用數學知識設計一個鏤空的花瓶

鄭祥+謝作如

制作一個鏤空花瓶的想法，最初源于學校開設甌窯課程的蔣老師。他想做一個瓶身由扭轉的柱子構成，看起來特別有創意和藝術感的花瓶，如圖1所示。但是，這種扭轉的柱子結構很難用手捏出來，即使捏出來了一時半會兒也很難定型，只能通過灌漿法向模具中灌漿來完成定型。于是，他希望我們能用創客空間里的3D打印機來制作模具。但由于當時的3D建模水平比較弱，我們覺得沒法做出這種扭曲旋轉的效果，只好放棄了。直到現在看到了IME3D提供的3D程序員軟件，才想到了解決的方案。

創意分析

一個瓶身由柱子扭轉而成的鏤空花瓶，主要由底盤和瓶身兩個部分組成。其中，瓶身是由多根柱子扭轉而成的，“如何讓這些柱子均勻地分布在底盤（圓形）的邊緣”成了這個想法能否實現的關鍵，而在3D建模中柱子與底盤的位置關系用平面坐標（x，y）就可確定，要想確定柱子的平面坐標（x，y）就需要一定的數學知識的支持。

3D程序員軟件是一款用代碼編程的形式來實現三維建模的軟件，支持以各種數學公式生成模型的方式。只要找到柱子旋轉的規律，就能用一個循環來批量生成旋轉的柱子，從而實現這個花瓶的建模。3D程序員學習版的下載地址是http：//www.ime3d.com/。

數學分析

設定底盤的半徑為30，柱子的平面坐標為（x，y），柱子的數量為16根，可考慮從以下幾方面思考問題。

思路一：通過圓的函數公式來尋找柱子的平面坐標（x，y）

圓的函數公式是（x-a）2+（y-b）2=r2，由于模型的中心位置為原點（0，0），因此該圓的公式可以簡化為x2+y2=r2。設定底盤的半徑為30，則x的范圍為[-30，30]，y坐標則可用x來表示，y=。

然而，思路一中根據x坐標無法簡單有效地實現柱子在底盤上的均勻分布，如上頁圖2圓的函數曲線所示，因此放棄思路一。

思路二：通過角度來確定柱子的平面坐標（x，y）

要實現柱子在底盤上位置的均勻分布，其實就是在底盤上進行16等分，而這16個坐標位置則可以用角度θ來表示。通過三角函數即可得出柱子的橫坐標x=rcosθ，縱坐標y=rsinθ，r為底盤的半徑，θ的范圍是[0，360]，如圖3所示。

按照思路二的分析，在編程過程中代表角度的循環變量θ的變化范圍是0至360度，步長為22.5（即360/16）度，柱子的平面坐標為（rcosθ，rsinθ），r=30。

編程實現

按照以上分析進行編程建模，采用的建模軟件為3D程序員。

步驟一：創建半徑為30，高度為3的底盤

模型拉伸的模型居中屬性設為：不居中，制作花瓶底盤的效果如圖4所示。

步驟二：通過循環模塊確定16根柱子的平面坐標

根據數學分析中的思路二，可以確定循環模塊的幾個參數設置，循環變量θ的變化范圍：0～360，循環步長：22.5（即360/16）度，16根柱子所在平面上的坐標公式：（rcosθ，rsinθ），半徑r：30。

以下是通過以上參數，設置的尋找16根柱子坐標的編程腳本，柱子截面以圓形為例，編程確定16根柱子的平面坐標具體設置如圖5所示。

步驟三：通過高級拉伸模塊完成對16根柱子的扭曲拉伸

通過編程腳本中的循環模塊確定16根柱子的平面坐標后，就可通過高級拉伸模塊完成這16根柱子的添加。

高級拉伸模塊的屬性設置可自行調整，高級拉伸制作螺旋結構的瓶身的設置如圖6所示。

步驟四：通過布爾合并完成底盤和瓶身的合并，如圖7所示。

步驟五：修改參數，調整模型

根據生成模型的外觀，適當地進行調整，如將底盤半徑適當擴大為32，效果如圖8所示。

拓展升級

以上是利用三角函數和圓軌跡的關系，制作瓶身螺旋結構的花瓶的基本過程。除此之外，可以對模型的高度層數、扭曲角度，以及循環體中的循環步長等參數進行設置，可以調整出不同的效果。其中，高度層數的參數設置為1～5，會展現不同的拉伸效果，而循環步長則可以改柱子的數量。

圖9的3D模型是不是很像一個藝術花瓶，其高度層數為4。這個螺旋花瓶的腳本代碼如圖10所示。不過，學生說這不像花瓶，倒像果籃，也有學生說這是一個藝術垃圾桶。但不管如何，這種有規律的模型結構，很適合用3D程序員來實現。

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