圓錐曲線的一個相似結論

梅帝松

[摘 要] 圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）可以看作是符合某個條件的點的軌跡，而且與每個圓錐曲線具有近乎相同條件所產生的新軌跡又驚人相似，本文對此稍作探討.

[關鍵詞] 圓錐曲線；軌跡；相似

圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）雖然各自定義不同，圖形各異，但它們有很多共性.近日筆者在一次解題中偶然發現一個與圓錐曲線有關的點的軌跡具有極其相似的結論，特此展示，以便讀者參考.

性質1：垂直于x軸的直線l交圓C1：x2+y2=r2于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（0

證明：如圖1，設A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以

y3-y1·y3-y2=k①，

將y2=-y1代入①式，得y-y=±k②.

將y=r2-x代入②式，得

y+x=r2-k或y+x=r2+k（

x1

因此，點P的軌跡為圓C2：x2+y2=r2-k，或圓C3：x2+y2=r2+k（

x

特別地，當k=r2時，同理可證得點P的軌跡為點（0，0），或圓C4：x2+y2=2r2（

x

性質2：垂直于x軸的直線l交橢圓D1：+=1于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（0

證明：如圖2，設A（x1，y1），B（x1，y2），

P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以y3-y1·y3-y2=k③，

將y2=-y1代入③式，得：y-y=±k④，

將y=

1-

b2代入④式，

得+=1，

或+=1（

x1

x

特別地，當k=b2時，同理可證得點P的軌跡為點（0，0），或橢圓D4：+=1，若將點（0，0）看成是點橢圓D5，則橢圓D5、橢圓D1、橢圓D4的長半軸的平方成等差數列，短半軸的平方成等差數列.

性質3：垂直于x軸的直線l交雙曲線E1：-=1于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（0

證明：如圖3，設A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以y3-y1·y3-y2=k⑤，將y2=-y1代入⑤式，得y-y= ±k⑥.

將y=

-1

b2代入⑥式，

得-=1（

x1

>a），或-=1. 因此，點P的軌跡為雙曲線E2：-=1（

x

>a），或雙曲線E3：-=1，雙曲線E2、雙曲線E1、雙曲線E3的實半軸的平方成等差數列，虛半軸的平方成等差數列，且三者有共同的漸近線y=±x.

特別地，（1）當k=b2時，同理可證得點P的軌跡為雙曲線E4：-=1，或兩直線：y=±x（

x

>a），由此得到以下推論.

推論：過雙曲線的漸近線上任一點P且垂直于x軸的直線l交該雙曲線于兩點A，B，則PA與PB的積是定值.

（2）當k>b2時，同理可證得點P的軌跡為雙曲線E5：-=1（

x

>a），或雙曲線E6：-=1. 雙曲線E1、雙曲線E5、雙曲線E6有共同的漸近線y=±x.

性質4：垂直于x軸的直線l交拋物線F1：y2=2px（p是常數，且p>0）于兩點A，B，點P是l上一點，且PA·PB=k（k≠0），則點P的軌跡是兩個同軸拋物線（其中一個只是拋物線的一部分），該兩個同軸拋物線與拋物線F1的頂點橫坐標成等差數列.

證明：如圖4，設A（x1，y1），B（x1，y2），P（x1，y3）.

因為PA·PB=k，所以

y3-y1·y3-y2=k⑦，

將y2=-y1代入⑦式，得y-y=±k⑧.

將y=2px1代入⑧式，

得y-2px1=±k，因此，點P的軌跡為拋物線F2：y2=2p

x+

（x>0），或拋物線F3：y2=2p

x-

，拋物線F2、拋物線F1、拋物線F3的頂點的橫坐標成等差數列.

以上四個性質如此相似，正體現圓錐曲線間的本質脈搏相連、息息相關.