繩牽引機器人加入彈簧后剛度分析

李清桓， 段清娟， 李 帆， 段學超

(西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

繩牽引機器人加入彈簧后剛度分析

李清桓， 段清娟， 李 帆， 段學超

(西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

剛度是機器人重要的設計評價指標之一，不僅影響機構的動態特性，還決定機器人在負載情況下末端執行器的定位精度。對于n自由度的繩索牽引并聯機器人，由于繩索只能承受拉力而不能承受壓力，故至少要由n+1根繩索來驅動，冗余驅動的繩索拉力求解非常復雜。當在繩索牽引并聯機器人中適當位置引入彈簧，構成繩索-彈簧機構，則可以實現n自由度的繩索-彈簧機構由n根繩索驅動。從剛度的基本定義出發，在繩索-彈簧機構靜力學平衡方程的基礎上推導出機構在可行工作空間內不同位姿點處的剛度矩陣解析表達式，即被動剛度矩陣和主動剛度中海瑟矩陣的解析式。加入彈簧后，繩索驅動機器人在力封閉可行工作空間內的主、被動剛度增加，并以3根繩索1根彈簧和4根繩索的平面3自由度機構模型的數值算例進行了驗證。

繩索-彈簧機構；靜剛度；剛度矩陣；海瑟矩陣

剛度不僅影響機構的動態特性，而且決定機器人在負載情況下末端執行器的定位精度，是機器人重要的設計評價指標[1]。并聯機器人的剛度是對末端執行器在外力作用下，由于彈性元件的變形以及雅可比矩陣的變化引起位移大小的度量。

繩索牽引并聯機器人具有結構簡單、工作空間大、運動速度快和易拆裝等優點[2-3]，以應用于觸覺裝置[4]、下肢康復機構[5-7]和高速裝配[8-9]。李輝等[10]推導出了靜態剛度的一般理論計算公式。保宏等[11-12]針對大射電望遠鏡懸索支撐系統特殊結構形式，對6索組成的支撐系統的靜態剛度進行了分析。Behzasipour等[13]研究了繩索拉力對機構剛度影響，指出提高繩索抗拉力可以提高機構的穩定性。Tang等[14]研究了繩索拉力和剛度為指標的工作空間質量分析。王克義等[15]利用有限元軟件分析了不同繩索布置方案動平臺的靜態剛度。

但是繩索牽引并聯機器人的驅動繩索只能受拉而不能受壓，因此n自由度的繩索牽引并聯機構至少要由n+1根繩索來驅動才能實現確定的運動[16]。Russell等[17-18]在繩索機構中引入彈簧，依其提供的彈簧力，可以使繩索張緊，而Mustafa等[19-22]指出引入彈簧，可增加索驅動機器人的工作空間，而使用被動導引順應子單元和彈簧可以擴大繩索驅動機器人的應用范圍。Gao等[23]用壓簧與索機構來仿人脖頸運動。選擇適當的彈簧布置位置和參數(初始長度、剛度系數)，就可以減少繩索牽引并聯機構所要求的驅動器數目，構成與自由度數目相等的索驅動機構，使繩索牽引并聯機構控制更為簡單[24-25]。但上述研究都未涉及加入彈簧對繩索牽引并聯機器人剛度的影響，本文從剛度的定義出發，分析了加入彈簧后對m≥n(n機構的自由度，m繩索數量)繩索驅動并聯機構剛度的影響，并給出數值算例，對類似結構的構型設計具有實際指導意義。

1 靜力學建模

m根繩索、n自由度的繩索牽引并聯機器人的結構簡圖如圖1所示，坐標系O-XOYOZO為全局坐標系，與機架固連。坐標系E-XEYEZE為局部坐標系，與末端執行器(動平臺)固連。

圖1 繩索牽引并聯機器人結構簡圖Fig.1 Sketch of cable-driven parallel mechanism

對于m根繩索牽引并聯機器人，根據動平臺受力平衡關系可得機構的靜力學方程

JTT=-FW

(1)

(2)

(3)

式中：cα表示cosα；sα表示sinα；其余表示相同。

在建立n自由度、m根繩索l根彈簧的(簡寫成mClS)繩索-彈簧機構模型時，把彈簧當作一根能夠同時承受拉力和壓力的“繩索”，但彈簧只提供被動力，在靜力學方程中雅克比矩陣時應除去彈簧對應的旋量，并將彈簧對應的旋量處理成外力旋量，則式(1)可改寫成

(4)

tsi=ksi(Lsi-L0i)

(5)

式中：ksi為彈簧的勁度系數，Lsi為彈簧的長度，L0i為彈簧的初始長度。

2 剛度分析

由繩索牽引并聯機器人靜力平衡方程可得末端執行器靜止時驅動繩索作用在末端執行器上的作用力為

Fws=-JTT

(6)

