有限元動態模型的修正方法綜述

李 杰

（天津航天瑞萊科技有限公司上海分部，上海 201199）

有限元動態模型的修正方法綜述

李 杰

（天津航天瑞萊科技有限公司上海分部，上海 201199）

結構在進行有限元仿真分析時，對比計算結果與實際測試數據，往往存在一定的偏離。針對有限元動態模型，基于實際測試獲取的少量數據，采用一定的修正算法，從而減小模型修正后的仿真結果與實測響應數據的誤差。通過文獻調研，對有限元模型修正的一般方法及其發展進行了歸納和總結。

有限元法；模型修正；優化問題

概述

目前，有限元法已經廣泛地應用于航天、船舶、橋梁等工程結構的動力學分析。要得到準確的動力學分析結果，首要的問題就是建立精確的結構有限元模型。但由于對結構（包括數學模型以及物理參數）缺少全面深入的了解，同時有限元分析方法作為工程上一種近似的計算方法，通過建立的有限元模型，常常不能得到結構的真實情況。模型修正技術正是在這樣的背景下，通過特定的模型修正來較大地減小分析結果的誤差，在解決實際工程問題發揮了重要的作用，也得到了很大程度的發展。同時需要注意的是，有限元模型修正是基于實測或試驗結果的方法，實測或試驗結果的準確性會較大影響模型的修正有效性。當測試結果本身存在過大的誤差，用來修正有限元模型也就意義不大了。

1 動力學模型修正方法

模型修正方法是從20世紀60年代發展起來的，Gravitz[1]首次提出通過飛機地面共振實驗數據來修正飛機的柔度矩陣。傳統的動力學模型修正方法分為矩陣型法和元素型法。

1.1 矩陣型法

矩陣型法常用的修正參數包括剛度矩陣、質量矩陣和子結構校正因子等。Baruch[2]、Berman[3]等人對該修正方法進行了開創性的工作。張德文基于質量陣和剛度陣的相關性，提出了通過正交性條件和特征方程分別來修正質量矩陣和剛度矩陣的方法。1980年，J. C. Chen[4]提出了矩陣攝動法。該方法在修改結構的物理參數時直接采用實驗模態分析所得的模態矩陣和特征值矩陣。Berman[5]利用模態正交性條件對上述方法進行了修正，該方法的優點是不需要完整的模態集。矩陣型法的缺點是改變了原矩陣的稀疏特性，且物理意義不明確。

矩陣型法中常用的方法包括全元素修正、非零元素修正、子結構校正因子修正等，這里簡要介紹全元素修正法和子結構校正因子修正法的一般思路及方法。

1.1.1 全元素修正法

該修正方法的原理為在質量正則化條件[Φe]T[M][Φe]下，最小化矩陣各元素的相對誤差范數。得到修正的質量矩陣和剛度矩陣分別為

其中

從式（1）可以看出，由于該方法只考慮了正則化條件，而忽略了動力學方程，僅作為一種純數學處理手段，且修正后的結構矩陣一般情況下不再能正確反映結構的連接情況，同時矩陣的稀疏性和窄帶性會受到破壞，給后續的計算和存儲帶來了很大的代價，很難應用于實際的大型復雜結構。

1.1.2 子結構校正因子修正法

有限元模型的剛度矩陣可以用r個子結構剛度矩陣之和表示

其中為經過擴充和坐標變換的子結構的剛度矩陣（如最簡單情況為單元剛度矩陣）。而修正后的剛度矩陣可表示為的加權和形式，即

由式（6）的表達式可以看出，在修正矩陣中，子結構本身的特性不受任何影響，只是改變了其對整個結構矩陣的貢獻大小。把式（6）帶入模型的動力學方程

得到

式（8）中含m的方程，r個未知數。當r ≤ m時，求解方程組可得到精確解或最小二乘解。通過求解出的向量（b1, b2, … , bn）T，代入式（6）即可得到修正后的剛度矩陣。對于質量矩陣的修正，同樣可以按照這種方法進行。

1.2 元素型法

從80年代末起，元素型法逐漸成了研究的重點。該方法的修正對象為矩陣元素或結構設計參數（包括幾何尺寸、材料屬性、邊界條件和連接剛度等）。

這種修正方法通過對幾何尺寸、材料屬性、邊界條件和連接剛度等一些在有限元建模過程中不容易確定的參數進行調整，從而使結構的模態頻率和模態振型發生變化。Q. Zhang和G. Lanllent在研究中，通過對子結構修正因子的靈敏度分析，獲得了建立有限元模型的誤差并修正未知的結構參數。J. C. Chen在文獻[5]中建立了有限元模型的模態頻率函數，修正變量為結構的設計參數Pj（Pj表示第j個參數），通過泰勒級數將在初值P0j處展開

