構建數學模型 深化解題策略
——以“K”字形圖的模型為例

劉雪琴

（永泰縣青云中學，福建 福州 350700）

構建數學模型 深化解題策略
——以“K”字形圖的模型為例

劉雪琴

（永泰縣青云中學，福建 福州 350700）

在平面幾何教學中，構建“一線三等角”的“K”字形圖模型可為學生提供決同類數學問題的方向，優化解題方法與技巧，擴大解題思路，深化解題策略。

“一線三等角”；“K”字形圖；數學模型；深化解題策略

數學模型是對客觀現象中的數學內容的高度抽象與概括，是一種關于現象數量本質的簡練表達。模型思想的建立是學生體會與理解數學與外部世界聯系的基本途徑。教學中應用模型思想能找到解同類數學問題的通性通法，擴大解題思路，深化解題策略。文章以“一線三等角”的“K”字形圖的建模問題為例，對如何構建數學模型一深化解題策略問題進行一些探討。

一、探索模型起源，樹立模型意識

數學課本中一些典型定理證明、例習題與其變式、延伸有的具有一定特征與共性，可抽象出相應的模型，把這些模型置于一定數學背景下所編制的綜合題，難點多、綜合性強，難以找到解決問題的突破口，教學中若能善于發現、挖掘出這類（或幾類）問題之間的本質聯系，構建出同類問題的模型，比如“K”字形圖問題、“最短路程問題”“含字母參量問題”等可以讓學生更好地體會模型知識的內在本質特征，熟悉它們的解法，遇到類似問題能舉一反三，在勾股定理教學時，利用美國總統的證明方法引導學生發現實用面積法時圖形具有的特征，由此展開對這類圖形進行探究，挖掘、提煉出“一線三等角”的“K”字形圖模型起源，可幫助學生樹立利用模型思想解題的初步意識。

二、探索發現模型建立模型思想

（一）探索發現知識的原型

新人教版八下課本第30頁，勾股定理的美國總統的證明方法：以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形紙板，拼成如圖所示形狀，使C、F、B三點在一條直線上，四邊形ABCD是一個直角梯形，它的面積等于，所以有，即a2+ b2=c2。

由此圖形結構特點引導學生進一步的思考與探索。

問題1若點F為線段CB上的一動點，當DF=FA、∠DFA=∠C=∠B=90°時，△ABF與△FCD有怎樣的關系？（顯然可證△ABF≌△FCD）

追問1問題1中當AF≠DF時△ABF與△FCD又有怎樣的關系呢？（△ABF∽△FCD）

追問2從圖形的結構特征、數量關系中發現了什么？

追問3能再舉出具有上述結構特征的實際問題的實例？

利用格點畫垂線問題

矩形紙片折疊問題

追問4你能從數與形中概括出這類問題的共性嗎？它們有什么特征？

（1）提煉概括：點C、B、F在一直線上，當∠DFA=∠B=∠C=90°時△ABF∽△FCD。

（2）建立模型：從數量看是一線三直角，從圖形結構特征看呈夾角為90°的“K”字形圖，則兩三角形相似。

（二）探索發現圖形的變式

上面問題中發現了夾角為90°的“K”字形圖，引導學生思考這三個等角的度數均變為60°，那兩三角形還會相似嗎？

問題2點F為線段BC上一動點，且∠B=∠C=∠AFD=60°，則△ABF與△FCD相似嗎？說明道理。

（1）提煉概括：點C、B、F在一直線上，當∠B=∠C=∠AFD=60°時△ABF∽△FCD

（2）建立模型：從數量看是一線三等60°角，從圖形結構特征看呈夾角為60°的“K”字形圖，則兩三角形相似。

設計意圖：在圖形的結構特征沒改變，但角的度數由90°變化到60°，發現兩三角形還相似，教學中可繼續進行圖形變式，若三等角均為45°、30°、23°兩三角形還相似嗎？讓學生從變中尋找不變的特征，發現“K”字形圖特征。

（三）探索發現圖形的延伸與拓展

若改變一直線上的三等角的度數為任意角度，兩三角形還相似嗎？

問題3當點F為線段BC上 一 動 點 ，且 ∠B=∠C=∠AFD=β°，△ABF與△FCD相似嗎？說明道理。

（1）提煉概括：點B、F、C三點共線，當∠B=∠C=∠AFD=β°（β為任意角度）時，△ABF∽△FCD。

（2）建立模型：數量滿足“一線三等角”，圖形特征滿足“K”字形圖則兩三角形相似。

設計意圖：特殊到一般，從數量、圖形特征兩方面尋找、發現、提煉出“K”形圖的相似模型特征，利用一直線上三等角度數改變，引導學生在變式、延伸中抓住圖形結構特征不變與一直線三等角數量不變，構建出“K”字形圖的模型，建立模型思想。

