基于對數似然估計的目標定位跟蹤新方法①

劉 哲, 衛軍胡, 黃文準, 黃世奇(西京學院 電子信息工程系, 西安 703 )(西安交通大學 電信學院計算機科學與技術系, 西安 70049)

基于對數似然估計的目標定位跟蹤新方法①

劉 哲1, 衛軍胡2, 黃文準1, 黃世奇11(西京學院 電子信息工程系, 西安 710123 )2(西安交通大學 電信學院計算機科學與技術系, 西安 710049)

為避免無源定位中的迭代運算, 本文針對多站測角無源定位非線性觀測方程, 提出利用對數似然估計將其進行偽線性化處理, 從而實現目標位置的閉式解算. 首先, 在基于二維測角觀測量的前提下, 提出利用對數似然估計法將非線性觀測方程轉化為偽線性觀測方程的數學模型, 并推導出用于目標定位算法的閉式解. 接著, 利用“當前”統計機動模型和卡爾曼濾波, 實現對目標的精確跟蹤定位. 并通過仿真實驗驗證該閉式解的漸近最優性,從而驗證文中理論的有效性.

似然估計; 無源定位; 目標跟蹤; 卡爾曼濾波

無源定位技術是一種定位設備本身不發射信號,僅僅是依靠被動地接收輻射源的信息來實現定位的技術. 它可以利用未知位置的輻射源的輻射信息, 確定出該輻射源的類型、空間和地理位置; 或者利用已知地理位置的輻射源來確定航行中物體的空間和地理位置, 這也是導航和制導定位中的一項重要技術手段.與有源定位技術相比, 無源定位技術具有作用距離遠、隱蔽接收、不易被對方發覺等優點, 是現代一體化防空系統、機載對地對海攻擊以及對付隱身目標的遠程預警系統的重要組成部分, 對于提高系統在電子戰環境下的生存能力和作戰能力具有重要作用, 因此無源定位跟蹤技術一直是研究的熱點和難點.

無源定位是通過觀測站接收來自目標的無線電信號, 并從信號中挖掘出用于定位的觀測量. 一般的觀測量包括到達時間(Time of Arrival, TOA)[1], 接受信號強度(Received Signal Strength, RSS)[2], 到達時間差(Time Difference of Arrival, TDOA)[3-7], 到達方位角和俯仰角(ngle of Arrival, AOA)[8,9],到達頻率差(Frequency Difference of Arrival, FDOA)[10-16]等. 根據上述觀測信息均能夠建立關于目標位置或速度與觀測站位置之間的(非線性)方程, 再通過優化求解該方程即可獲得關于目標位置或速度的參數信息. 近些年來, 基于上述觀測量的目標定位算法已相繼提出, 其中包括Taylor 級數迭代算法[8,13], 總體最小二乘(Total Least Squares, TLS) 算法[12], 約束加權最小二乘(Constrained Weighted Least Squares, CWLS)算法[17], 約束總體最小二乘(Constrained Total Least Squares, CTLS)算法[7,14], 結構總體最小二乘(Structured Total Least Squares, STLS)算法[9]. 然而, 上述算法大都需要迭代運算, 這除了帶來較復雜的運算量外, 還會出現迭代發散和局部收斂等問題.

為避免無源定位中的迭代運算, 本文針對多站測角無源定位非線性觀測方程, 提出利用對數似然估計將其進行偽線性化處理, 從而實現目標位置的閉式解算. 首先, 在基于二維測角(方位角和俯仰角)觀測量的前提下, 提出利用對數似然估計法將非線性觀測方程轉化為偽線性觀測方程的數學模型, 并推導出用于目標定位算法的閉式解. 接著, 利用“當前”統計機動模型和卡爾曼濾波, 實現對目標的精確跟蹤定位. 并通過仿真實驗證明閉式解的定位性能均能夠達到克拉美羅下限(Cramér-Rao Bound, CRB), 從而驗證文中理論分析的有效性.

