有總結才會有提高

牛孝武

高中數學教學中，面對琳瑯滿目的復習資料，若不對資料中的知識方法加以總結，學生常會感到手足無措，勢必會陷入資料的漩渦，進行題海戰術，不僅復習效率低下，而且會浪費寶貴的時間。所以如何盡可能地提高復習效率的責任就落在了科任老師的肩上。

一、把握數學思想，提高復習效率

例如，在復習函數導數這部分時，單調性討論是一種常見的題型，它不僅考查了分類討論思想，還考查了綜合應用所學知識解決問題的能力。對學生的要求較高，經驗表明，很多學生討論得不夠全面，很難拿到滿分。本人在教學中總結了一下，大致有三類討論問題：

第一類是討論根的個數。

問題1：（安徽省高考題）已知函數f（x）=x-■+a（2-lnx），a>0。討論f（x）的單調性。略解：求導之后分子是關于x的二次函數，二次函數根的個數依賴于參數a。

第二類是討論根的大小。

問題2：（遼寧省高考題）已知函數f（x）=■x2-ax+（a-1）lnx，a>1。略解：令f'（x）=0得x1=1，x2=a-1，此時需要討論1和a-1的大小。

第三類是討論根是否在定義域內。

問題3：（山東省高考題）已知函數f（x）=lnx-ax+■-1，a∈R，當a≤■時討論f（x）的單調性。略解：當a≠0時，令f'（x）=0得x1=1，x2=■-1。若0

掌握了這三類問題后，如碰到討論函數單調性問題的話，必能用其中的一種或幾種加以解決。如2010年北京市高考題：已知函數f（x）=ln（1+x）-x+■x2（k≥0），討論f（x）的單調區間。這一題如果不加限制條件k≥0的話，則包含了上面的所有三種討論。

二、揭示本質規律，提高復習效率

在復習高考題時，會發現許多題目反映的結論相似，如老師能加以總結，學生花時間去研究，既節省了大量時間，又培養了學生獨立思考進行研究的能力，真正做到事半功倍。

例如，在解決圓錐曲線與直線相交問題時，某一題可能就是一個結論。

問題1：（山東省高考題）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交與A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標。

問題2：（山東省高考題）設橢圓E：■+■=1（a，b>0）過M（2，■），N■，1）兩點，O為坐標原點。（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且■⊥■？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在，說明理由。

經研究得到：

結論1：過橢圓■+■=1（a>b>0）的右頂點M做兩條相互垂直的直線交橢圓于A，B兩點，則直線AB恒過定點（■，0）。

結論2：過橢圓■+■=1（a>b>0）的中心O做兩條相互垂直的直線交橢圓于A，B兩點，則直線AB與圓x2+y2=■相切。

三、注重一題多解，提高復習效率

在復習中注意一題多解，引導學生從不同的角度去審視問題，使學生加深對知識的理解，更好地掌握技能和技巧，對完善學生的知識結構也起到了促進作用。若能夠把一道題的幾種方法運用到一類題目上，那么一題多解的目標也就達到了。

例：（重慶市高考題）已知函數y=■+■的最大值為M，最小值為m，則■的比值是多少？

略解：這個問題的本質是函數的值域，可以有如下的解法：（1）平方，轉化為二次函數的值域問題；（2）三角代換，令x=4sin2θ-3（θ∈[0，■]）轉化為三角函數的值域問題；（3）令u=■，v=■問題轉化為在約束條件u2+v2=4（u≥0，v≥0）的條件下求u+v的最小值和最大值問題。用上面的方法可以解決問題：函數f（x）=■+■的值域是什么？

四、加強數學思維，提高復習效率

這一類問題的特點是所用的知識并不是很深奧，但的的確確需要認真去想，而且有時僅僅從正面思考是不夠的。如，上面講的2009年山東省高考題用數學歸納法解決的時候，若從正面思考的話，是想不出放縮■=■>■=■的。所以分析法這一利器就可以閃亮登場，再如：

例：（福建省高考題）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）.（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：■-■<■+■+…+■<■（n∈N*）.略解：容易求出an=2n-1（n∈N*），第二問令bn=■，先證明右邊的不等式bn<■，則b1+b2+…+bn<■，這比較容易想到，再證明左邊的不等式，如果仿照右邊的不等式證明bn>■-■，發現不行，所以證明bn>■-■·■，這個不等式分析法和綜合法都能夠證明。下面這個題目也是通過分析法找到解題的思路：

（江西省高考題）已知數列{an}滿足：a1=■，且an.=■（n≥2，n∈N*）。（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：對一切正整數n，不等式a1·a2·…·an<2·n！恒成立.

以上本人從四個方面說明了提高復習效率的一點做法。作為教師，一定要盡可能地將問題分門別類，有的放矢地進行有效講解，讓學生真正從題海中跳出來，切實做到真正解放自己，也解放學生。