基于仿射變換下對橢圓的探討

賈慧美

[摘 要] 橢圓是高中數學的重要內容，它通常會以壓軸題的形式呈現在各種考試中. 由于學生的運算能力以及對解析幾何方法的深層次認識有待進一步的提高，所以圓錐曲線方面題失分率很高. 圓作為一個基本的幾何圖形， 與圓有關的定理舉不勝舉，但對于橢圓則不然.通過仿射變換可以實現橢圓到圓的變換，從而利用研究圓的方法來研究橢圓，從而大大降低難度.

[關鍵詞] 橢圓；圓；仿射變換

由仿射變換可知，橢圓通過適當的仿射變換可變成圓，從而大大降低研究難度. 因此，和橢圓相關的解析幾何問題可以先轉化為和圓相關的問題來研究，然后再回到橢圓中解決. 有關橢圓的問題在高考中也是一個重點、熱點，很多有關橢圓的問題，只能通過解析幾何的方法來解決，這就給我們解題帶來了不少麻煩. 因此，我們自然期望有一種方法，使得處理有關橢圓的問題和處理有關圓問題一樣容易，而由仿射變換性質可知，橢圓通過適當的仿射變換可變成圓，從而大大降低研究難度. 因此，和橢圓相關的解析幾何問題可以先轉化為和圓相關的問題來研究，然后再回到橢圓中解決.在利用仿射變換時主要利用以下定理：

定理1：兩條平行直線經仿射變換后仍變為兩條平行直線.

推論1：兩條相交直線經仿射變換后仍變成兩相交直線.

推論2：共點的直線經仿射變換后仍變為共點直線.

定理2：兩條平行線段之比是仿射不變量.

推論：一直線上兩線段之比是仿射不變量.

定理3：兩封閉圖形（如三角形、平行四邊形、橢圓等）面積之比是仿射不變量.

下面我們以一些實例加以說明.

例1：證明：橢圓的外切三角形A′B′C′的頂點與對邊上的切點連線交于一點.

分析：此題是關于線共點的問題，由于橢圓的一般性以及三角形的一般性，如果用初等幾何方法來解決比較難入手，但是可以用仿射變換的方法進行轉化，由于仿射變換保持同素性、結合性，所以將橢圓變成圓以后點與線的結合性以及相切等都不發生改變.

證明：易證在一個正三角形ABC中，其內切圓在對邊上的切點與頂點連線交于一點K，可以用仿射變換方法. 因對于△ABC與△A′B′C′存在唯一的一個仿射變換Ψ，使A→A′，B→B′，C→C′（如圖1）.

由于仿射變換保持結合性不變，△ABC的內切圓與各邊切點分別為A1，B1，C1. 由于仿射變換是一一變換，切點仍應變為切點. 所以A1→A′1，B1→B′1，C1→C′1，K→K′. 所以由AA1，BB1，CC1共點K，可知A′1A′，B′1B′，C′1C′共點K′.

例2：求橢圓+=1的面積.

分析：橢圓是一個二次曲線，用初等幾何和微積分的知識進行推導比較煩瑣. 考慮到圓經過仿射變換對應一個橢圓，所以橢圓也可以通過一個適當的仿射變換對應成一個圓. 再利用定理3即可.

解：在直角坐標系下，橢圓+=1，

經過仿射變換

x′=x，

y′=y，Δ=1 0

0

=≠0.

于是，橢圓的對應圖形為圓x′2+y′2=a2.

如圖2，橢圓內的△OAB：O（0，0），A（a，0），B（0，b），經過以上的仿射變換，△OAB的對應圖形△OA′B′，其中A與A′重合，B′（ 0，a），由于兩個封閉圖形的面積之比為仿射不變量，

所以=，

x′2+y′2=a2.

BC經過變換后為圓的直徑B′C′，A變為圓上的一點A′，

由圓的性質可知，kA′B′·kA′C′=-1，所以=·，

即kAB·kAC=-.

