中等難度函數題的解題切入點

[摘 要] 本文重點介紹了數形結合、分類討論、等價轉化、消元和換元等數學方法在解決函數問題時發揮的巨大作用，同時闡述了處理中等難度函數問題時如何找準思維突破口，從而達到破題的目的.

[關鍵詞] 定義域；奇偶性；換元；數形結合

函數是高中數學的主干內容，與之相關的知識在高中數學中枝繁葉茂，幾乎每一個模塊都會涉及，沒有函數的基礎，在高中數學里必將舉步維艱. 函數還是數學思想方法的良好載體，諸如數形結合、分類討論、等價轉化、消元和換元等數學方法在函數中都得到了很好的體現.由此造成函數問題綜合性強，思維難度高，師生都深感棘手. 本文擬從以下幾個方面探究中等難度函數問題的思維突破口，理清解題思路，總結其中規律，從而形成解決函數問題的一些常用解題切入點.

[?] 優先考察定義域

函數的定義域是函數的三要素之一，面對函數問題，優先考慮定義域是基本原則.有了定義域就有了研究的范圍，有了較小的范圍，就不必再在R上去大海撈針！

例1：已知定義在[-1，1]上的偶函數f（x）在[-1，0]上單調遞增，若f（2x2）>f（x+1），則實數x的取值范圍是_______.

解析：如果考慮運用偶函數f（x）在[-1，0]上單調遞增，可以將條件f（2x2）>f（x+1），轉化為f（-2x2）>f（-x+1），從而得到-1≤-x+1<-2x2≤0，即0≤2x2

如果定義域優先，可以解不等式組2x2≤1，

-1≤x+1≤1（這個工作早晚都是要做的），解得-≤x≤0，這樣（*）式右側的絕對值就自動去掉了，從而解出2x2

-，0

. 這里的定義域優先使得不需討論即可去掉絕對值，從而減少了討論過程.

從上例可知，函數的定義域不但是研究函數其他性質的基礎，且有時對解決問題的方法會產生重要影響. 面對函數問題，第一要考慮其定義域，這一原則切不可忘.

[?] 主動試探奇偶性

有了函數的定義域后，如何研究函數的其他性質呢？在高中數學中，函數的單調性和奇偶性是教材重點給出的兩個重要性質，許多問題都圍繞這兩者展開. 結合這兩個性質的特點可知，面對一個陌生的函數，當我們已經有了函數的定義域且定義域關于原點對稱（否則無奇偶性），我們應優先考察函數的奇偶性，再考察其單調性.

從形上觀察，奇函數的圖像關于原點成中心對稱，偶函數的圖像關于y軸成軸對稱；從式中探求，當一個函數具有奇偶性時，知道其定義域內x處的函數值，即可確定-x處的函數值. 因此當我們發現了一個函數的奇偶性，關于該函數的一切問題都可轉化為y軸一側的問題，使研究的范圍進一步縮小減半.

如上面的例1，已經明確函數是偶函數了，這就給我們研究問題提供了明顯的思路：一是形的方面關于y軸的對稱性，二是式的方面滿足f（x）=f（-x）=f（x）=f（-x），從而形成上面的解法.

當題設條件沒有明示函數的奇偶性時，我們也要朝著美好的方向去想，即該函數若具有奇偶性，那不就可以省一半事了嗎？此時需要我們主動考察函數的奇偶性，將隱性轉化為顯性，從而使問題解決能夠事半功倍.

例2：函數f（x）=log2（x≠0）的圖像在第________象限.

解析：先求定義域可得：x∈（-1，0）∪（0，1），明顯地，x∈（0，1）時，t的值大于1，從而f（x）為正，故y軸右側的函數圖像在第一象限，若能判斷出函數f（x）為奇函數，則函數的圖像在一、三象限，而f（x）為奇函數是顯然的.

若令t=，畫出它的圖像，再根據對數的單調性等特點試探畫出f（x）示意草圖，則費時費力；再者，也有學生化t==-1，再根據x的取值范圍求出t的取值范圍，進而求出x不同范圍時t的取值范圍，這樣將更加費時費力. 這就體現了主動研究函數的奇偶性帶來的優越性.

例3：設函數f（x）=log

x，x>0，

log2（-x），x<0， 若f（m）>f（-m），則實數m的取值范圍是________.

解析：此函數的定義域已經明確，那么想一下f（x）能有奇偶性嗎？易判斷其為奇函數，從而f（m）>f（-m）可以轉化為f（m）>0，至此可以避免一切討論，若能結合函數圖像，更是一目了然.

由以上幾例可知，獲得函數的奇偶性，對作圖和函數其余性質的研究都會帶來方便.盡管單調性通常是我們解決函數問題最需要的性質，但在考察函數的單調性之前，先主動試探一下函數的奇偶性，或可使問題的解決事半功倍.