式中，Fws表示外界環境對末端執行器的廣義作用力。

根據機構剛度的定義可得繩索牽引并聯機器人的剛度K的表達式為

(7)

(8)

Kp=JTdiag(k1k2…km)J

(9)

(10)

式中，Xj表示位姿向量X的第j個元素。因此可知Hessian矩陣是n×m×n矩陣，一共有n層，每一層是一個n×m的矩陣。

從繩索牽引并聯機器人剛度分析可知繩索牽引并聯機器人的靜態剛度取決于繩的幾何布置、末端執行器位姿、驅動支鏈的物理參數及繩的拉力。

3 加入彈簧對剛度的影響

通過對繩索牽引并聯機器人的剛度分析，可以得得到繩索牽引并聯機器人其完整的剛度模型應為

K=-HT+JTdiag(k1k2…km)J

(11)

從上式可以看出繩索牽引并聯機器人的機構整體剛度分為兩部分，前者與繩的拉力和矩陣有關，即與繩的拉力、繩的幾何位置、末端執行器的位姿有關；后者取決于繩的幾何布置、末端執行器的位姿、驅動支鏈物理參數。

對繩索-彈簧機構剛度分析時，可在繩索牽引并聯機器人剛度分析的基礎上建立繩索-彈簧機構的剛度模型。在靜力學分析時把彈簧看作是作用在末端執行器上的大小和方向均可變化的外力，在求解機構的整體剛度時，其雅克比矩陣J應包含繩索和彈簧對應的部分。對于機構的主動剛度，從Hessian矩陣H可以看出外力對Hessian矩陣H無影響，給繩索牽引并聯機器人中加入彈簧，機構的雅克比矩陣J增加了彈簧對應的列，其Hessian矩陣H維數發生變化，同時加入彈簧會引起繩索拉力T的變化，因此主動剛度KA=-HT會發生改變。被動剛度Kp中雅克比矩陣J與繩和彈簧的幾何布置、末端執行器的位姿等因素有關，與外力無關。但是驅動支鏈的剛度ki與繩索拉力有關，因此加入彈簧也會影響機構的被動剛度。

通過以上分析可知，在求解繩索-彈簧機構的剛度時，利用靜力學平衡方程式(4)計算出繩索拉力，再將彈簧看作繩索支鏈，則繩索-彈簧機構的靜力學平衡方程式(4)可寫成

(12)

(13)

由此可得繩索-彈簧機構的總體剛度模型為

(14)

4 剛度算例

本論文將建立豎直平面內的3自由度、3根繩索1根彈簧的(簡寫成3C1S)繩索-彈簧機構模型，設定末端執行器質量m為10 kg，所受到的外力為0，彈簧初始長度0.72 m。選取如圖2所示的布置方案，其鉸接點布置坐標詳見表1。

表1 繩索彈簧牽引機構鉸接點坐標

圖2中A1至A4S為固定鉸接點；P1至P3為動平臺與繩索的連接點；P4S為動平臺與彈簧的連接點。全局坐標系O-XOYO固連于固定鉸接點的中心；局部坐標系E-XOYO固連于動平臺的中心。驅動繩索選用GB 20118—2006圓股鋼絲繩，機構的剛度仿真相關參數如表2所示。

圖2 繩索-彈簧機構結構簡圖Fig.2 Sketch of a cable-spring mechanism

機構參數參數值機構參數參數值彈簧剛度系數k/(N·m-1)123.2繩索公稱直徑D/m1.2×10-3剛度分析位姿/m(0,0,0)繩索彈性模量E/Pa2.8×1010繩索單位長度質量/(kg·m-1)0.0075繩索橫截面積A/m21.131×10-6

當末端執行器位姿為(0,0,0)時，利用MATLAB編程，計算結果如下所示：

各驅動繩索拉力

T=[131.701 8 96.866 5 62.062 9]

主動剛度矩陣

被動剛度矩陣

總體剛度矩陣

從被動剛度Kp解析表達式和計算結果可以看出被動剛度矩陣為對稱矩陣。主動剛度各元素值小于被動剛度對應元素的值，說明驅動支鏈剛度對機構總體剛度影響較大?？傮w剛度矩陣中K(1,1)表征機構沿X軸移動的剛度，K(2,2)表征機構沿Y軸移動的剛度，K(3,3)表征機構繞Z軸轉動剛度，K(i,j)(i≠j)表征機構對應方向的耦合剛度?？傮w剛度矩陣中K(1,1)絕對值最大，K(3,3)的絕對值最小，表明機構在位姿X(0,0,0)處沿X軸的平動剛度最大，繞Z軸轉動剛度最??；由K(i,j)≠0(i≠j)表明機構沿三個方向之間的剛度存在耦合，與K(3,3)對比發現機構耦合剛度比末端執行器沿Z軸轉動的剛度要大。