若焦點在y軸上時證明類似（略）.

例4：已知橢圓方程為+=1，過長軸定點A（-4，0）的兩條直線斜率乘積為-，交橢圓于B，C兩點，問是否存在所有直線BC一定過定點D，若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由.

解：易知a=4，b=3，作仿射變換

x′=x，

y′=y，Δ=1 0

0

=，如圖5

所以=·.

又因為kAB·kAC=-，

所以kA′B′·kA′C′=-1，

即A′B′⊥A′C′，所以B′C′恒過原點O′.

所以在橢圓中BC恒過原點O，即D（0，0）.

證法1：（初等幾何方法）

設弦AB的直線方程為y=kx+m，點A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），C（x3，y3）.

則有

x3=，y3==+m.

故所求直徑方程為

y=x=

k+

x.

將橢圓方程與弦方程聯立方程組，可求得x1+x2=. 代入上述直徑方程得b2x+a2ky=0.

證法2：（仿射變換方法）

設弦AB的直線方程為y=kx+m，則經仿射變換有

x′=x，

y′=y，即

x=x′，

y=y′.

將橢圓方程變為x′2+y′2=b2，將弦方程變為y′=kx′+m. 而弦的共軛直徑在圓中是與此弦垂直的，其方程顯然是y′= -x′，此方程經上述仿射變換還原到橢圓中去即為所給弦的共軛直徑方程y= -·x，即b2x+a2ky=0.

例6：（2007年寧夏、海南高考理科第19題）在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，）且斜率為k的直線與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.

（1）求k的取值范圍；

（2）設橢圓與x軸的正半軸、y軸的正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k使得向量+與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

分析：利用仿射變換將橢圓變換為圓后，可利用圓心到直線的距離與半徑的關系來刻畫直線與圓的位置關系，從而間接地刻畫了直線與橢圓的位置關系，這樣處理極大地降低了計算量. 在第二問中，若記+=，根據向量加法的意義可知PQ，OC相互平分，根據仿射變換的同素性知P′Q′，O′C′也互相平分，又因為O′C′過圓心，那么在圓中有P′Q′⊥O′C′，這樣有助于將問題簡單化.

解：（1）作仿射變換，令x′=

，

y′=y，則得到仿射坐標系x′O′y′，在此坐標系中，將上述橢圓變換為圓x′2+y′2=1，直線l：y=kx+變換為l′：y′=kx′+，

即kx′-y′+=0.

若直線l′與圓x′2+y′2=1的交點有兩個，則<1，即k2>，

所以k>或k<-.

（2）已知橢圓與x軸的正半軸、y軸的正半軸的交點分別為A（，0），B（0，1），經仿射變換后變為A′（1，0），B′（0，1），P，Q分別變為P′，Q′，則P′，Q′必在圓上，記直線A′B′的斜率為k1，則k1=-1，直線P′Q′的斜率為k.

若+與共線，則必有+與共線.

設+=，則必有⊥.

當∥時，⊥，此時有k=-=1?k=.

由（1）知k>或k<-，所以沒有符合題意的常數k.

點評：相對參考答案本題利用仿射變換后結合圓的性質，幾乎沒有代數運算就得到了結論，極大地降低了運算量，節省了寶貴的時間.

變換思想是一類主要的數學思想.應用變換的方法去解題可使問題得到簡化，從而在解題中取得較好的效果. 仿射變換就是幾何變換中的一類重要變換. 從上述討論中可以得出應用仿射變換解題的步驟可概括如下：①判斷求解的問題是否能利用仿射不變性質，仿射不變量求解，一般涉及點共直線、直線共點、線段比、面積比等一類問題皆可應用仿射變換解題；②選擇合適的仿射變換，找出所給圖形的合適的仿射圖形；③在仿射圖形中求證，寫出具體的仿射變換及解題過程.