基于改進SDRE非線性魯棒控制的二元機翼顫振抑制

茍義勇， 李洪波， 董新民， 楊任農， 左仁偉

(空軍工程大學 航空航天工程學院，西安 710038)

基于改進SDRE非線性魯棒控制的二元機翼顫振抑制

茍義勇， 李洪波， 董新民， 楊任農， 左仁偉

(空軍工程大學 航空航天工程學院，西安 710038)

為有效抑制二元機翼顫振現象，采用Lyapunov穩定性理論設計了一種改進狀態相關黎卡提方程(SDRE)的非線性魯棒控制律。將含前/后緣雙控制面的二元機翼模型以狀態空間形式描述并將該模型轉化成輸入矩陣B為行滿秩的形式，進而解決了基于SDRE的非線性控制方法不能直接應用于二元機翼顫振主動抑制的問題。仿真結果表明，在陣風干擾和控制面存在偏轉角限制的情況下，閉環系統能快速達到穩定狀態，顫振現象得到有效抑制。通過調節權重矩陣Q和R，能夠減小控制輸入幅值。

二元機翼；非線性魯棒控制；顫振；狀態相關黎卡提方程

由于空氣動力、彈性力和慣性力的相互作用，飛行器普遍存在顫振現象[1]。顫振會使得飛行性能與作戰性能受到嚴重限制,甚至對飛行安全產生嚴重的影響。因此對顫振現象進行主動抑制具有十分重要的現實意義。

XIANG等[2]總結了最近幾年非線性氣動彈性系統分析和控制方法，把非線性氣動彈性問題分為基于大展弦比機翼、全機和二元機翼的三類氣動彈性研究問題。在大展弦比機翼氣動彈性研究方面，主要集中在對非線性氣動彈性結構建模與不穩定氣動建模。在全機的氣動彈性研究方面，主要集中在對高空長航時飛機和戰斗機的非線性氣動彈性現象分析。在二元機翼氣動彈性研究方面，美國德州農工大學已經搭建起研究氣動彈性現象的實驗平臺，建立了包含結構非線性的氣動彈性系統數學模型，并針對該模型設計了大量基于后緣單控制面的控制方法[3-6]，單控制面布局的二元機翼控制效率并不是很高，為提高控制效率，基于前/后緣雙控制面的控制方法也得以應用[7-10]。基于SDRE(狀態相關Riccati方程)非線性控制方法在顫振主動抑制上已較早得以應用，主要是針對單控制面布局的二元機翼顫1振進行控制；值得注意的是，SDRE非線性控制理論的應用存在限制條件，SDRE方法并不能直接應用在文獻[5-6]的二元機翼模型上，原因在于文獻[5-6]的二元機翼模型的輸入矩陣是一個列向量，而SDRE非線性控制理論要求輸入矩陣必須為行滿秩矩陣才能確保系統收斂[11]，因此現有文獻中基于SDRE的非線性顫振主動抑制方法尚待商榷。

為解決上述問題，本文以前/后緣雙控制面布局的二元機翼為研究對象，應用Lyapunov穩定性理論設計了一種改進SDRE非線性魯棒控制律，實現了二元機翼顫振的有效抑制，本研究旨在為改進SDRE非線性魯棒控制方法的應用提供理論依據，同時為抑制機翼顫振現象提供可行的新方法。

1 雙控制面二元機翼氣動彈性模型

本文采用前/后緣雙控制面布局的二元機翼氣動彈性模型，其模型結構如圖1所示。

圖1 雙控制面二元機翼Fig.1 Airfoil with two control surfaces

前/后緣雙控制面布局的二元機翼數學模型可表示為

(1)

式中：h為沉浮位移，α為機翼迎角，Iα為機翼慣性矩，xα為機翼重心到彈性軸的距離，kα(α)和kh(h)分別為俯仰方向與沉浮方向所含的非線性剛度，cα和ch分別為俯仰方向和沉浮方向的結構阻尼系數；用準定常理論描述作用在二元機翼上的力矩和氣動力，具體可表示為

(2)

