利用特殊點巧解數形結合題

王進林

摘 要：在高考中，解決函數、解析幾何等問題常用到數形結合思想方法。如何更好地根據代數式子所隱含的信息，發現圖象的變化規律是解題的關鍵。由于條件的限制，圖象不會“漂浮不定”，總會經過某些特殊點，抓住這些特殊點進行研究，就可以有效地引導學生找到解題的突破口。

關鍵詞：數形結合；特殊點；定點

數形結合就是要以數解形，以形助數，是高考熱點但也是難點。但對于數或形稍微復雜的題目，特別是含參數的題目，學生就一籌莫展，主要原因是不知如何畫圖、用圖，找不到解題的切入點。如何解決這個問題呢？我們先來了解學生的作圖習慣，畫二次函數圖象時，學生會先描出其頂點（或坐標軸上的點）；畫指數函數時，也會先描出點（0，1）（1，a），顯然，學生對圖象的理解，都是從某些特殊點開始的。所以，為了能整體把握圖象，我們可以先從圖象上的某些特殊點開始研究，這些特殊點作為圖象的基本要素，影響著圖象的變化，對它們進行重點分析，就容易找到解題的突破口，讓思路更清晰、準確。以下我將通過幾個例子進行說明：

一、抓住函數圖象的特殊點，利于畫圖，簡化分類討論的過程

例1.設a>0，討論函數f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的單調性。

這是2011年廣東省高考文科第19題，是判斷函數單調性的高考常規題型，但是全省的平均分才2.94分，足以見學生解答得并不好。該題中如何對a進行分類，分類后又如何結合定義域寫出函數的單調區間，對學生而言都有一定難度。因f′（x）=■不妨令函數g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，注意到無論a取何值，函數y=g（x）的圖象恒過定點（0，1），且對稱軸x=■在y軸右側。從所過定點（0，1）開始分析，就能找到對a的分類。具體解法如下：

解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）。f′（x）=■

令g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1。

①當a=1時，g（x）=1，f′（x）=■>0（x>0），f（x）在（0，+∞）內為單調遞增函數；

②當a≠1時，g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1為二次函數，圖象過定點（0，1），且對稱軸為x=■>0（a>0）

■

（1）當2a（1-a）<0，即a>0時，y=g（x）圖象如圖1所示，g（x）=0在（0，+∞）只有一正根x1，此時f（x）在（0，x1）單調遞增；f（x）在（x1，+∞）單調遞減。

（其中x1=■-■）

（2）當2a（1-a）>0且？駐=4（a-1）（3a-1）≤0，即■≤a<1時，y=

g（x）圖象，如圖2所示，g（x）≥0在定義域內恒成立，所以f（x）在（0，+∞）內單調遞增；

■

（3）當2a（1-a）>0且？駐=4（a-1）（3a-1）>0，即0

■

此時f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）內單調遞增；f（x）在（x1，x2）內單調遞減；

綜上所述：（略）

本解法符合了學生的抓住關鍵點畫圖的習慣，并根據現有的對二次函數圖象的認知，輕松找到分類討論的依據，本解法的優點還在于簡化了對導函數的零點與定義域間的討論，使得對參數的分類更明確，思路更為清晰，結果更明顯。

但若函數圖象所過特殊點不是一個定點，還能不能這樣處理呢？請看下題：

例2.已知函數f（x）=x+■+lnx，其中a∈R，求f（x）的單調區間。

本題完全可以借鑒例1的解法，具體解法如下：

解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=■，令g（x）=x2+x-a。

y=g（x）的圖象過點（0，-a），對稱軸為x=-■，開口向上。

①當-a≥0，即a≤0時，如圖4所示，g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）內單調遞增；

■

②當-a<0，即a>0時，如圖5所示，g（x）=0只有一個正根x1=■且x∈（0，x1），g（x）<0即f′（x）<0；f（x）在（0，x1）內單調遞減x∈（x1，+∞），g（x）>0即f′（x）>0；f（x）在（x1，+∞）內單調遞增；綜上所述：當a≤0，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；當a>0，f（x）的單調減區間為（0，■），單調增區間為（■，+∞）。

■

雖然g（x）=x2+x-a圖象所過點（0，-a）中含有參數a，但由定義域的限定，點（0，-a）作為一個端點值，仍然可以以小見大，揭示圖象變化的規律，簡化分類討論的情況，降低難度。抓住了特殊點，就可以把圖象的“脈”了。

二、抓住圓錐曲線中的特殊點，利于用圖，找到解題思路

例3.已知直線y=k（x-2）（k>0）與拋物線y2=8x相交于A、B兩點，F為拋物線的焦點，若FA=2FB，則k的值為 .

