級聯(lián)型H橋逆變器的階梯波特定消諧技術(shù)研究

馬昕雨

摘 要：在高壓、大功率場合，級聯(lián)型多電平逆變器得到了越來越多的應(yīng)用。該文圍繞級聯(lián)H橋逆變器SHEPWM非線性方程組的求解問題，分別采用了牛頓法和模擬退火算法求解該非線性方程組，在對兩種算法進行比較的同時，分析了H橋逆變器級聯(lián)數(shù)目和調(diào)制比對輸出波形改善和方程求解的影響，并利用Multisim仿真對結(jié)果進行了檢驗，最后提出了級聯(lián)型多電平逆變器的最優(yōu)控制策略。

關(guān)鍵詞：牛頓法 模擬退火算法 Multisim仿真 回歸分析

中圖分類號：TM464 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）03（b）-0245-08

級聯(lián)型多電平變換器由若干個變換器模塊單元串聯(lián)而成以實現(xiàn)高電壓、多電平的輸出。級聯(lián)型多電平變換器模塊單元常采用3電平為輸出的H橋變換器單元。

特定諧波消除脈寬調(diào)制技術(shù)（Selected Harmonic Elimination Pulse Width Modulation，SHEPWM）通過選擇特定的開關(guān)時刻，在滿足期望的輸出基波電壓的同時，來消除選定的低次諧波，進而改善輸出電壓的波形質(zhì)量。由于級聯(lián)型多電平變換器輸出電壓是各H橋變換器單元輸出電壓的疊加，電平數(shù)的增加可使輸出的階梯形電壓更加接近正弦波，進一步減少諧波含量。

在級聯(lián)型H橋變換器系統(tǒng)中，對于第i個H橋變換器單元，當或開通時輸出0電平，即輸出電壓為0；當開通時輸出1電平，即輸出電壓為；當開通時輸出-1電平，即輸出電壓為；對于級聯(lián)型H橋變換器整體輸出電平數(shù)可為。

當H橋變換器單元直流側(cè)獨立電壓都為時，可輸出電平數(shù)的階梯型電壓，單個H橋變換器的輸出波形總是具有半波奇對稱性和1/4對稱性。

通過對該波形進行傅里葉級數(shù)分解，對于的第個奇數(shù)次諧波的幅值可表示為：

對于個H橋變換器單元的級聯(lián)型變換器系統(tǒng)，在滿足期望基波電壓幅值的條件下可消去特定諧波的數(shù)量為 （n-1）。設(shè)觸發(fā)角為，輸出電壓的基波分量幅值為。定義調(diào)制比幅值。

根據(jù)上述約束條件可寫出關(guān)于的非線性代數(shù)方程組：

同時基于階梯波特定消諧技術(shù)的輸出電壓波形質(zhì)量，可通過總電壓諧波畸變率（Total Harmonics Distortion，THD）來描述，如下式：

在此基礎(chǔ)上，該文在不同的級聯(lián)模塊數(shù)和調(diào)制比下，求出能消除特定次數(shù)諧波的相應(yīng)開關(guān)角以及THD，并探討分析在相同值下，不同模塊數(shù)所對應(yīng)的開關(guān)角的相互包含關(guān)系，分析隨著模塊數(shù)增加，輸出電壓波形質(zhì)量的改善特性。最后針對模塊數(shù)的級聯(lián)型H橋變換器系統(tǒng)，結(jié)合階梯波調(diào)制和輔助控制方法確定最優(yōu)控制各模塊開關(guān)策略。所以，解決問題的關(guān)鍵在于求解非線性方程組（2），并根據(jù)總電壓諧波畸變率來衡量所得解的優(yōu)劣。非線性方程組的求解方法，是多電平逆變器SHEPWM 方法及其在線實現(xiàn)的前提和基礎(chǔ)。非線性方程組求解的關(guān)鍵，包括高質(zhì)量初值的選取和高效率的迭代算法兩個方面。采用三角載波正弦脈寬調(diào)制（sinusoidal pulse width modulation， SPWM）法求取SHEPWM 問題初值的方法，對提高初值求取速度和成功率有較好的效果，但三角載波SPWM方法較適合于硬件電路實現(xiàn)，用于以DSP為核心的三電平逆變器數(shù)字控制系統(tǒng)中求取初值，有較大的困難。

考慮到根據(jù)非線性方程組不同解法的優(yōu)缺點，該文用牛頓法和模擬退火算法兩種算法進行計算比較。然后橫向分析兩種算法得到的結(jié)果的差異，再縱向分析調(diào)制比和級聯(lián)H橋逆變器數(shù)目對波形改善的影響。最后得到最佳的調(diào)制比和級聯(lián)H橋數(shù)目。

