計入齒面摩擦和熱變形的齒輪傳動系統動力學建模分析

張 笑， 盧劍偉， 吳祚云， 謝慧敏

(合肥工業大學 機械與汽車工程學院,合肥 230009)

計入齒面摩擦和熱變形的齒輪傳動系統動力學建模分析

張 笑， 盧劍偉， 吳祚云， 謝慧敏

(合肥工業大學 機械與汽車工程學院,合肥 230009)

對計入齒面摩擦和熱變形的齒輪系統動力學模型進行了分析。以漸開線直齒輪為例，計入溫度效應并考慮齒面摩擦、齒側間隙、時變嚙合剛度等非線性因素，建立系統的動力學微分方程，并進行算例分析。結果表明：摩擦因數和溫度對于系統的影響與轉矩波動頻率有關。當轉矩波動頻率較低時，系統一般呈現周期運動，摩擦因數和溫度的影響不明顯；當轉矩波動頻率較高時，摩擦和溫度對于傳動精度和運動形態的影響很大，隨著摩擦因數和溫度的增加，系統穩態運動由擬周期運動變為混沌運動，輪齒間敲擊狀態變復雜。

齒輪;摩擦;溫度效應;非線性動力學

齒輪傳動系統是汽車變速器的核心部件，其動力學響應關系到變速器的振動噪音，而摩擦是影響齒輪系統動力學響應的重要因素之一。為此，國內外學者對此開展了一系列研究，如Iida等[1]建立了考慮齒面滑動方向自由度的齒輪傳動簡化分析模型，研究輪齒摩擦對系統動態特性的影響。Vaishya等[2]將滑動摩擦引入齒輪傳動系統動力學方程中去，建立了全新的動力學方程。此外，齒輪傳動由于摩擦導致溫度上升，由此引發齒輪發生熱變形也較為普遍，會對齒輪傳動特性形成影響，因此有必要掌握齒輪熱變形的規律。Blok[3]開創性地提出了齒輪總體溫度準則。李桂華[4]分析了漸開線齒輪的溫度場，并推導了熱變形量和熱變形后的齒側間隙。

上述提及的研究分別對齒輪摩擦因數的影響和齒輪熱變形計算進行了探討，但沒有考慮熱變形后輪齒齒廓改變對其嚙合狀態的影響。事實上，計入熱變形后的齒輪副嚙合線會發生改變，導致齒輪副嚙合點的法向和切向作用力大小和方向都會周期性變化，摩擦力的力臂也是時變的，從而對齒輪傳動特性產生較大影響。為此，本文計入摩擦及熱變形的影響，建立齒輪傳動系統的動力學模型，并通過數值算例分析摩擦和溫度對于齒輪系統動力學響應的影響，為進一步改善變速器的工作性能提供參考。

1 考慮溫度和摩擦的直齒輪副非線性動力學模型

將齒輪系統簡化處理為齒輪副的扭轉振動系統，不考慮傳動軸、支承軸承和箱體等彈性變形，直齒輪副摩擦-間隙非線性動力學模型如圖1所示[5]。

圖1 直齒輪副非線性動力學模型Fig.1 Non-linear dynamic model of spur gear

在該模型中主動輪、從動輪的分度圓壓力角為α，模數為m，齒數分別為Zp和Zg，轉動慣量分別為Ip和Ig，質量分別為mp和mg，基圓半徑分別為Rpb和Rgb，分度圓半徑分別為Rp和Rg，齒頂圓半徑分別為Rpa和Rga，轉動角速度分別為Ωp和Ωg，轉動角位移分別為θp和θg，驅動轉矩為Tp，負載力矩為Tg，Cm為齒輪副線性嚙合阻尼，Km為齒輪副時變嚙合剛度，e(t)為齒輪副靜傳遞誤差，μ為齒面動摩擦因數。

由于直齒輪的重合度ε一般在1和2之間，即同時嚙合的輪齒對數在1對和2對之間變化。故根據不同的嚙合狀態分情況建立齒輪系統動力學方程。

(1)

(2)

(3)

假設熱變形前后中心距保持不變，齒側間隙在齒輪熱變形后的改變量為Δb，則對于直齒輪

(4)

齒側間隙由初始側隙b變為b′

b′=b-Δb

(5)

定義傳動誤差為

(6)

其中靜傳遞誤差e(t)的傅里葉展開式

(7)

式中，e0為靜傳遞誤差的平均值。

則間隙函數相應的為[7]

(8)

0齒對和1齒對的嚙合力分別為

(9)