為進一步分析機構在整個工作空間內的剛度分布情況，按照圖2所示的結構布置方案，取姿態角為零，分別計算出機構的靜態剛度矩陣中分別表征沿X和Y軸移動剛度值K(1,1)和K(2,2)以及表征繞Z軸轉動剛度值K(3,3)在整個工作空間的分布，剛度條件數和平均剛度在整個工作空間內的分布情況，仿真結果如圖3所示。

圖3 3C1S繩索-彈簧混聯機構靜態剛度矩陣對角線元素剛度值Fig.3 The static stiffness distribution of the 3C1S

從圖3(a)可以看出末端執行器靠近位于第二象限和第四象限的固定鉸接點時沿X軸方向的移動剛度較大；從圖3(b)可以看出，末端執行器靠近工作空間右邊界及第二象限固定鉸接點時沿Y軸方向移動剛度較大；從圖3(c)可以看出末端執行器靠近第四象限的固定鉸接點時繞Z軸的轉動剛度較大。對比圖3(a)、(b)和(c)可以看出，在整個工作空間，機構沿X軸方向移動剛度最大，繞Z軸轉動剛度最小。并且在偏離繩索固定鉸接點的區域內，相鄰位姿點之間機構的剛度值變化較小。

在剛度分析中指出了加入彈簧對機構的主動剛度和被動剛度產生影響。在上述數值仿真方案中將彈簧用繩索替換變成4根繩索驅動并聯機構，計算出機構在工作空間內的剛度分布情況如圖4所示。

圖4 4C并聯機構靜態剛度矩陣對角線元素剛度值Fig.4 The static stiffness distribution of the 4CDPM

由圖4可以看出，4C驅動并聯機構在距離繩索固定鉸接點較近處機構沿各個方向的剛度較大，靠近工作空間中心剛度較小。對比圖4和圖3可以看出，4根繩驅動并聯機構的工作空間增大；相比3根繩1根彈簧混聯機構可以看出，雖然3根繩1根彈簧混聯機構的剛度值減小，但兩種機構在工作空間內沿各個方向的剛度分布趨勢相近，在靠近工作空間中心區域沿各個方向剛度值在同一數量級上，說明3C1S比4C機構的剛度特性有所下減弱，但仍具有4C并聯機構沿X、Y軸移動剛度和繞Z軸轉動剛度特性，在適當選定彈簧安裝位置時，能夠實現4根繩驅動并聯機構所具有的三自由度操作性能。

總體剛度矩陣的特征值表征解耦后方向矢量上的剛度系數，其對應的特征向量表征解耦后的方向矢量[1]。固定位姿處的剛度矩陣能夠描述各方向剛度的大小以及各方向剛度的耦合情況，為進一步描述機構空間剛度的分布情況，引入靜態剛度矩陣的條件數。

(15)

式中：λmax為剛度矩陣最大特征值；λmin為剛度矩陣最小特征值；C(K)能反應出各方向剛度的大小關系，給出了剛度非各向同性的信息，但該參數不能衡量平均剛度的大小。因此定義特征值的“距離”，即剛度矩陣特征值的二階范數

(16)

式中：λi為剛度矩陣特征值；D(K)能反映固定位姿處機構的總體剛度情況，即平均剛度。機構總體剛度矩陣的3個特征值及其對應的特征向量如表3所示。

表3 總體剛度矩陣特征值與特征向量

Tab.3 Eigenvalues and eigenvectors of the overall stiffness matrix

剛度矩陣特征值剛度矩陣特征向量λ1=4.6463×104ν1=[0.8722-0.4891-0.0025]λ2=2.0942×104ν2=[-0.4890-0.87220.0140]λ3=53ν3=[0.00890.01120.9999]

從表3可以看出λ1絕對值最大，λ3絕對值最小。仿真結果進一步驗證了機構在位姿X=(0,0,0)處沿X軸移動的剛度最大，繞Z軸轉動的剛度最小。表中的特征向量也進一步表明機構沿X、Y軸移動與繞Z軸轉動存在剛度耦合。由上表可得C(K)=29.608 5，表明各方向剛度相差較大。D(K)=5.096 5×104，表明平均剛度較好。計算出靜態剛度矩陣的條件數和平均剛度在整個工作空間內的分布情況，其結果如圖5所示。

(a) 平均剛度

(b) 靜態剛度矩陣的條件數圖5 3C1S機構靜態剛度矩陣的條件數及平均剛度分布Fig.5 The condition number of the stiffness matrix and the average stiffness index of the 3C1S mechanism