[?] 回歸教材巧換元

“一次二次反比例，三角函數冪指對.”這兩句話說的是中學數學教材（包括初中）要求學生掌握的常用基本初等函數，學生在遇到與此類函數相關的問題時，可直接利用教材所給的圖像和性質解題. 高中數學涉及的函數盡管復雜多樣，其構成形式無外乎兩類：一類是由基本初等函數通過內外復合構成的新函數，一類是由基本初等函數通過四則混合運算構成新函數. 遇到這些復雜函數時，應整體觀察函數解析式構成，對于復合式的函數，都可令內函數為新變元，回歸教材基本初等函數；對于混合式的函數，導數是常用方法，但有時也可從解析式中發現新變元，換元化簡后再求導會更簡單.

例4：函數y=的值域為______.

解析：函數定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），易知其為奇函數，所以求它值域，只需先考慮x∈（0，+∞）的情形.

當x∈（0，+∞）時，令t=2x-1∈（0，+∞），得2x=t+1，代入得：

y==1+. 因為t∈（0，+∞），所以y∈（1，+∞），

由奇函數性質知原函數的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）.

本題解法以2x-1為整體換元，最終將原函數的值域轉化為反比例函數的值域. 若令t=2x換元再代入，因為換元不徹底，最后所得函數便不如上法簡潔.

例5：已知f（x）=，且f（1）=1，f（-2）=4.

（1） 求a，b的值；

（2）已知定點A（1，0），點P（x，y）是函數y=f（x）（x<-1）的圖像上任意一點，求AP的最小值，并求此時點P的坐標.

解析：（1）a=2，b=1.

（2）由（1）知f（x）=，所以Px

，，建立目標函數AP2=（x-1）2+

，

其中x<-1.觀察該函數解析式，直接通分較復雜，不如令t=x+1∈（-∞，0），將分母化簡單后再處理.

于是AP2=（t-2）2+

=（t-2）2+

2-

=t2+-4

t+

+8，

觀察式子特征，聯系t2+和t+的關系，可知上式可以t+為整體再換元.

令u=t+∈（-∞，-2]，繼續化AP2=u2-4u+4.

此時問題已經回歸為一元二次函數的值域問題，不難解出當u=-2時，APmin=2+2，此時P點坐標為（-1-，2+）.

以上解法中用了二次換元，其目的都是為了讓目標函數解析式足夠簡單，最終回歸為基本初等函數. 當我們面臨的函數解析式比較復雜時，若能細心觀察解析式，優選出某一整體進行換元，即使換元后不能化為基本初等函數，也為接下來用導數研究其性質準備了相對簡潔的形式. 否則，若能換元而不換元，直接求導將會費時費力，更有學生在求導后再去換元，極易發生錯誤.

[?] 及時變形定核心

有時題設所給函數的解析式比較復雜，直接研究其性質會比較困難或容易出錯，嘗試換元也不能化簡，這時我們可以將函數的解析式加以變形，將函數的自變量集中在一起構造核心函數，達到去繁存簡化難為易的目的.

例6：已知函數f（x）=，當f（x）=有兩個不同的解時，則實數k的取值范圍是________.

解析：函數的定義域為R， f（x）=1+，從而可輕易發現f（x）為偶函數，從而它的圖像關于y軸對稱. 當k≤1時，顯見f（x）≤1，不合題意. 當k>1時，令g（x）=2x+1+，由g′（x）=

2x-

ln2=0得x=0，且在（-∞，0）上，g′（x）<0，g（x）遞減；在（0，+∞）上，g′（x）>0，g（x）遞增. 從而在（-∞，0）上，f（x）遞增；在（0，+∞）上，f（x）遞減. 考慮到g（x）≥g（0）=3，可知在（-∞，0）上，f（x）的值從小到大的變化范圍是

1，1+

；在[0，+∞）上，f（x）的值從小到大的變化范圍是

1，1+

. 故只要>?k>2. 綜上，k的取值范圍是（2，+∞）.

本題已知方程解的具體數目，一般要數形結合作圖，而作圖必須先研究函數的性質. 由于f（x）的解析式復雜，直接研究其奇偶性和單調性都很困難. 考慮到解析式是分式，在高中數學中，除了通分和分母有理化，換元法和部分分式法都是處理分式常用的變形手段. 以上解法先將分式分開，再將分子除下，發現核心函數g（x）=2x+1+，其奇偶性顯然，單調性易求，原函數問題也因此得解.

注：本題也可去分母換元后轉化為二次方程問題求解，或分離參數后求解.

例7：求函數f（x）=800-+，θ∈

0，

的最小值.

解析：f（x）=800-+=800+600

.