式中：ρ為空氣密度，sp為機翼翼展長度，U為來流空氣速度，b為機翼弦長的一半距離；Clα、Clβ和Clγ分別為機翼迎角、機翼后緣控制面和前緣控制面所產生的升力系數；Clα、Clβ和Clγ分別為機翼迎角、機翼后緣控制面和前緣控制面所產生的升力系數；Cmα-eff、Cmβ-eff和Cmγ-eff分別為相應的有效力矩系數，具體可表示為

(3)

Cmα可視為0。

在模型中加入陣風擾動，由其引起的升力和力矩可表示為

(4)

俯仰方向與沉浮方向所含的非線性剛度kα(α)和kh(h)可分別用多項式擬合為

(5)

(6)

式中，

F=mtIα-(mwxαb)2,k1=Iαkh(h)/F

k2=(IαρbClαsp+mwxαρspb3Cmα)/F

k3=-mwxαbkh(h)/F

k4=-(mtρspb2Cmα-eff+mwxαρspb2Clα)/F

c1=[Iα(ch+ρspbUClα)+mwxαρcα]/F

c2=[Iαρspb2UClα(0.5-a)-mwxαb+

mwxαρUspb4Cmα-eff(0.5-a)]/F

c3=[mwxαb(ch+ρspbUClα)-mtρUspb2Cmα-eff]/F

c4=mt{[cα-ρUspb3Cmα-eff(0.5-a)]-

mwxαρspb3Clα(0.5-a)}/F

b13=(IαρbClβsp-mwxαρspb3Cmα-eff)/F

b14=(mwxαρspb2Clβ+mtρspb2Cmα-eff)/F

b23=(IαρbClγsp-mwxαρspb3Cmγ-eff)/F

b24=(mwxαρspb2Clγ+mtρspb2Cmγ-eff)/F

式(4)、(6)中的ωg(τ)為氣動彈性系統中加入的陣風干擾，該陣風模型為

(7)

考慮前緣和后緣舵面偏轉的工作情況，實際的控制輸入ui滿足：

(8)

(9)

2 改進SDRE非線性魯棒控制律設計

2.1 模型轉換

二元機翼顫振抑制的目的在于使沉浮位移h和機翼迎角α都快速收斂到零。值得注意的是式(6)中輸入矩陣B∈R4×2，并不是行滿秩矩陣，為了使系統輸入矩陣B滿足行滿秩要求，定義

(10)

對上式求導可得

(11)

定義

x=Zxr

Z=[kBBTξ-A(x)]-1BG0-1

(12)

且，G0=C[kBBTξ-A(x)]-1B,kBBTξ-A(x)為Hurwitz矩陣。

則式(11)可表示為

(13)

所以式(6)的二元機翼氣動彈性模型可表示為

(14)

2.2 SDRE魯棒控制律設計

在非線性系統中考慮最優控制問題，引入目標函數：

(15)

式中，對所有xr=(α,h)T∈R2，R(xr)和Q(xr)都是定義的正定對稱矩陣；恰當選擇權重矩陣R(xr)和Q(xr)，會得到期望的閉環系統響應。

定義一個狀態相關黎卡提方程

(16)

式中，K為負定對稱矩陣，Q為正定對稱矩陣。

根據最優控制思想可設計控制律為

u=L(xr)xr

(17)

(18)

矩陣P(xr)決定了系統穩定性，R為正定對稱矩陣，根據式(16)，則需設計參數矩陣K，由于K為負定對稱矩陣，則定義

K=-DDT

(19)

其中矩陣D為非奇異矩陣，則式(16)可改寫成

(20)

定義一個李亞普諾夫函數

(21)

式中，q=D-1xr。對李亞普諾夫函數式(21)求導可得

(22)

式中,

(23)

定義

(24)

由式(22)、(23)和(24)可知

(25)

引入mori下界[12]:

(26)

(27)

根據mori下界的性質[13]可知

(28)

(29)

(30)

設計參數矩陣為

(31)

則

(32)

(33)

綜上所述，整個閉環系統的結構圖如圖2所示。

圖2 控制系統結構圖Fig.2 The structure of control system

3 仿真分析

對模型進行線性化處理后發現，模型的穩定性取決于來流速度U；當時U=11.32 m/s，模型的特征值分別為±12.77i，-1.49±12.34i即線性模型存在一對純虛根。當U≥11.32 m/s時，系統是不穩定的，當U≤11.32 m/s時，系統是穩定的。當速度U=13.20 m/s時，系統的相軌跡如圖3所示。