1 牛頓法

1.1 模型建立

將非線性方程組（2）改寫為：

牛頓法是解上述非線性方程組最常用的有效方法，它可看成是時單個方程牛頓法的推廣。

設(shè)為方程（2）的近似解，在處展開可得：

它可表示為向量形式：

這里就是在處的雅可比矩陣，求此線性方程組的解，并記作，當非奇異時，則得

稱為解方程組（2）的牛頓法。

1.2 模型求解

由于牛頓法求解非線性方程組對初值的設(shè)置要求很高，為了避免最后結(jié)果不收斂，求解中降低了對結(jié)果精度的要求，并減小了總的迭代次數(shù)，最后得到如下結(jié)果，見表1。

從上述結(jié)果可以看出，牛頓法對三元非線性方程組求解的結(jié)果較好，THD均小于0.5%，即在計算3個H橋變換器級聯(lián)的時候用牛頓法求解的結(jié)果可以接受。但5個H橋變換器級聯(lián)的時候THD較大，說明對諧波的消除效果不好，因此未繼續(xù)增加H橋逆變器的級聯(lián)數(shù)目，后面將采用更精確的算法進一步計算。

2 模擬退火算法

2.1 模型建立

模擬退火算法首先要實現(xiàn)標準進化策略。實現(xiàn)過程如下所述。

（1）確定問題的表達方式，這種表達式中個體由目標變量和標準差兩部分組成，每部分又可以有個分量，即：

和之間的關(guān)系是：

其中，為父代個體的第個分量；為子代新個體的第個分量；為服從標準正態(tài)分布的隨機數(shù)；為針對第個分量重新產(chǎn)生一次符合標準正態(tài)分布的隨機數(shù)；為全局系數(shù)，常取1；為局部系數(shù)，常取1。（9）式表明，新個體是在舊個體基礎(chǔ)上隨機變化而來。

（2）隨機生成初始群體，并計算其適應(yīng)度。進化策略中初始群體由個個體組成，每個個體內(nèi)又包含個、分量，產(chǎn)生初始個體的方法是隨機生成。為了便于和傳統(tǒng)的方法比較，可以從某個初始點出發(fā)，通過多次突變產(chǎn)生個初始個體，該初始點從可行域中用隨機方法選取，初始個體的標準差。

（3） 計算初始個體的適應(yīng)度，如若滿足條件，終止；否則，往下進行。

（4） 根據(jù)進化策略，用下述操作產(chǎn)生新群體。

①重組：將兩個父代個體交換目標變量和標準差，產(chǎn)生新個體。一般目標變量采用離散重組，標準差采用中值重組。

②突變：對重組后的個體添加隨機量，按照式（9）產(chǎn)生新個體。

③計算新個體適應(yīng)度。

④選擇：按照選擇策略，挑選優(yōu)良個體組成下一代群體。

（5）反復(fù)執(zhí)行（4）直到達到終止條件，選擇最佳個體作為進化策略的結(jié)果。

2.2 模擬退火算子

該文將進化策略的當前進化代數(shù)作為模擬退火的退火時間，根據(jù)相關(guān)文獻中提出的模擬退火溫度更新函數(shù)的啟發(fā)式準則，從而確定了模擬退火的溫度更新函數(shù)和隨機向量的產(chǎn)生方式。

2.2.1 模擬退火操作具體步驟

（1）設(shè)模擬退火初始溫度為，進化策略當前群體中的個體記為，。為群體中的個體數(shù)目，為非線性方程組中變量的個數(shù)。當前進化代數(shù)對應(yīng)的溫度更新函數(shù)為；，式中≥1為給定常數(shù)。