1 問題描述

在直角坐標系下, 假設觀測站i的位置分別為(xi, yi, zi), i=1,2,…,N, 飛行目標的空間位置在k時刻為(xk,yk,zk), 觀測站i測得飛行目標在k時刻的方位角為Ai,k和俯仰角為Ei,k. 在存在測量噪聲情況下, Ai,k和Ei,k可以用下式表示:

重新定義測量序列, 用向量ak表示為:

由于噪聲序列ni,k和ei,k是互不相關的零均值高斯隨機變量, 方差分別為σi2,k和εi2,k. 噪聲序列bk是2N.維向量, 均值為0, 方差矩陣由下式給出:

為了利用含噪聲項向量ak估計飛行目標在k時刻的位置(xk,yk,zk), 我們定義如下向量sk:

向量元素(xk,yk,zk)給出了飛行器在k時刻的位置, (,)給出了k時刻飛行器在x, y, z方向上的飛行速度,給出了k時刻飛行器在x, y, z方向上的飛行加速度.

假定sk的最大似然估計和它的誤差協方差矩陣pk/k-1先于ak被計算出來. s?k/k-1和pk/k-1定義如下形式向量:

我們研究的問題是如何用新的量測序列ak更新sk的最大似然估計和誤差協方差矩陣pk/k-1. sk的更新估計將用表示, 更新誤差協方差矩陣用pk/k表示.

2 對數似然估計的目標定位跟蹤法

2.1 對數似然函數求解

因為最大似然估計是漸近的高斯函數分布, 因此我們可以假定估計值s?k/k-1的概率密度函數是均值為sk, 方差為pk/k-1的高斯函數.的概率密度函數f( s?k/k-1)定義為:

因為在式(7)中, bk是均值為0, 方差為Rk的高斯高斯隨機向量, 所以向量a是均值為ao, 方差為Rkkk的高斯隨機向量. 因此ak的概率密度函數g( ak)由下式給出:

這里常數項被省略. 在給定s?k/k-1和ak的條件下,為了得到sk的最大似然估計, 必須最小化-L( sk), 表示如下:

2.2 近似對數似然估計函數推導

根據式(13)和式(14), 飛行目標位置坐標狀態變量xk, yk, zk與測量值Ai,k和Ei,k存在非線性形式.為了得到狀態變量與測量量之間的線性關系, 我們將在線性化這兩個等式.

對式(13)在s?k/k-1進行泰勒級數展開, 忽略掉高次項, 得到下式:

通過對量測Ai,k和Ei,k重復上面提到的線性化過程, 可以得到下面偽測量向量:

這里:

將上式計算結果代入式(15), 可以得到-L( sk)另外一個表達式:

因此, 為了得到狀態向量sk在k時刻的最大似然估計,,我們必須最小化-L( sk).

因為:▽2(-L( s))=2(p-1+HTR-1H)≥0, 所以式k k/ k-1kkk (23)求出的s?k/k是全局最小值. 在式(23)中Gk的定義為:

矩陣Gk叫增益矩陣, , 經變換后得到得到下面的等式:

第二步: 計算

第三步: 計算

這里, F表示狀態轉移矩陣, T表示采樣間隔, ax, ay,az表示x, y, z方向機動,a表示隨機加速度的均值(加速據)時間常數的倒數. W表示狀態噪聲, 服從零均值高斯分布, 方差為Q:

3 仿真結果與分析

為了驗證算法的可行性, 我們作以下三種仿真分析.

第一種: 設目標在平面上作勻加速運動, 起始坐標在原點, 起始速度v=2m/s, 加速度a=0.2m/s2.

00角度測量誤差服從均值為0, 方差為0.001o的高斯分布.仿真中取T＝1s, 機動常數為10, 兩個觀測站的位置o1(0,50)、o2(0,100). 圖1給出了跟蹤曲線結果, 圖2給出了速度估計結果, 圖3給出了加速度估計結果. 由圖可以看出位置、速度, 加速度估計值和理論值很接近.位置的均方根誤差0.032, 速度的均方根誤差為0.0897,加速度均方根誤差0.176.