圖5(a)為3C1S機構末端執行器在工作空間內各位姿點時機構的平均剛度值分布，根據平均剛度公式定義以及圖5(a)表明當末端執行器距離第二象限、第四象限固定鉸接點較近時機構的剛度較大，靠近第三彈簧鉸接點的剛度較小，這是由于彈簧固定鉸接點位于第三象限，當末端執行器處于在第三象限時彈簧變形量較小，彈簧力較小，導致繩索拉力也較小，致使機構平均剛度偏??；末端執行器靠近繩索固定鉸接點處時，彈簧變形量較大，彈簧力變大，導致繩索拉力也變大，使機構平均剛度增大。圖5(b) 表示末端執行器在工作空間內各點零位姿時剛度矩陣的條件數，由圖5(b)可以看出當末端執行器靠近第二象限、第四象限固定鉸接點處剛度矩陣的條件數較大，說明機構沿各個方向的剛度值相差較大，機構的結構性能變差，靠近第一、第三象限時剛度矩陣的條件數較小，說明沿各個方向剛度相差較小。

將上述繩索-彈簧機構的彈簧用繩索替換變成4根繩索驅動并聯機構，相同條件下，計算出機構的靜態剛度矩陣的條件數和平均剛度在整個工作空間內的分布情況如圖6所示。

圖6(a)為4C并聯機構的末端執行器在工作空間內的各點處的機構平均剛度值分布。圖6(b) 表示末端執行器在工作空間內各點處機構剛度矩陣的條件數的分布情況。通過對比圖5(a)和圖6(a)可以看出，在工作空間內的大部分區域，3C1S繩索-彈簧機構的平均剛度值大約都在0.5×105～1.4×105，4C繩驅動并聯機構的平均剛度值大約都在0.5×105～3.5×105，在部分區域兩種機構的平均剛度值相近，在靠近繩索鉸接點處兩種機構的平均剛度值都增大，但3C1S繩索-彈簧機構的平均剛度值相對較?。煌ㄟ^對比圖5(b)和圖6(b)可以看出，相比4C并聯機構，3C1S繩索-彈簧機構的在整個工作空間內的剛度條件都較小，說明該機構各個方向的剛度值分布相對4C并聯機構較均勻。由此，進一步說明3C1S繩索-彈簧機構具有4C并聯機構的沿X、Y軸移動剛度和繞Z軸轉動剛度特性，能夠實現4C并聯機構所具有的三自由度操作性能。

(a) 機構平均剛度

(b) 機構靜態剛度矩陣的條件數圖6 4C機構靜態剛度矩陣的條件數及平均剛度分布Fig.6 The condition number of the stiffness matrix and the average stiffness index of the 4C mechanism

5 結 論

本文對繩索-彈簧機構進行剛度分析，推導出了繩索彈簧機構剛度的解析表達式：即被動剛度矩陣和主動剛度中海瑟矩陣的解析式。通過對解析表達式分析可知，繩索牽引并聯機器人加入彈簧變成繩索-彈簧機構，繩索拉力變大，繩索-彈簧機構的剛度也增大。通過對平面4根繩索并聯機構和3根繩索1根彈簧機構的剛度在整個工作空間的分布情況分析，證明3自由度的繩索并聯機構在適當添加彈簧后變成繩索-彈簧機構，可以實現3自由度的繩索-彈簧機構由3根繩索驅動，且各個方向的剛度值分布相對4C并聯機構較均勻。

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Stiffness analysis of a cable-driven parallel robot by adding springs

LI Qinghuan, DUAN Qingjuan, LI Fan, DUAN Xuechao

(School of Electro-Mechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

The stiffness is one of the important design indexes of robots. It affects the dynamic characteristics of the robot mechanism, and determines the load positioning accuracy of end effectors. Since cables can only pull but not push, the Cable-driven Parallel Mechanism (CDPM) withndegrees of freedom requires at leastn+1 cables to fully constrain an end-effector. However it has been shown that the redundant cable leads to increased cost of actuator and results in the complexity of solving the cable forces. When springs are added properly into the CDPM between the end-effecter and the base frame, it constitutes a Cable-spring Mechanism(CSM), which can achieve the driving of a CDPM withnDOF byncables. In the paper, the static model of a planar CSM was established, and the static analysis of the CSM was performed. According to the definition of rigidity, the analytical expressions of stiffness matrixes were derived on the basis of the static equilibrium equation of the CSM at different attitudes in a feasible workspace. The Hessian matrixes of the active stiffness and passive stiffness matrix were derived. The stiffness effect on the cable-driven mechanism by adding the spring was analyzed. The results of a numerical example, where a planar CSM with 3 cables and 1 spring was compared with a 4-cable driven mechanism, verifies the effectiveness of the design.

Cable-spring mechanism; Static stiffness ; Stiffness matrix; Hessian matrix

陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2016JM5034)；教育部留學回國人員科研啟動金(JY0600150401)

2015-04-29 修改稿收到日期： 2016-11-09

李清桓 男，碩士，1990年7月生

段清娟 女，博士，副教授，1971年11月生

TP242

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.031