Hermite逆矩陣的范數(shù)優(yōu)化和Riccati不等式的等價性

羅仕樂

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

Hermite逆矩陣的范數(shù)優(yōu)化和Riccati不等式的等價性

羅仕樂

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

利用矩陣奇異值分解理論，討論了Hermite逆矩陣的范數(shù)優(yōu)化問題和Riccati不等式理論的等價性.

奇異值分解；范數(shù)；Riccati不等式

矩陣范數(shù)的優(yōu)化在矩陣論［1］中有著重要的應(yīng)用，但因為自由變量過多導(dǎo)致這類優(yōu)化問題比一般的多元函數(shù)最優(yōu)化問題［2］更難求解.因為實際問題背景的特點，所轉(zhuǎn)化得到的矩陣往往有著一定的結(jié)構(gòu)［3］，針對特定的矩陣結(jié)構(gòu)分析討論從而解決相關(guān)的范數(shù)優(yōu)化問題，是長期以來學(xué)者研究的熱點.

本文關(guān)注以下優(yōu)化問題：

問題1設(shè)A=AH∈Cn×m，B∈Cn×(N-m)，X∈C(N-n)×(N-m)，定義：

求X,滿足X=XH,使得：

問題1是一個Hermite矩陣求逆的范數(shù)優(yōu)化問題，在構(gòu)造求解塊結(jié)構(gòu)線性方程組的并行數(shù)值算法以及魯棒控制中有著重要的應(yīng)用［4］,目前的研究尚不能對問題1的所有解給出完整的解答.代數(shù)Riccati方程是控制理論［5］中的核心問題，關(guān)于Riccati不等式的求解問題已經(jīng)有了較為成熟的討論研究［6］.本文利用矩陣奇異值分解理論［7］建立問題1和Riccati不等式的關(guān)聯(lián)性，并在一定假設(shè)條件下，通過Riccati不等式的求解得到問題1的解.

1基本概念和引理

本節(jié)給出后續(xù)討論中會用到的相關(guān)概念和已知結(jié)果.

AH表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置,如果AH=A,稱矩陣A是Hermite的［8］.設(shè)A,B∈Cn×n是兩個Hermite矩陣,如果B-A是正定(半正定)的,則記為A＜B(A≤B)［8］.

定義1［9］設(shè)A∈Cm×n.AHA的特征值的非負平方根稱為A的奇異值；A的奇異值的全體記為σ(A).

引理［7］（奇異值分解定理）設(shè)A∈Cm×n，且rank(A)=r，則存在酉矩陣U∈Cm×m，V∈Cn×n，使得：

其中Σr=diag（σ1,…,σr），σ1≥…≥σr＞0.

定義2［10］如果A∈Cn×n，B∈Cn×(N-n)，C∈C(N-n)×n，D∈C(N-n)×(N-n)且A,D非奇異,則稱D-CA-1B和A-BD-1C分別是A和D的Schur補.

問題2(Riccati不等式)沿用問題1的記號,設(shè)0＜α＜σn([A,B]),求解：

其中：

2主要結(jié)果

這里假設(shè)0＜σn([A,B]),是為了保證F（X）對于任意的X是可逆的.

定理設(shè)α不是矩陣A的奇異值,那么問題2一定有解,并且：

是其中的兩個解,問題2的通解形式為X*=X1+Y或X*=X2-Y,其中Y滿足：

證據(jù)已知,A2-α2I是可逆的,由Sherman-Morrison-Woodbury公式［10］可得：

先考慮問題2的一個等價問題：

問題3設(shè)0＜α＜σn([A,B]),求矩陣X,使得：

設(shè)X*=X1+Y,進而有：

因此Y滿足：

當(dāng)且僅當(dāng)：

同理對X*=X2-Y可以得到同樣的結(jié)論.

接下來證明問題3和問題2是同解的.

設(shè)X滿足‖F(xiàn)（X）-1‖≤可得：

因為0＜α＜σn([A,B]),所以A2+BBH>α2I，考慮F（X）的Schur補，即有：

這表明X是問題2的解.

證畢.

考慮問題3的極限情形，可以得到以下推論.

推論延用定理中的相關(guān)記號和假設(shè),有：

更進一步的,如果σn([A,B])不是A和-A的特征值,那么存在Hermite矩陣X,使得：

證由特征值分離定理［9］,對任意的Hermite矩陣X,有：

結(jié)合定理就有：

因為σn([A,B])不是A和-A的特征值,令α→σn([A,B])-,從定理的結(jié)論可見,存在Hermite矩陣X,使得：

證畢.

注：定理和推論表明,X*=X1+Y或X*=X2-Y即為問題1的解.這意味著從Riccati不等式的角度得到了問題1的解.

3結(jié)語

本文針對Hermite矩陣求逆的范數(shù)優(yōu)化問題，通過運用矩陣奇異值分解理論，結(jié)合矩陣的結(jié)構(gòu)特殊性，分析了該優(yōu)化問題與Riccati不等式的等價性，并從Riccati不等式的角度得到了問題1的部分解.但本文的局限性在于還不能得到問題1的所有解,這是有待今后進一步研究的課題.

［1］戴華.矩陣論[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

［2］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

［3］黃廷祝，楊傳勝.特殊矩陣分析及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

［4］Bunse-Gerstner A,Mehrmann V，Nichols N K.Regularization of descriptor systems by derivative and proportional state feedback [J].SIAM Journal Matrix Analysis and Applications,1992（13）：46-67.

［5］徐樹方.控制論中的矩陣計算[M].北京：高等教育出版社，2011.

［6］Willems J C.Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation[J].IEEE Transactions Automatic Control, 1971（16）：621-634.

［7］徐樹方，錢江.矩陣計算六講[M].北京：高等教育出版社，2011.

［8］丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

［9］徐樹方.矩陣計算的理論與方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，1995.

［10］許以超.線性代數(shù)與矩陣論[M].北京：高等教育出版社，2008.

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

On the Norm Optimization of the Hermite Matrix’s Inverse and the Equivalence of Riccati Inequalities

LUO Shi-le
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

With the theory of singular value decomposition,the Hermite matrix’s inverse and the equivalence of of Riccati inequalities are discussed.

singular value decomposition;norm;Riccati inequalities

O151.21%

A%%%

1007-5348（2017）03-0001-04

2017-01-08

韶關(guān)學(xué)院科研項目(SY2016KJ15).

羅仕樂（1964-），男，廣東韶關(guān)人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授；研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).