三、歸納模型提升模型應用意識

（一）圖形的形狀

（二）問題模型

題設：點C、B、F在一直線上且∠B=∠AFD=∠C結論：△ABF∽△FCD

（1）從形上看——“K”字形圖；

（2）從數上看——“一線三等角”。

設計意圖：“一線三等角”相似圖形的模型的建立，對解相關類型的題目能比較快速、準確找出其解題方向，達到提高模型應用意識。

四、構建模型深化解題策略

從實際問題中抽象提煉出“K”字形圖模型，目的就是在解這類問題時能利用模型的特征與數量關系找出解題的突破口，得心應手地解一類或幾類的問題，提高解題的策略。

（一）巧用“K”字形圖模型特征，擴大解題思路

在解決相似這類問題時，引導學生巧用“K”字形圖圖形的特征和一直線“一線三等角”的數量關系來分析、尋找、發現解決問題的條件與方法，從中擴大解題的思路，優化解題方法。

例1.在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使∠APM=∠B，設BP=x，AM=y，求y關于x的函數關系式。

解題分析：

過點P的直線上已有∠APM=∠B，依托“K”字形圖圖形特征，由于AB=AC，可證∠C=∠B，因而有∠APM=∠B=∠C，利用角的關系不難證到△ABP∽△PCM，利用相似成比例可求出y與x的函數關系式。

反思：選用本例題的目的是引導學生在題目條件不是明顯有“一線三等角”下如何從形的特點找到解題的方向，提高對“一線三等角”模型的認識。

（二）巧用“K”字形圖模型特征，構建模型、深化解題策略

對于這一類的綜合題，有的難以找到解題突破口，若能巧用“K”字形圖特征構建“一線三等角”的模型并把它置于相關背景的問題中，問題就能巧妙解決，從而深化了解題策略。

例2：2016年福州市質檢試卷，如下圖拋物線y=a（x-2）2-1過點（4，3）交x軸與A，B兩點（點A在B的左側）。

（1）求拋物線的解析式與頂點M的坐標；（2）連接OC，CM，求tan∠MCO的值；（3）點P在拋物線的對稱軸上，連接CP，BP，BM當∠CPB=∠PMB時，求點P的坐標。

解題分析：

本題（3）的問題中點P在對稱軸上，滿足∠CPB=∠PMB，求點P的坐標，學生似乎無從下手，由于點P、M已在對稱軸上，且∠CPB=∠PMB，有一線兩等角了，若能對“K”字形模型結構理解透徹，從構建“一線三等角”下手，設法構建“K”形圖模型，如上圖的圖1，并把它置于拋物線中如圖2，就不難找到解題的突破口。如圖3引導學生從∠CPB與∠PMB的角的度數入手去分析、發現，由（1）知拋物線的解析式為y=（x-2）2-1，A（1，0）、B（3，0）、頂點M（2，1），不妨設對稱軸與x軸交于H點，因為MH=MB，故∠PMB=45°，猜想能否在對稱軸上找到一點E使∠PEC=45°，可過點C做CN⊥x軸于N，CN=4-2= 2，所以只要取EN=2，就有CN=EN則∠PEC=45°，可得∠CPB=∠PMB=∠PEC=45°，從中構建出夾角為45°的“K”形圖模型，不難證出△MBP∽△EPC，推出，設P（2，y）∴求的，∴P

反思：根據題目的條件，當一直線上已有兩相等的角時，設法從“一線三等角”的結構特征入手，分析如何找角，如何巧妙地建構“K”字形圖模型，利用模型特征找到解決問題的方向和思路，優化了解相關問題的解題方法與技巧，深化解綜合題的解題思路。

總之，構建“一線三等角”的“K”字形圖模型，不僅可以提升了學生靈活運用模型正確解同類數學問題，而且可以擴大學生的解題思路，深化解題策略。因而，教學中要引導學生重視模型的形成探究、逐步形成善于運用模型思想解題的策略意識。

［1］酈興江，構建模型提煉策略層級推進數學思考［J］.中學數學教學參考，2015（12）.

［2］朱桂平.提取模型融會貫通——例談中考壓軸題的教學策略［J］.中國數學教育，2014（3）.

［3］陳彬彬.類題同法減負增效［J］.福建基礎教育研究，2016（2）.

（責任編輯：王欽敏）