應用灰色馬爾科夫模型預測路面使用性能

蘇衛國　李紹杰

摘要：為了提供更加準確的路面使用性能預測方法，提出了一種基于灰色模型并用馬爾科夫鏈進行修正的灰色馬爾科夫模型。結合工程實例對該方法的實用性和準確性進行檢驗，結果表明：灰色馬爾科夫模型能夠在已知歷史資料的基礎上對路面使用性能進行比較準確的預測，且和單一的灰色GM（1，1）模型相比具有更高的預測精度。

關鍵詞：灰色理論；馬爾科夫模型；路面使用性能；預測

中圖分類號：U416.21文獻標志碼：B

Abstract： In order to provide a more accurate method for pavement performance prediction， the greymarkov model based on the grey model and modified by Markov chain was proposed. The applicability and accuracy of the method were tested by the engineering examples. The results show that the greymarkov model makes accurate prediction of pavement performance based on the known historic data. Compared with the single grey GM（1，1） model， the greymarkov model possesses higher precision of prediction.

Key words： grey theory； Markov model； pavement performance； prediction

0引言

在道路運營過程中，路面的使用性能會因為路面環境的不斷變化以及交通荷載的重復作用而不斷下降，且隨時間推移呈現出某種衰減規律，路面使用性能的預測就是研究各種因素作用下的路面使用性能的變化規律[1]。這種規律受自然條件、社會環境、人為因素等多方面的影響，表現出一定的隨機性和動態性。灰色系統理論在預測變化趨勢較為明顯的時間序列中能表現出較高的精度，但是對于隨機波動性大的時間序列預測則表現出比較低的精度。馬爾科夫鏈針對隨機變化的系統表現出比較好的預測性能，這恰好能彌補傳統灰色模型在這一方面的不足。路面使用性能隨時間變化的過程是一個非平穩過程，這并不符合作為馬爾科夫鏈研究對象的條件，故本文通過灰色GM（1，1）模型對其進行擬合，以滿足馬爾科夫鏈的要求[24]，為路面使用性能的預測提供一種新的有效方法。

1灰色馬爾科夫理論

1.1GM（1，1）模型

在灰色系統理論中，根據系統信息已知程度的不同將系統分為3種，分別是“白色系統”、“灰色系統”、“黑色系統”。若系統的信息均已知，那么就將該系統稱為“白色系統”；若系統信息部分已知、部分未知，那么就將該系統稱為“灰色系統”；如系統信息均為未知，那么就將該系統稱為“黑色系統”。對于路面使用性能預測問題而言，系統信息包含路面使用性能的歷史資料、交通荷載因素、環境影響因素、人為因素等諸多信息。該系統信息部分已知、部分未知，構成了一個較為復雜的灰色系統，因此路面使用性能的預測問題可以采用灰色系統理論來進行求解[57]。

灰色系統理論建模的基本思想是：將白色信息序列按照一定規律組成動態、非動態的白色模塊，再通過一定的算法求解將來的灰色模型。灰色模型的求解過程是一個系統白度不斷提高的過程，隨著系統白度的不斷提高，其發展變化規律也會逐漸顯現。灰色理論模型是建立在把離散的時間序列擬合為一階線性微分方程的基礎之上的。GM（1，1）模型的變量只有一個，較為簡單，容易被人們理解和接受，在灰色系統理論的預測模型中是應用得比較廣泛的一種。在建模過程中，GM（1，1）模型并不是對系統中的所有因素進行分析擬合，而是對系統中的主要因素進行分析擬合并預測，以生成的函數作為預測的基礎。GM（1，1）模型所采用的建模數據并非是所收集的原始歷史數據序列，而是通過累加變換得到的新的數據序列。具體建模過程和運算步驟如下。