分析：如圖6，本題中拋物線的焦點為F（2，0），結合直線的方程，不難發現，無論k取何值，直線也必經過點F（2，0），從這焦點的特殊性出發，常規的解題思路就容易形成了：運用拋物線的定義來解題！

■

解：記拋物線的準線為l，過A作AP⊥l交于點P，

過B作BQ⊥l交于點Q，作BM⊥AP交于點M，

則BQ=PM=AM=■AB，所以BM=2■AM，

可得k=tan∠AFx=tan∠MAB=■=2■。

例4.已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為■，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12。圓Ck：x2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點Ak。

（1）求橢圓G的方程；（2）求△AkF1F2的面積；（3）問是否存在圓Ck包圍橢圓G？請說明理由。

■

這是2009年廣東高考文科19題，易求（1）：橢圓G的方程為：■+■=1，（2）：■=■×F1F2×2=■×6■×2=6■。以下重點分析第三問。

A1，A2，B1，B2是橢圓G的四個頂點，決定著橢圓G的位置，圓Ck的半徑為■，圓心是Ak（-k，2），雖然Ak是一個動點，但Ak有其特殊性，即Ak恒在直線y=2上。不妨先判斷四頂點與圓Ck的位置關系，根據條件中的數量關系畫出圖象如圖7所示，顯然橢圓下頂點B1（0，-3）在圓Ck上，借助圖象可以猜想圓Ck不能包圍橢圓G。

嚴格證明如下：

若k≤0時，A1Ak=■>■，說明A1在圓Ck外；

若k>0時，由對稱性可知點A2在圓Ck外。

所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.（詳解略）

例5.已知拋物線C：y=x2的焦點為F，動點P在直線l上運動，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別是A，B.問：是否存在常數？姿（？姿>0），使得∠PFA=？姿∠PFB恒成立？若存在，求出？姿的值；若不存在，說明理由。

這是一道探索性問題，直接做很復雜，而根據特殊與一般的原理，我們可以在直線 上找一個特殊點來探路，猜想一般可能成立的結論，這樣做往往可以快速找到解題的突破口。既然要找點就找出特殊點，方便分析研究。具體解法如下：

■

解：假設存在常數？姿，使得∠PFA=？姿∠PFB成立，

如圖8取直線l與y軸的交點P，由拋物線的對稱性知∠PFA=∠PFB，此時？姿=1。

下面只需證明點P在直線l上運動時，恒有∠PFA=∠PFB成立。

設A（x1，x12）、B（x2，x22），易求得切線PA、PB的方程分別為：

y=2x1x-x12，……①，y=2x2x-x22，……②

由①，②知點P的坐標為（■，x1x2），

所以■=（x1，x12-■），■=（■，x1x2-■），■=（x2，x22-■），所以cos∠AFP=■=■，

同理cos∠BFP=■=■，所以∠PFA=∠PFB恒成立。

即存在？姿=1，使得∠PFA=？姿∠PFB恒成立。

上題的解答過程中，若沒有利用特殊點，解題難度可想而知，可見，特殊點如一盞明燈，照亮了我們迷茫的心，能讓我們盡快找到解題的思路。由于特殊點在圖形中并不難找，所以利用特殊點解數形結合題是可行的，也是有必要的。

通過以上例子的分析，我們清楚認識到，以特殊點為突破口的解題策略，順應學生的思維習慣，降低了解題的難度。所以，我們在平時的教學要充分了解學生的思維習慣，進行合理的分析引導，才能讓學生深刻掌握解題方法。

參考文獻：

[1]孫維剛.孫維剛高中數學[M].北京：北京大學出版社，2005-01.

[2]徐根弟.普遍性與特殊性在高中數學教學中的滲透[J].中學數學教與學，2007（7）.