淺說中考平面直角坐標系中的點的變換問題

戴枝梅

摘 要：平面直角坐標系中的點的變換問題，是中考中重要的題型之一，它以平移、旋轉、軸對稱、相似等變換為杠桿，以考查學生動手操作、觀察判斷、計算推理等能力為主線，這類題往往書寫的少但思維量較大，因而，倍受命題者的青睞，教學中，我們也應倍加關注。下面以近年來中考中的平面直角坐標系中的點的平移、旋轉變換問題為例，供教學參考。

關鍵詞：變換；點坐標；平移；旋轉

古希臘科學家阿基米德曾說過：“假如給我一個支點，我將撬起整個地球”，這就是杠桿的力量.在平面直角坐標系中，若對圖形施以平移、旋轉、軸對稱、相似等變換，我們將在這些變換“杠桿”下撬出一個個新的圖形.

1.1以平移變換為杠桿，確定對應點坐標

例1 （宿遷）在平面直角坐標系中，線段AB的端點A的坐標為（-3，2），將其先向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到線段A′B，則點A對應點A′的坐標為______.

答案：A′ （1，-1 ）

一般地，點（a，b）向上（或下、左、右）平移m個單位后所得點的坐標變化如上關系圖所示。

例2 （南通）在平面直角坐標系中，已知線段MN的兩個端點的坐標分別是M（–4，–1）、N（0，1），將線段MN平移后得到線段M ′N ′（點M、N分別平移到點M ′、N ′的位置，如圖1），若點M ′的坐標為（ – 2，2），則點N ′的坐標為_________.

分析：將線段MN平移到線段 M′N′，這只強調了平移的起始與終止位置，而隱去了平移的路徑，為了便于表達平移前后的坐標之間的關系，我們可選擇左右平移與上下平移來實現.

由于點M ′（–2，2）與M（–4，–1）的橫坐標、縱坐標的差分別為2、3個單位（圖1），因而，點M（–4，–1）可先右平移2個單位，再向上平移3個單位后到點M ′（–2，2）處.點N（0，1）作同步平移，從而得到點點N ′的坐標為（2，4）.

1.2 以旋轉變換為杠桿，確定對應點坐標

1.2.1 中心對稱變換（即旋轉180°變換）

1.2.1.1 關于原點中心對稱變換

關于坐標原點O對稱的兩點的同名坐標互為相反數.

例3 （十堰）在平面直角坐標系中，若點P的坐標為（m，n），則點P關于原點O對稱的點P′的坐標為___________.

答案：點P′（-m，-n）

1.2.1.2關于非原點中心對稱變換

例4 （河南）如圖2，將△ABC 繞點C（0，– 1）旋轉180°得到△A′B′C′，設點A′的坐標為（a，b），則點A的坐標為（ ）

（A）（– a，– b） （B）（– a，– b – 1）

（C）（– a，b + 1） （D）（– a，– b – 2）

1.2.1.3析解：如圖1，將點A繞點C旋轉180°得到點A′，可以看作以線段AC為對角線的矩形ADCE繞點C旋轉180°得到矩形A′D′C′E′（與下文中的旋轉90°呼應）.

又知AD=A′D′=a，CD=CD′=b+1，因而，OD=b+2.∴點A的坐標為（– a，– b – 2），選D.

此外，本題還可通過平移，轉化為關于原點中心對稱變換進行解決.先看下面一般性問題：

如圖3，若點A（x1，y1）、B（x2，y2）關于點P（a，b）對稱，則點A、B、P的橫坐標、縱坐標之間分別存在什么關系呢？

我們先將A、B、P向下平移b個單位，再向左平移a個單位（即將點P平移到原點O處），得A′（x1-a，y1-b）、B′（x2-a，y2-b）.

于是，由A′與B′關于原點O對稱，從而，有

，進而 .

應用上述結論，立即可知例3答案為D.

1.2.2 旋轉90°變換

1.2.2.1 以原點為旋轉中心的旋轉90°變換

例5 （福州）如圖4，在矩形OABC中，點B的坐標為（-2，3）.畫出矩形OABC繞點O順時針旋轉90°后的矩形OA1B1C1，并直接寫出的坐標A1、B1、C1的坐標.

答案：A1（0，2）、B1（3，2）、C1（0，3）.

本題中的矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，就如同將“2×3”的火柴盒順時針方向推倒，因而，點A、B、C的對應點A1、B1、C1也就容易確定.這為解決“任意一點P繞另一點Q順時針或逆時針旋轉90°”問題提供一種直觀且易于操作的有效方法，即以線段PQ為對角線構造矩形，且矩形邊平行于坐標軸或在坐標軸上.如例6.

1.2.2.2 以非原點為旋轉中心的旋轉90°變換

例6 （青島）如圖5，△ABC的頂點坐標分別為A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉90°，得到△A′B′C，那么點A的對應點的坐標是（ ）

A.（–3，3） B.（3，– 3） C.（– 2，4） D.（1，4）

本題實質上就是將點A繞點C逆時針方向旋轉90°得A′.于是，構造以CA為對角線的矩形，再將其繞點C逆時針方向旋轉90°（如圖5），從而，易得A′坐標為（-3，3）.

中考平面直角坐標系中的“點的變換”問題的形式是多樣的，且考查的角度不同，難易度也不盡一樣，而且是多數“點的變換”都是依負于其它幾何圖形變換而生成的變換。