1.2馬爾科夫模型

馬爾科夫預測模型是一種隨機的、變化的數學過程，建模的核心在于掌握系統狀態轉移規律。馬爾科夫概率預測模型的基本思想是分析研究系統現狀，利用馬爾科夫鏈求解得出系統將來可能變化所至的某特定狀態的概率[812]。因為該數學過程有一定的隨機離散特性，所以需要采用數學概率來定量表述系統狀態轉移的可能性大小。定義St為系統在時刻t所處的狀態，若在t=i時刻的狀態Si為已知，那么在未來的某個t=i+1時刻系統所能達到的某種狀態Si+1只與t=i時刻的狀態Si有關，而與之前的狀態沒有關系，即馬爾科夫鏈可以看成是一種無后效性的離散隨機過程。定義Pij為系統由狀態Si經過一次轉移到狀態Sj的概率，當系統存在n種狀態，把這些狀態組合在一起后所構成的矩陣P稱之為狀態轉移矩陣。

2應用實例

2.1預測指標選取

如今使用最多的路面結構主要有2種——水泥路面和瀝青路面，本文選廣東省某路段水泥路面作為研究對象進行分析。評價水泥路面狀況的指標有很多，包含路面狀況指數（PCI）、斷板率（DBL）、彎沉等。當用斷板率來評價路面時，由于相同斷板率下，不同損壞程度所對應的路面損壞差異非常大，因此斷板率和路面損壞狀況的相關性不強。水泥路面的彎沉值是一個平均值，因此容易掩蓋彎沉值較大的板塊，所以采用彎沉值來衡量水泥路面的好壞也不合適。路面狀況指數PCI可以綜合反映混凝土路面各方面的性能，如混凝土面層的不同破壞類型、破壞范圍和破損嚴重程度等，能夠將水泥路所處的路面破損狀況最直接地反映出來，所以本文采用PCI作為示例中水泥路面的預測指標[1718]。

2.2路面狀況指數GM（1，1）模型

收集廣東省某路段水泥路面2006～2015年的路面使用性能數據，選取PCI數值作為原始數據序列，其中以2006～2013年的PCI數據作為建模數據，2014～2015年PCI數據作為檢驗模型優劣的標準。2006～2015年某路段水泥路面PCI數據如表1所示。

由表5可知，2014年和2015年PCI的GM（1，1）預測值殘差處于3種狀態的概率是不一樣的，2014年預測值殘差所對應的狀態向量中，殘差狀態處于狀態1的概率最大為0.5，所以選擇狀態1所對應的誤差區間[0.5%，1.5%]的中值1%對GM（1，1）模型預測值進行修正，修正方式如式（14）所示，修正后得到的2014年水泥路面PCI預測值為66.1。2015年預測值殘差所對應的殘差狀態向量中，殘差狀態處于狀態1的概率最大為0.375，同理選擇狀態1所對應區間[0.5%，1.5%]的中值1%對GM（1，1）模型預測值進行修正，修正后得到的2015年水泥路面PCI預測值為63.2。根據式（11）分別計算GM（1，1）預測模型和灰色馬爾科夫模型的預測殘差比率，2種預測模型的預測值及相應的殘差比率計算結果如表6所示。

3結語

本文運用灰色馬爾科夫鏈路面使用性能預測模型，對廣東省某地區水泥路面的PCI進行了預測分析，得出如下結論。

（1）路面使用性能的預測受到各方面不同因素的影響，具有隨機性和波動性。在具有一定歷史數據的條件下，通過建立灰色馬爾科夫模型，借助Matlab計算求解，驗證了該模型能夠達到比較高的預測精度。

（2）灰色馬爾科夫模型是基于馬爾科夫鏈對灰色模型進行修正，實例表明單一的GM（1，1）模型對路面使用性能的預測也能達到一定精度，但是經過馬爾科夫鏈修正后的預測結果更加準確，實用性更強。

（3）在實際工程中，采用灰色馬爾科夫模型對水泥路面使用性能進行預測是可行的，本文雖然以路面狀況指數PCI的預測為例，但也適用于路面使用性能其他指標的預測。實例證明這一模型具有較高的實際應用價值。

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[責任編輯：杜敏浩]