（2）通過下式產(chǎn)生隨機向量：

其中，；；為上均勻分布的隨機數(shù)為符號函數(shù)。

（3）在的基礎(chǔ)上產(chǎn)生一個新的試探解，并計算其對應(yīng)的適應(yīng)度和新試探解被接受的概率：

其中，是對目標函數(shù)進行適當比例變換的常數(shù)，它適合于目標極小化。

（4）產(chǎn)生上的均勻分布的隨機數(shù)，若，則接受新試探解，即置。對種群中的個體均進行上述的操作。

2.2.2 改進的進化策略算法

一維柯西密度函數(shù)集中在原點附近，定義為：

其中，為比例參數(shù)。相應(yīng)的分布函數(shù)為：

密度函數(shù)類似于高斯密度函數(shù)，其差異主要表現(xiàn)在：柯西分布在垂直方向略小于高斯分布，而柯西分布在水平方向上越接近水平軸，變得越緩慢，因此柯西分布可以看作是無限的。根據(jù)柯西分布和高斯分布的相似性和柯西分布具有較高的兩翼概率特性，即柯西分布有一條很長的尾巴。所以，柯西分布容易產(chǎn)生一個遠離原點的隨機數(shù)，它比高斯突變產(chǎn)生的隨機數(shù)具有更寬的分布范圍，如果用柯西突變來產(chǎn)生后代，這就意味著利用柯西突變有可能很快跳出局部極小的區(qū)域。但是，它的較小的中央部分卻是它的一個弱點，使得它在進行更精確的局部搜索方面的性能降低，而高斯突變算子可以使子群在局部空間盡可能的細致搜索。為了既能發(fā)揮柯西突變算子產(chǎn)生大的突變能力，以減小陷入局部最優(yōu)點的危險，又能利用高斯突變算子局部搜索能力佳的優(yōu)點，以提高收斂速率。在此處使用一個折衷的方案，將柯西突變算子和高斯突變算子結(jié)合起來，定義一個新的突變算子，稱之為“平均突變算子”（mean mutation operator， MMO）。所以，新的突變形式為：

式（15）中的即為平均突變算子，其中參數(shù)是的一個柯西分布的隨機變量比例參數(shù)，用于更新每一個分量，其他的參數(shù)與式（9）中的相同。

2.3 模擬退火算法的進化策略求解非線性方程組

算法流程：

設(shè)方程組是個方程個未知量的方程組

（1）確定個體的表達方式：表達式中個體由目標變量和標準差兩部分組成，每部分有個分量，即：

其中，為非線性方程組中變量的個數(shù)。

（2）隨機生成初始群體：進化策略中初始群體由個個體組成，每個個體內(nèi)包含個、分量，產(chǎn)生初始個體的方法是隨機生成，初始個體的標準差。

（3）計算適應(yīng)度：設(shè)，則方程的解是使的值。取適應(yīng)度函數(shù)，則方程組的精確解即是使時的值。因而的值越小，方程組解的近似程度越好。終止條件選擇一個很接近0的值，當最小適應(yīng)度小于等于時終止。

（4）如果滿足條件，終止，選出最優(yōu)解；否則，繼續(xù)往下進行。

（5）根據(jù)進化策略，用下述操作產(chǎn)生新群體：

①重組：隨機選擇2個個體，產(chǎn)生一個新個體。其中目標變量采用離散重組，標準差采用中值重組。

②突變：對重組后的個體添加隨機量，按照式（15）產(chǎn)生新個體。

③計算新個體的適應(yīng)度。

④此時引入模擬退火算子，對突變后的個體進行模擬退火過程，生成新的個個體。

⑤選擇：采用選擇策略，挑選優(yōu)良個體組成下一代群體。

⑥反復(fù)執(zhí)行（5），直到達到終止條件，選擇最佳個體作為進化策略的結(jié)果。

2.4 模型求解

表2可以看出在3個H橋逆變器級聯(lián)時模擬退火算法求得的開關(guān)角所對應(yīng)的THD均在0.15%以內(nèi)，可以說明結(jié)果精確度很高。在5個和15個H橋逆變器級聯(lián)時求得的開關(guān)角所對應(yīng)的THD也均在0.36%和1.8%以內(nèi)，進一步說明了退火算法的精確性。

2.5 較多數(shù)目H橋逆變器級聯(lián)時的討論

當20個H橋逆變器級聯(lián)時，由于級聯(lián)的數(shù)目較多，再用THD衡量其對波形的改善變得不全面，這里綜合均衡變換功率以及產(chǎn)生波形的質(zhì)量制定了新的評定標準，再次利用模擬退火算法求得的開關(guān)角集合見表3。

可以看出，當20個H橋逆變器級聯(lián)時，取m =0.7，觸發(fā)角從小到大見表4，是最優(yōu)的控制策略。

3 結(jié)果分析

3.1 模型對比

理論上牛頓法和模擬退火法都能找到最優(yōu)解，但通過前面的模型建立和求解，可以發(fā)現(xiàn)這兩種算法都有著鮮明的特點，在實際應(yīng)用中分別適用于各自相應(yīng)的范圍。

牛頓法的最大優(yōu)點在于迭代速度快，程序簡單，適用于數(shù)據(jù)量較大的計算，牛頓法除了在三電平逆變器SHEPWM非線性方程組的求解中有廣泛應(yīng)用，電力系統(tǒng)的潮流計算最常用的也是牛頓拉夫遜算法，這都說明了牛頓法操作簡便易于求解。但在對精度要求較大的科學計算中，牛頓法又因為其對初值要求高，Hesse矩陣可能是奇異矩陣導(dǎo)致結(jié)果不收斂而存在局限性。在該文中牛頓法最后的求解也存在較大誤差。

模擬退火法相比于牛頓法來說求解精度大大提高，并且對初值的要求低，避免了繁瑣的初期數(shù)據(jù)處理。另外，模擬退火法對目標函數(shù)的邊界條件沒有要求，適用于大部分實際問題。相比于其他啟發(fā)式算法，模擬退火法不但能尋求到全局最優(yōu)解，并且程序較為簡單。但和牛頓法相比，模擬退火法的計算大，程序復(fù)雜并且運行時間長。