應使設計參數Pj修正后模型的模態頻率ωi與試驗頻率ωri接近，應使兩者的偏差

最小，即同樣對于模態振型，可表示為

前述方法是基于模態參數的，另一種元素型法是基于頻響函數的。這方面的工作可追溯到1977年Natke[7]的研究，即采用加權最小二乘法處理無阻尼問題。后續，Larsson[8]等在利用動剛度矩陣的泰勒級數展開得到新的殘差形式后，通過動態縮聚方法，解決了仿真模型與試驗模型之間自由度不同的問題。在國內，黃東勝[9]、朱安文[10]等人分別對基于頻響函數的模型修正方法進行了相關的研究。

2 動力學模型修正技術的發展

在文獻[11]中，吳小菊對當前動力學有限元模型修正中的5項關鍵技術進行了總結如下：①修正參數的選取；②計算模型與試驗模型的維數匹配；③靈敏度分析；④（加權）最小二乘求解正反問題時條件數差的解決方法；⑤修正方法的正確性判斷。

有限元動態模型修正技術近年來有了較大的發展。王樂等[12]基于模態頻率來修正模型的剛度矩陣。張以帥[13]提出了一種不依賴于靈敏度分析的參數性修正方法，拓展了基于頻響函數的矩陣型模型修正方法。周瑞等[14]提出一種新的模型迭代技術—IOR技術應用于基于可測點數據的模型修正。

3 結束語

目前，模型修正技術已廣泛應用于航天、航空、汽車、船舶、土木和機械等領域。如加拿大波音公司某飛機模型的修正，美國通用公司轎車白車身的模型修正，斜拉橋有限元模型修正等。對于修正技術的未來發展，當前的一些問題還需要解決：①適用范圍窄；②由測量結果的不完整引起的結果不唯一性；③建模中的誤差定位，包括模型簡化誤差、測量誤差和模態截斷誤差；④修正模型主要針對低階模態；⑤軟件實現效率。這些都需要研究者更進一步地探討和研究。

[1] Gravitz. An Analytical Procedure for orthognalization of Measured [J]. MJAS, 1958, 25(11): 721-722.

[2] Baruch M. and Bar Itzhack I Y. Optimal weighted orthognalization of measured models [J]. AIAA Journal, 1978, 16(3):83-86.

[3] Berman, Flannelly. Theory of incomplete models of dynamic structures [J]. AIAA Journal, 1971, 9(8).

[4] J C Chen, Garba J A. Analytical Model Improvement Using Modal Test Results [J]. AIAA Journal, 1980, 18(6).

[5] Berman A and Nagy E J. Improvement of a Large Analytical model Using Test Data[J]. AIAA Journal, 1983, 21(8): 26-30.

[6] SLJ Hu, H Li, S Wang. Cross-model cross-mode method for model updating [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(4):1960-1703

[7] Natke, H.G., Die Korrektur. Rechenmodells Eines Elastomechanischen Systems Mittels Gemessener Erzwungener Schwinggungen [J]. Ingenieur-Archiv, 1977, 4(6): 169-184.

[8] Larsson, P.O. Model Updating Based on Forced Vibrations[C]. Proceedings of the 4th Conference on Recent Advances in Structural Dynamics. 1991:95-98.

[9]黃東勝, 黃方林, 顧松年.一種改進的動力縮聚及模型修正的方法[J]. 長沙鐵道學院學報, 1996, 14(4): 72-77.

[10]朱安文, 曲廣吉, 高耀南. 航天器結構模型修正技術的工程應用研究[C]. 2002年全國振動（診斷、模態、噪聲與結構動力學）工程及應用學術會議論文集, 北京: 2002.10.16.

[11]吳小菊. 結構有限元模型修正綜述[J]. 特種結構, 2009, 26(1): 39-45.

[12]王樂, 楊智春, 李文斌, 譚光輝, 劉江華. 基于固有頻率向量的模型修正方法[J]. 西北工業大學學報, 2008,26(1): 93-98.

[13]張以帥. 基于頻響函數的有限元模型修正方法及試驗研究[D]. 上海:上海交通大學, 2009.

[14]周瑞, 陳力奮. 基于可測點信息的模型參數修正方法[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(6): 70-74.

李杰，碩士研究生，中級工程師。主要研究結構設計及動力學仿真、動力學試驗 。

A Review of Updating Method of FE Dynamic Model

LI Jie
(Shanghai Branch of Tianjin Aerospace Ruilai Technology Co. Ltd., Shanghai 201199)

TDiscrepancies exist between results from a structural FEA model and experimental data from laboratory. The updating method of FE dynamic model is developed to decrease errors by using the measured data of structure. This paper presents the general theory and recent development by review of previous work of modal updating method.

finite element method; model modification; optimization prcldem

O326

A

1004-7204（2017）02-0034-03