解決教學(xué)，并逐步構(gòu)建有效的教學(xué)模式。

中職生大部分是怕學(xué)數(shù)學(xué)的，具體表現(xiàn)在“認(rèn)知障礙、記憶障礙、閱讀障礙、運(yùn)算障礙”等方面的困難，一部分學(xué)生“多動、分心、固執(zhí)、笨拙、沖動、孤僻”的行為特征也不利于學(xué)好數(shù)學(xué)。心理學(xué)家沃納認(rèn)為“處于這種狀態(tài)的學(xué)生，往往在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面表現(xiàn)出審題能力差，抽象思維能力薄弱，空間認(rèn)知能力低，記憶力低，導(dǎo)致的運(yùn)算障礙等”。針對這樣的學(xué)生“在學(xué)力補(bǔ)救中，將教學(xué)方式結(jié)構(gòu)化（從個別教學(xué)到小組教學(xué)），使學(xué)生大量體驗(yàn)自我表達(dá)及和別人進(jìn)行問答的習(xí)慣”。

問題解決學(xué)習(xí)具有在教學(xué)方式結(jié)構(gòu)化的情境中開展學(xué)習(xí)的特點(diǎn)。問題解決學(xué)習(xí)起源于20世紀(jì)50年代美國的醫(yī)學(xué)教育。它的原型基本特征有五個方面：（1）將學(xué)生分組；（2）組內(nèi)對問題進(jìn)行研究和討論學(xué)習(xí)；（3）學(xué)生進(jìn)行自我指導(dǎo)；（4）再次集合匯報各自學(xué)習(xí)心得，并處理問題；（5）學(xué)生對自己的工作進(jìn)行自評和組評。通過問題解決對數(shù)學(xué)知識形成深刻的、結(jié)構(gòu)化的理解，形成問題解決的技能，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力。問題解決是貫穿學(xué)習(xí)始終的核心，主要特征包括目的指向性；心理過程的一系列操作序列為了達(dá)到某種終結(jié)狀態(tài)，而采用的認(rèn)知操作過程。

同時，我們也應(yīng)該警惕問題教學(xué)在實(shí)踐中的不足，“忽略操作的作用而總是保持在語言水平上，特別在數(shù)學(xué)教育中這是一個嚴(yán)重的錯誤……操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)遠(yuǎn)非阻礙了演繹思想的后期發(fā)展，事實(shí)上它組成了一個必要的準(zhǔn)備”[5]。因此使用數(shù)學(xué)工具是為了達(dá)到目的而選擇的操作手段，是認(rèn)知操作過程的一部分，是認(rèn)知操作手段的延伸和拓展，是進(jìn)行問題解決學(xué)習(xí)不可或缺的工具。數(shù)學(xué)工具在輔助問題解決學(xué)習(xí)中具有以下特點(diǎn)：第一，形象性。借助數(shù)學(xué)工具可以形象地展示數(shù)學(xué)概念、規(guī)律。第二，實(shí)時性。數(shù)學(xué)工具可以隨時根據(jù)學(xué)習(xí)的需要展示數(shù)學(xué)對象。第三，替代性。數(shù)學(xué)工具可以替代中職生開展計算、作圖、制表等工作。

二、中職生使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決學(xué)習(xí)的基本程序

“數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)是通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生親身體驗(yàn)和感受分析問題、解決問題的全過程。它強(qiáng)調(diào)使用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、合作意識和實(shí)際操作能力。”運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行問題解決教學(xué)程序包括以下六個環(huán)節(jié)。

（一）基于問題解決的教學(xué)設(shè)計

問題解決在問題空間中進(jìn)行搜索，由一定的情景引起的，按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知活動、技能等，經(jīng)過一系列的思維操作，使問題得以解決的過程。問題的設(shè)計是整個教學(xué)過程的關(guān)鍵。所提出的問題既要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又要包括即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，且能引導(dǎo)學(xué)生自主探究不斷深入。關(guān)于問題的設(shè)計流程如下圖：

圖1 問題的設(shè)計流程圖

（二）數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用準(zhǔn)備

數(shù)學(xué)知識包括數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、運(yùn)算方法等。此處的知識傳授，有別于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，通過反復(fù)訓(xùn)練，強(qiáng)化知識認(rèn)知。這樣的模式固然強(qiáng)化了基礎(chǔ)，然而卻犧牲了學(xué)生的問題意識、創(chuàng)造思維和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。本模式則強(qiáng)調(diào)通過問題的引導(dǎo)，教師指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過查找、思維等過程，親身體會知識產(chǎn)生的過程，這樣的學(xué)習(xí)具有靈活性和可變通性。

（三）建立問題解決數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是將現(xiàn)實(shí)問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實(shí)際問題，并為解決現(xiàn)實(shí)問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo)。通常用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型就是溝通現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)工具的必要途徑。

（四）確定數(shù)學(xué)工具和操作路徑

當(dāng)建立在數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)模型一經(jīng)確立，解決這個模型對應(yīng)的問題，需要學(xué)生尋找合適的數(shù)學(xué)工具。如模型是二次函數(shù)最值問題，可以選擇幾何畫板中的作圖工具，很容易地獲得結(jié)果。而無需運(yùn)用二次函數(shù)圖像法求最值或配方法求最值，因?yàn)檫@些方法對于多數(shù)中職生是難以理解的，更無從運(yùn)用它們解決問題。借助工具，不僅可以幫助學(xué)生克服因解決數(shù)學(xué)模型帶來的思維障礙，更可以幫助學(xué)生順利地發(fā)展建模思維。