式中,km0(t)、Cm0、km1(t)、Cm1分別表示0、1齒對的時變嚙合剛度和阻尼系數。

輪齒剛度由赫茲接觸剛度kh、彎曲剛度kb、剪切剛度ks和軸向壓縮剛度kc組成，彎曲剛度、剪切剛度和軸向壓縮剛度均隨輪齒嚙合點位置的變化而改變，因此單對齒嚙合剛度為時變嚙合剛度。

單齒時變嚙合剛度的表達式如下[8]

(10)

式中,下標1和2分別表示主動輪和從動輪的剛度成分。

由于直齒輪的重合度ε一般在1和2之間，嚙合過程會出現單對齒和雙對齒交替嚙合，設同時嚙合的齒輪對數為N，則直齒輪的時變嚙合剛度為

(11)

熱變形后，0齒對處摩擦力[9]

Ff0=μFP0

(12)

1齒對處摩擦力

Ff1=μFP1×

(13)

摩擦力Ff0、Ff1對主、從動輪的力臂Lp0、Lg0、Lp1、Lg1分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

2 數值分析

基于上述動力學分析模型，通過數值算例分析摩擦和溫度對于齒輪副傳動特性的影響。數值計算時，齒輪系統的相關參數如表1所示。

表1 系統參數

2.1 摩擦對系統特性的影響

2.1.1 摩擦對低頻激勵下系統特性的影響

在轉矩激勵頻率ωp比較小時，取ωp為20π rad/s，溫升Δt為100 ℃，熱變形前初始齒側間隙b為50×10-6m，分別計算摩擦因數μ=0，0.3時系統的動力學響應特性，如圖2和圖3所示。

(a)齒輪傳遞誤差響應

(b)輪齒間動態作用力圖2 齒輪動力學響應(μ=0)Fig.2 The dynamic response of gear system(μ=0)

(a)齒輪傳遞誤差響應

(b)輪齒間動態作用力圖3 齒輪動力學響應(μ=0.3)Fig.3 The dynamic response of gear system(μ=0.3)

對比以上兩圖，且通過帶入其他摩擦因數計算分析后發現，在外激勵頻率較低時，摩擦因數對傳遞誤差的影響很小，其幅值變化也很小。從功率譜圖中可以看出，系統響應頻率都是外激勵頻率，頻率成分比較單一。從Poincare截面圖和相圖中可看出，系統穩態運動形態都是周期運動。從齒輪動態作用力圖中可以看出，在這種運行工況下，輪齒間嚙合力在正值和負值之間交替變化，輪齒間出現雙邊沖擊，輪齒間作用力幅值并沒有太大變化，不過隨著摩擦因數的增大，輪齒間動態作用力由規則向不規則變化，輪齒接觸時的沖擊力變得不均勻。

2.1.2 摩擦對高頻激勵下系統特性的影響

在轉矩激勵頻率ωp比較大時，取ωp為400π rad/s，溫升Δt為100 ℃，熱變形前初始齒側間隙b為50×10-6m，分別計算摩擦因數μ=0，0.1，0.3時系統的動力學響應特性，如圖4～圖6所示。

從以上三圖對比可知，在外激勵頻率較高時，隨著摩擦因數的增大，齒輪的傳動誤差幅值變化很大，很大程度上影響了傳動精度。齒輪副隨著摩擦因數的增加由不發生沖擊變為單邊沖擊再變為雙邊沖擊，沖擊變化的不規則程度加深。由功率譜圖可以看出系統動力學響應的主導頻率發生了顯著變化，在不計入摩擦時是200 Hz的激勵頻率，而計入摩擦后，增加了極強的低頻響應，傳動精度惡化。結合相圖和Poincare截面圖，可以得知摩擦改變了系統的運動形態，隨著摩擦因數增大，系統的穩態運動為混沌運動，系統存在不規則沖擊。

圖4 齒輪傳遞誤差響應(μ=0)Fig.4 The response of gear transmission error(μ=0)

圖5 齒輪傳遞誤差響應(μ=0.1)Fig.5 The response of gear transmission error(μ=0.1)

圖6 齒輪傳遞誤差響應(μ=0.3)Fig.6 The response of gear transmission error(μ=0.3)

2.2 溫度效應對系統特性的影響

2.2.1 溫度對低頻激勵下系統特性的影響

在轉矩激勵頻率ωp比較小時，取ωp為20π rad/s，熱變形前初始齒側間隙b為50×10-6m，摩擦因數μ為0.05，分別計算溫升Δt=0 ℃，60 ℃，120 ℃時系統的動力學響應特性，如圖7～圖9所示。

圖7 齒輪傳遞誤差響應 (Δt=0 ℃)Fig.7 The response of gear transmission error (Δt=0 ℃)