第二種: 設目標在平面上作s型運動, 起始坐標在原點. 其運動曲線由下面方程決定:

初始條件同上. 圖4給出了跟蹤曲線結果, 圖5給出了速度估計結果, 圖6給出了加速度估計結果. 由圖可以看出位置、速度, 估計值和理論值很接近, 加速度估計值與理論值相差25%, 在一定誤差范圍內, 這種估計結果可以接受. 經過計算位置的均方根誤差0.16, 速度的均方根誤差為0.267, 加速度均方根誤差0.47.

在經過100次蒙特卡羅仿真后, 雖然每次估計的曲線不同, 但統計結果基本相同, 尤其是位置估計相對誤差小于4%. 這說明采用上述不僅可以獲得高精度目標定位精度, 而且提供了精度較高的速度和加速度估計. 但是, 當目標運動非常復雜時, 加速度的估計精度可能下降.

圖1 位置估計曲線

圖2 速度估計曲線

圖3 加速的估計曲線

圖4 位置估計曲線

圖5 速度估計曲線

圖6 加速度估計曲線

第三種, 仿真條件兩觀測站的位置坐標分別為: (-40km, 0, 0), (-40km, 0, 0), 采樣時間間隔為1s, 方位角和俯仰角的觀測誤差為5mrad, 目標的初始位置是( - 10 km ,50 km ,10 km). 運動軌跡分三個階段:

運動階段1: 勻速直線運動,各方向分速度為: vx=0.2,vy=0.1,vz=0, 運行時間為1500s;

運動階段2: 勻速圓周運動, 角速度為0.157rad/s,向心加速度為74m/s2, 線速度為471m/s , 圓半徑為3km, 運行時間為500s;

運動階段3: 勻速直線運動,各方向分速度為:vx=0.2,vy=0.1,vz=0, 運行時間為1000s.

本文經過100次蒙特卡羅仿真實驗, 實驗結果如圖7所示, 有實驗結果可以看出, 利用本文方法對目標位置進行計算, 其位置估計均方根誤差(RMS)漸近達到了克拉美羅下限.

圖7 本文方法位置估計RMS與克拉美羅下限

4 結論

根據信號估計理論, 最大似然估計精度可以達到克拉美羅下限, 是一種漸近的最優估計, 所以為避免無源定位中的迭代運算, 本文針對多站測角無源定位非線性觀測方程, 提出利用對數似然估計將其進行偽線性化處理, 從而實現目標位置的閉式解算. 首先,在基于二維測角(方位角和俯仰角)觀測量的前提下,提出利用對數似然估計法將非線性觀測方程轉化為偽線性觀測方程的數學模型, 并推導出用于目標定位算法的閉式解. 接著, 利用“當前”統計機動模型和卡爾曼濾波, 實現對目標的精確跟蹤定位. 并通過仿真實驗驗證閉式解的定位性能均能夠達到克拉美羅下限,從而驗證文中理論分析的有效性.

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New Object Tracking and Location Method Based on Logarithm Likelihood Estimation

LIU Zhe1, WEI Jun-Hu2, HUANG Wen-Zhun1, HUANG Shi-Qi11(Department of Electronic and Information Engineering, Xijing University, Xi’an 710123, China)2(Computer Science and Technology Department of Telecommunications College, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In order to avoid the iterative computations in passive location, based on the nonlinear observation equation of multi station passive location, a closed calculation is presented by converting the nonlinear measurement equations into the pseudo-linear equalities, utilizing Logarithm Likelihood Estimation method. First, a mathematical model for the pseudo-linearization of two dimensional nonlinear angle measurement equations is formulated and then the closed form solution for the target location algorithm is derived. Subsequently, we realize precisely tracking and location of objects based on current statistical model. Their theoretical location performances are proved to be able to attain the corresponding Cramér-Rao bound (CRB) and the simulation experiments are conducted to verify the effectiveness of the theoretical analysis in this paper.

likelihood estimation; passive location; object location; Kalman filtering

國防重點預研項目(20157648)

2016-07-02;收到修改稿時間:2016-10-08

10.15888/j.cnki.csa.005724