需要 興趣 時間 對話
——以《找規律》教學例談“四招”助學生建模

文/寧啟平

需要 興趣 時間 對話
——以《找規律》教學例談“四招”助學生建模

文/寧啟平

數學課堂教學中，我們該怎樣發揮教師的主導地位，幫助學生積極主動地體會和理解數學與外部世界的聯系呢？第一，需要，體驗建模的必要；第二，興趣，維系建模的欲望；第三，時間，保障建模的形成；第四，對話，支持有效建模。

數學建模是對實際問題本質屬性進行抽象而又簡潔刻畫的數學符號、數學式子、程序或圖形，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。它的靈魂是數學的運用，它就像陣陣微風，不斷地將數學的種子吹撒在時間和空間的每一個角落，從而讓數學之花處處綻放。那么課堂教學中，我們該怎樣發揮教師的主導地位，幫助學生積極主動地“體會和理解數學與外部世界的聯系”呢？

1 需要，體驗建模的必要

2011年版《義務教育數學課程標準》指出：“課程內容要反映社會的需要”。是的，如果問題的情境是學生們生活中所熟知的，那么學生就會產生一種強烈的我需要了解這個知識的欲望。當學生的頭腦激活了已有的生活經驗，并使用積累的經驗來解決數學問題時，發現不是件容易的事情，數學模型的建立變成了問題解決的必要條件。所以在《找規律》一課，我呈現了如下主題圖進行教學。

（圖1）

老師提出：“記得吧，國慶節時，學校像上圖一樣，在大門口擺放了很多盆花？”同學們“記得！”的聲音悅耳動聽，老師接著問：“那按照從左到右的順序排列，第10盆花是什么顏色？”一個學生答道：“藍花，紅花；藍花，紅花；藍花，紅花；藍花，紅花；藍花，紅花。第十盆是紅花。”老師再問：“第100盆呢？”下面有了議論：“再這樣數，太麻煩了吧？”學生們自我否定了較為低級的思維品質，（當然，這也是一種思維，尤其是在數量較少的情況下，反能體現這種思維的優越性。）一會兒，又一個學生舉起了手：“我發現藍花是單數盆，紅花是雙數盆，100是雙數，所以第100盆是紅花。”學生的建模有了雛形，套用單數、雙數的解題策略，無論是第幾盆花，都可判斷盆花的顏色。

緊接著，老師出示圖2：

（圖2）

“這個情形大家也熟悉吧？那請同學們應答：從左往右數，第100只燈籠是什么顏色？”顯然，剛剛塑造的模型已經無法適用，現實的情境“引誘”著學生不得不思考更為普遍性的模型。

2 興趣，維系建模的欲望

三十多年的從教經驗告訴自己：數學教育教學的第一哲學命題是趣味，即對于小學生而言，趣味性是第一位的，所以，數學建模活動也可以籍學生感興趣的事物去維系學生建模的欲望。怎樣的知識學生感興趣呢？按心理學家的研究發現，有兩種：一種是好玩的知識，一種是有一定挑戰性的知識。

以此為出發點，在《找規律》的教學中，學生作答下題時，如下圖：

當學生說自己11歲，屬龍，23歲、35歲……的人與自己屬相相同后，我提出問題：“假如2012年出生的人屬鼠，那么2100年出生的人屬什么？”通過前文主題圖的學習，學生們已經找出了周期問題的模型：“規律總數÷一個周期的量數=幾個周期余幾”，且“余數‘幾’，就和這個周期中的‘幾’相同”。依據解題模型，學生列出（2100-2012+1）÷12=7……5，可觀察出周期的第5個生肖屬龍后，我又出示一個問題：“事實上2012年出生的人屬龍，那么2100年出生的人屬什么？”針對前一個比較好玩的問題，后一個問題帶有了一定的挑戰性。

因為雖然解題的模型是一樣的，但是對照模型，盡管除數的量都是12，即12生肖周期循環，可周期的順序發生了變化，第一個問題中的周期順序是“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬。”第二個問題中的周期順序是“龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬、鼠、牛、虎、兔。”在學生還用同樣的模型結構解題后，顯然出現了矛盾，有了矛盾就有了爭論，也正是知識挑戰，帶來了學生繼續去構建完整模型的動力。經過一番常識錯誤到再出發，學生們興奮地交流著發現：“雖然算式還是原來的算式，答案也是原來的答案，余數5對應的卻不再是龍，而是猴。”周期問題的解題模型至此才算臻于完美。

3 時間，保障建模的形成

“教育應當使所提供的東西讓學生作為一種寶貴的禮物來領受，而不是作為一種艱苦的任務要他去負擔。”這是愛因斯坦的告誡。可是，為了一味追求所謂的教學有效性，現在的課堂流行快節奏，老師一張PPT接著一張PPT地展示，同時輔以大題量的練習，美名曰高密度。這樣的課堂，學生只有緊張，只有惶恐，可謂苦不堪言。教育不是流水線，不能以單位時間里做題量的多寡來定性有效；教育必須是慢的藝術，如古人云：“慢工出細活。”

例如上文《找規律》的習題教學，正是因為我給了學生足夠的時間去辨別“假如2012年出生的人屬鼠，那么2100年出生的人屬什么？”和“事實上2012年出生的人屬龍，那么2100年出生的人屬什么？”的同與不同，學生才能水到渠成地發現周期數量相同但是周期順序不同，而順序決定了余數的用處。也正是充裕時間的保障，學生才能又機會辨析自己模型是否健全，是否符合普遍性原理；當模型需要修正的時候，也只有充裕的時間，才能保障學生自己去再度探索，否則，只能走回老師強行灌輸的老路。

4 對話，支持有效建模

2011年版《義務教育數學課程標準》闡述了這樣的觀點——“建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立數學問題中數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。”但是，學生求索模型的過程必定是曲折的，模型的構建也必定是從殘缺到完善，所以老師需要不斷地與學生以對話支持。

回到《找規律》主題圖2的教學：

老師提問：“從左往右數，第100只燈籠是什么顏色？”

一學生：“單數可以是紅燈籠，也可以是紫燈籠，這種方法不適合，但我可以知道紅、紫、黃三種顏色的燈籠可以圈出成一組，并且一組一組地依次出現。”

這贏得了不少學生的贊成，我依勢佯問：“如果第100只燈籠出現在第10組的第2，那是什么顏色？”

學生們欣喜若狂：“明白了，只要看第100燈籠出現在哪一組，排第幾就好了。”學生們列出算式：100÷3=33……1，我追問：“借你們的話，第100燈籠出現在哪一組，排第幾？”

學生自信滿滿地答道：“第34組，第1只，也就是紅燈籠。”

我不依不饒：“從左往右數，第200只燈籠是什么顏色？”

學生們愈發得意了：“200÷3=66……2，第200只燈籠是第67組的第2只，也就是紫燈籠。”

“都是老師在提問，難道你們就沒有什么問題？”我裝出一臉的無奈。學生們笑了，一個搶著問：“從左往右數，第90只燈籠是什么顏色？”另一個搶著答：“90÷3=30，從左往右數，第90只燈籠出現在第30組的……”停頓了一下，“第30組的最后一個。”

又一個學生提出：“那我來問吧，你們根據余數發現了什么？”模型結構的重點就這樣由學生提了出來。

……

恩格斯曾說過：“由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲，而是數學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠。”這句話道出了數學模型思想的核心，啟迪著我們數學教師，幫助學生找尋到建模的支點，用數學模型的杠桿，享受數學知識帶來的無窮魅力。

（作者單位：懷寧縣獨秀小學）