圖3 系統相軌跡Fig.3 System phase diagrams

由圖3可知，系統出現明顯的極限環現象，俯仰運動的幅值為11.32°，沉浮運動的幅值為0.004 8 m。系統顫振的頻譜分析如圖4所示，可知系統的主要頻率成分為2.031 Hz。研究U=13.20 m/s速度下，利用主動控制技術來抑制氣動彈性系統的顫振問題。

圖4 系統頻譜Fig.4 System frequency spectra

取來流速,U=13.20 m/s，Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,500)，r=1 000，νimax=15°時，νimin=-15°假設陣風干擾在整個仿真過程中始終存在，系統仿真結果如圖5所示。

圖5 SDRE非線性魯棒控制 (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)Fig.5 SDRE nonlinear robust control (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)

由圖5可知，當t<17 s時，系統發生顫振，其幅值穩定在某一特定值，系統控制輸入為0，即此時為系統的開環響應。當t≥17s時，閉環系統能快速達到穩定狀態，且前/后緣控制面偏轉角都小于10°。

其他仿真條件不變，分別改變Q=diag(10,100)和R=diag(10 000,200)，系統仿真結果分別如圖6和圖7所示。

圖6 SDRE非線性魯棒控制 (Q=diag(10,100)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)Fig.6 SDRE nonlinear robust control (Q=diag(10,100)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)

圖7 SDRE非線性魯棒控制 (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,200)，r=1 000)Fig.7 SDRE nonlinear robust control (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,200)，r=1 000)

由圖5～7可得到各仿真結果的性能指標如表1所示。從表1可知，閉環系統在陣風干擾下都能快速到達穩態，且前/后緣控制面偏轉角度都小于10°，說明該控制方法具有較好的控制效果，且控制效率較高；若權重矩陣Q變為原來的10倍時，系統狀態量幅值變小，控制輸入幅值變大，但未達到飽和狀態；當權重矩陣R中r11/r22比值增大為原來的2.5倍時，控制輸入β變小，γ變大。因此合理地選擇權重矩陣Q和R，能優化系統響應和控制輸入。

表1 性能指標對比

4 結 論

針對文獻[5-6]所設計的SDRE非線性控制方法實質上并不能直接應用于二元機翼顫振的問題，設計了一種改進的SDRE非線性魯棒控制方法。該方法通過對狀態空間模型的等效變換，很好地解決了現有文獻中SDRE非線性控制不能直接應用于二元機翼顫振的問題。仿真結果表明，在陣風干擾下，系統的沉浮位移、俯仰角和前/后緣舵偏角都能迅速地收斂于零；且前/后緣控制舵面偏轉角度較小，都未達到系統的舵面偏轉限制值，所設計的控制律具有較強的魯棒性，實現了對二元機翼顫振現象的有效抑制。

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Active flutter suppression for a two-dimensional airfoil based on an improved SDRE nonlinear robust control

GOU Yiyong, LI Hongbo, DONG Xinmin, YANG Rennong, ZUO Renwei

(Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China)

In order to achieve the active flutter suppression of a two-dimensional airfoil, an improved state-dependent Riccati equation (SDRE) nonlinear robust control law was proposed based on the Lyapunov stability theory. The model of the two-dimensional airfoil with leading-and trailing-edge control surfaces was described in state space, and then the model was transformed into a form where the input matrixBis a full row rank matrix. The problem that the SDRE nonlinear control method can’t be directly applied to the active flutter suppression was solved. The simulation results were presented, which show the closed-loop system approaches to stability quickly under the impact of wind gust even if there is a hard constraint on the control input and the flutter suppression can be accomplished effectively. In addition, adjusting the weighting parametersQandRcan decrease the magnitude of control inputs.

two-dimensional airfoil; nonlinear robust control; flutter; state-dependent Riccati equation

國家自然科學基金(61473307；61304120)；航空科學基金(20155896026)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-01-15

茍義勇 男，碩士生，1991年11月生

董新民 男，博士，教授，1963年10月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.024