設g（θ）=，g′（θ）=，令g′（θ）=0得θ=，

當θ∈

0，

，g′（θ）<0，g（θ）單調遞減；當θ∈

，

，g′（θ）>0，g（θ）單調遞增.

所以g（θ）min=g

=，從而f（x）min=1400.

本題函數來源于一道模擬考試的應用題. 應用性問題因為來自生活實際，數據一般比較復雜，有些應用題的目標函數解析式更含有常數型字母，導致學生即使能順利建模，也會因計算出錯導致失分. 本題解法是流行的解法，即將函數自變量盡量集中，從原解析式中抽離核心函數，以后求導過程與周邊數據無關，大大減少了計算中的出錯率.

[?] 作圖重視點和線

從以上論述可知，函數圖像在函數問題的解決中有著舉足輕重的作用. 即便在解答題的代數推理中，函數圖像也往往是輔助思考的“幕后英雄”. 高中數學素有“有圖像，有一切”的說法，當代數推理遇到困難時，嘗試作圖是必須具備的數學素養.

我們作出的函數圖像通常是一條曲線，可看作無數多個點的集合.然而曲線只能反映直觀的變化趨勢，無數多個點也不可能逐一研究. 作圖中必須重視曲線相關的一些關鍵直線如對稱軸、切線、分段函數的分隔線、漸近線等，正是這些線給函數圖像的復雜變化定下了“規矩”；對于圖像上的點，要重視一些關鍵的點如零點、極點、定點、分段函數的聯結點等，這些點往往是函數整體性質研究的關鍵“穴位”.

例8：若x+a+2x-a>3（a≠0）對一切x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是________.

解析： 設f（x）=x+a+2x-a，雖然式中絕對值的兩個零點-a和大小不確定，但我們可以整體想象一下f（x）的圖像，它被兩條分隔線x=-a和x=分隔為三段. 無論這兩條分隔線誰左誰右，易知最右邊的一段函數圖像是一條單調遞增的射線，其起點A在右邊的分隔線上；最左邊的一段函數圖像是一條單調遞減的射線，其起點B在左邊的分隔線上.因為原函數圖像是連續的，在兩條分隔線中間的圖像顯然是線段AB. 為使f（x）>3恒成立，只需f（x）的圖像恒在直線y=3的上方，結合圖像特征可知，只需兩個聯結點A和B都在直線y=3的上方即可. 于是原問題等價于f（-a）>3且f

>3，易解得a∈（-∞，2）∪（2，+∞）.

本題的常規解法需討論-a和的大小，再分段研究f（x）的最小值，過程復雜冗長. 上述解法緊扣分段函數的分隔線和聯結點，切中問題要害，遂使解法簡潔明了.

例9：設a為常數，f（x）=（2x2-a2x+a）lnx的最小值為零，則a=________.

解析：設g（x）=lnx，φ（x）=2x2-a2x+a，則g（x）=lnx的零點為1，故1也是f（x）的零點，從而題設條件中的f（x）的最小值為零就可轉化為f（x）≥0恒成立. 由于在（0，1）上g（x）<0，（1，+∞）上g（x）>0，從而在（0，1）上φ（x）≤0；（1，+∞）上φ（x）≥0，所以二次函數φ（x）=2x2-a2x+a的零點之一為1，且另一個零點必須小于或等于0. 由φ（1）=0，得a=2或a=-1，檢驗可知：a= -1符合條件.

對本例中涉及的兩個函數g（x）=lnx和φ（x）=2x2-a2x+a而言，零點兩側兩個函數的值要保持同號. 圖1就是符合條件的函數的圖像；圖2是對應于a=2的被舍去的不符合題意的函數的圖像.

[x][O][y][1]

本題若直接求最值或變量分離都是煩不堪言的，作圖也呈現多種變化. 而上述解法特別關注零點及其兩側的函數值的情況，讓原問題在復雜多變的圖形中有了清晰的解決思路.

例10：已知函數f（x）=2x-1，x≤1，

，x>1， 當y=f（x）-m有兩個零點時，實數m的取值范圍是________.

解析：這個問題等價于函數y=f（x）與函數y=m圖像有兩個交點，如圖3，y=-1是函數在x≤1部分圖像的漸近線，y=0是函數在x>1部分圖像的漸近線，由此可知0

對于有漸近線的函數，如指數函數、對數函數、反比例函數等，作圖時一定要重視漸近線.漸近線規定了函數圖像變化的邊界，若忽視漸近線，極易對函數的定義域或值域做出錯誤判斷.如上題，忽視漸近線將得到錯誤答案m<1.

綜合以上論述，中等難度的函數問題盡管方法多樣綜合性強，但只要我們明察解析式特征，按一定規律找準解題切入點，便可理清解題思路，得到最終解法. 本文列舉一些常見問題，嘗試探究其中思維規律，其中必有不當之處，今后還將繼續思考.