站在數(shù)學(xué)角度品讀《畫(huà)廊》

詹家鰭語(yǔ)

【摘 要】埃舍爾作為一名畫(huà)家，在藝術(shù)界、哲學(xué)界乃至數(shù)學(xué)界、計(jì)算機(jī)界都聲名顯赫，而他自己最為得意的作品《畫(huà)廊》更堪稱驚世之作，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理十分耐人尋味，本文將站在數(shù)學(xué)的角度分析這幅作品。

【關(guān)鍵詞】埃舍爾；《畫(huà)廊》；Droste Effect；Mathematica

凡是瞻仰過(guò)埃舍爾名作《畫(huà)廊（print gallery）》（圖1）的人，無(wú)一不為其奇妙之極的構(gòu)圖發(fā)出由衷贊嘆。不只是“畫(huà)中之畫(huà)”那么簡(jiǎn)單，埃舍爾把畫(huà)中的世界和畫(huà)中畫(huà)的世界無(wú)縫銜接在了一起。畫(huà)面的效果正是Droste Effect，而最經(jīng)典的Droste Effect并沒(méi)有畫(huà)中這樣“怪異”的效果。

以圖2為例對(duì)經(jīng)典的Droste Effect做一個(gè)直觀的表述。原圖是一個(gè)黑邊灰底方形，內(nèi)含一個(gè)從左下指向右上的深灰色箭頭，這類(lèi)同于《畫(huà)廊》中“畫(huà)的世界”；接著從中截去一塊（虛線圍住的區(qū)域），這一塊相當(dāng)于《畫(huà)廊》畫(huà)面中心的留白，該區(qū)域中的內(nèi)容之后再不會(huì)出現(xiàn)。對(duì)這塊區(qū)域是有要求的：它的邊長(zhǎng)比例要與原圖相同。稱截取后余下的區(qū)域?yàn)镈。

設(shè)圖像中每一點(diǎn)的坐標(biāo)在復(fù)平面上，即坐標(biāo)（x，y）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) x+yI（I是虛數(shù)單位），并有指數(shù)形式re？茲I，則如圖2-1到圖2-2所示的變化如下所述：

（*）D中的復(fù)數(shù)坐標(biāo)取自然對(duì)數(shù)變換.

（**）沿x軸負(fù)方向平移，緊密排列（圖2-1，也就是將圖中的[1]平移為[2]、[3]），圖像整體在縱坐標(biāo)上的范圍始終是2？仔，再代入以自然常數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)。

最后得到如圖2-2的效果，這也就是最經(jīng)典的Droste Effect。在此基礎(chǔ)上，若要得到《畫(huà)廊》中的效果，只需在（*）與（**）之間做一個(gè)旋轉(zhuǎn)加縮小的操作，使[1]的右上角與[1]的左下角橫坐標(biāo)相等并且[1]在縱坐標(biāo)上的范圍依舊保持。

《畫(huà)廊》與經(jīng)典Droste Effect的區(qū)別在于：自然對(duì)數(shù)是多值解析函數(shù)，對(duì)某區(qū)域內(nèi)的復(fù)數(shù)取自然對(duì)數(shù)，任一單值分支再經(jīng)以自然常數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)（是單值函數(shù)，也是自然對(duì)數(shù)的反函數(shù)）都能還原該區(qū)域。如圖2-2的經(jīng)典Droste Effect的結(jié)果位于黎曼面的同一葉片上，而《畫(huà)廊》的結(jié)果位于黎曼面的不同葉片上。事實(shí)上，《畫(huà)廊》的畫(huà)面雖然十分怪異，但又相當(dāng)流暢，原因在于它蘊(yùn)含著共形映射——這樣的映射保證了在除去中央“奇異點(diǎn)”的余下區(qū)域具有保角的性質(zhì)，能使“旋轉(zhuǎn)角不變”和“伸縮率不變”。

所以，如果埃舍爾在畫(huà)面中心的留白處不斷進(jìn)行作畫(huà)，畫(huà)面中想必會(huì)出現(xiàn)無(wú)數(shù)個(gè)看畫(huà)的男孩，并且順著他們的目光望去，眼中會(huì)出現(xiàn)無(wú)數(shù)個(gè)“自己”。

（注：本文制圖使用軟件mathematica10.2.0）

參考文獻(xiàn)：

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[7]https：//en.wikipedia.org/wiki/Print_Gallery_（M._C._Escher）.