圖8 齒輪傳遞誤差響應(Δt=60 ℃)Fig.8 The response of gear transmission error (Δt=60 ℃)

圖9 齒輪傳遞誤差響應(Δt=120 ℃)Fig.9 The response of gear transmission error (Δt=120 ℃)

由圖7～圖9可以看出，在外激勵頻率較低時，隨著溫度的增加，齒輪的穩態運動形態均為周期運動，系統的傳動精度和運動形態隨著溫度的變化并不明顯，齒輪輪齒間的沖擊形態都是雙邊沖擊，說明在此工況下，溫度不是齒輪敲擊現象產生或敲擊形態改變的主要影響因素。

2.2.2 溫度對高頻激勵下系統特性的影響

在轉矩激勵頻率ωp比較大時，取ωp為200π rad/s，熱變形前初始齒側間隙b為50×10-6m，摩擦因數μ為0.05，分別計算溫升Δt=0 ℃，60 ℃，120 ℃時系統的動力學響應特性，如圖10～圖12所示。

圖10 齒輪傳遞誤差響應(Δt=0 ℃)Fig.10 The response of gear transmission error(Δt=0 ℃)

圖11 齒輪傳遞誤差響應(Δt=60 ℃)Fig.11 The response of gear transmission error(Δt=60 ℃)

圖12 齒輪傳遞誤差響應(Δt=120 ℃)Fig.12 The response of gear transmission error(Δt=120 ℃)

由圖10～圖12可得：在外激勵頻率較高時，系統傳遞誤差的幅值隨著溫度的升高變大，振動范圍也相應的變大，傳遞誤差的變化趨勢變得更為復雜，系統由單邊沖擊變為雙邊沖擊再變為單邊沖擊。可見在轉矩波動頻率較高時，溫度是敲擊形態改變的重要因素。從相圖和Poincare截面圖可以看出，隨著溫度的升高，系統穩態運動為混沌運動，系統由擬周期運動變為了混沌運動。

3 結 論

(1) 摩擦因數對于系統的影響與轉矩波動頻率有很大關系。在外激勵頻率較低時，系統一般呈現周期運動，摩擦因數對于傳動精度和系統運動形態的影響較小，只是隨著摩擦因數的增加，輪齒間作用力的不規則程度逐漸加深。但當外激勵頻率較高時，系統一般呈現擬周期運動，摩擦因數的影響很大，系統的傳動精度受到影響，隨著摩擦因數的增大，系統運動的不規則程度加深，傳遞誤差的幅值和范圍都發生了很大改變，敲擊狀態發生改變。系統的運動形態也隨摩擦的增大由擬周期運動變為混沌運動。

(2)溫度對于系統的影響與轉矩波動頻率的取值有很大關系。在外激勵頻率較低時，溫度對系統運動形態和傳遞精度的影響很小。在外激勵頻率較高時，隨著溫度的升高系統的穩態運動由擬周期運動變為混沌運動，由單邊沖擊變為雙邊沖擊再變為單邊沖擊。可見高頻激勵下，溫度加劇了系統運動的不規則程度。

(3)變速器工作時的外激勵頻率不可避免的存在高頻工況，摩擦和溫度的影響在高頻下表現的比較明顯，所以為了抑制變速器的齒輪敲擊等現象，在高頻工況下需要考慮變速器工作環境溫度及齒輪的潤滑。

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Dynamic modeling and analysis on gear transmission system with consideration of the tooth surface friction and thermal deformation

ZHANG Xiao, LU Jianwei, WU Zuoyun, XIE Huimin

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

The dynamic model of gear transmission systems with consideration of the tooth surface friction and thermal deformation was discussed. A nonlinear differential dynamic equation of involute spur gears considering the temperature, tooth surface friction, backlash and time-varying mesh stiffness was built. Some numerical examples were analyzed. The results show that the influences of friction coefficient and temperature on system dynamic responses are related to the torque fluctuation frequency. When the frequency is low, the gear system shows the feature of periodic motion and the influences of friction and temperature are not obvious. When the frequency is high, the friction and temperature have a great influence on the gear transmission precision and motion form. The system motion form changes from quasi periodic motion into chaos along with the increase of friction coefficient and temperature, and the rattle condition becomes more complex.

gear; friction; temperature effect; nonlinear dynamics

教育部新世紀優秀人才支持計劃 (NCET-10-0358);安徽省高校自然科學研究重大項目 (KJ2014ZD06)

2015-12-28 修改稿收到日期： 2016-03-15

張笑 男，碩士，1992年5月生

盧劍偉 男，博士，教授，1975年12月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.033