3.2 數(shù)據(jù)分析

針對模擬退火算法求解的開關(guān)角以及對應(yīng)的THD，從不同調(diào)制比對THD的影響、不同調(diào)制比對開關(guān)角選擇的影響以及不同調(diào)制比下開關(guān)角的包含關(guān)系三個方面分析數(shù)據(jù)。

（1）不同調(diào)制比對THD的影響見圖1。

可以看出，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越少時，相對應(yīng)的THD越小，而當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)相同時，不同的調(diào)制比對THD基本無影響的影響。可以理解，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越多時，迭代求解的次數(shù)越多，涉及的相關(guān)參數(shù)也越多，因此導(dǎo)致誤差較大。

（2）不同調(diào)制比對開關(guān)角的影響見圖2。

可以從折線圖看出，隨著調(diào)制比從小到大變化，開關(guān)角呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，并且在調(diào)制比小的時候開關(guān)角更分散，調(diào)制比越大開關(guān)角的分布越集中。說明調(diào)制比的大小影響了開關(guān)角的取值范圍的大小，在實際應(yīng)用中應(yīng)該選取適宜的調(diào)制比，以給開關(guān)角的選擇留取充分的裕量。

（3）不同調(diào)制比下開關(guān)角的包含關(guān)系見圖3。

根據(jù)所求的數(shù)據(jù)，利用SPSS進行回歸分析，得到結(jié)果如圖3。為了簡便只選取了0.7、0.8、0.9、1四個調(diào)制比，但可以清楚地看出，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目越大時，其對應(yīng)的開關(guān)角包含級聯(lián)的H橋數(shù)目小的開關(guān)角。即較大時對應(yīng)的開關(guān)角包含較小時對應(yīng)的開關(guān)角，這樣會在實際生產(chǎn)應(yīng)用中可以大大簡化計算。

綜上所述，并不是級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目越多，對輸出波形的改善越好，同時調(diào)制比越大，開關(guān)角的可選取范圍越小，當調(diào)制比大時對應(yīng)的開關(guān)角包含調(diào)制比小時對應(yīng)的開關(guān)角。

4 仿真實驗

在上述建模分析之后，為了更進一步的明確結(jié)果，我們利用退火模擬法求得的數(shù)據(jù)，通過Multisim進行了仿真實驗。仿真結(jié)果見圖4。

通過仿真我們可以得出以下結(jié)論：

（1）通過仿真結(jié)果可以清晰地看出，在一定范圍內(nèi)，級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越多，輸出的波形越接近于正弦波。

（2）當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目超過15個時，波形會發(fā)生一定的畸變，如圖4，，，在15個和20個H橋逆變器級聯(lián)時，正弦波會呈現(xiàn)近似尖頂波的趨向。

（3）級聯(lián)的H橋逆變器不一定越多越好，如圖4，和相比，20個H橋逆變器級聯(lián)比15個H橋逆變器級聯(lián)波形畸變更嚴重。

綜上所述，當級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目超過一定范圍的時候，此時會對波形的改善產(chǎn)生負面影響，總體趨勢是波形的質(zhì)量隨著級聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目先提高后降低。

5 總結(jié)與展望

5.1 模型優(yōu)點

該文首先利用了傳統(tǒng)的牛頓法求解了級聯(lián)H橋逆變器SHEPWM非線性方程組，同時又使用了模擬退火算法再次對該方程進行了求解，對兩種算法的優(yōu)劣進行了對比，同時得出了兩種方法的適用范圍，有實際應(yīng)用意義。在分析H橋逆變器級聯(lián)數(shù)不同對解的包含關(guān)系影響時，該文利用了SPSS進行回歸分析，同時用散點圖簡單明了的展示了結(jié)果。

5.2 模型缺點

由于牛頓法和模擬退火法本身存在的缺陷，導(dǎo)致當H橋逆變器級聯(lián)數(shù)增多時，方程的收斂效果并不好，并且誤差較大。在對20個H橋逆變器級聯(lián)進行最優(yōu)控制時，為了進一步簡化計算，考慮的因素較少。

5.3 模型展望

該文在傳統(tǒng)的牛頓法的基礎(chǔ)上使用了啟發(fā)式算法，適合對精度要求較高并且計算量相對較小時的計算。同時求得了H橋逆變器級聯(lián)數(shù)不同對解的包含關(guān)系，對以后的科學計算進行了簡化。該文還得出了H橋逆變器級聯(lián)數(shù)對波形改善的影響，得出了并不是級聯(lián)的H橋逆變器越多對波形的改善越好，對工程設(shè)計有實際意義。

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