激趣·探究·變式

陳達

[摘 要] 怎樣的課堂教學才是有效的？有趣情境的設計，探究活動的過程體驗，變式訓練的思維延展一個都不能少.

[關鍵詞] 高中數學有效教學；激趣；探究；變式

學生是教學的主體，如何提升高中數學課堂教學的有效性呢？筆者認為應該將學生的主體性地位擺在正確的位置上，有效激發學生的數學學習興趣，引導學生自主探究數學知識；同時還應該通過變式處理來有效發散學生的思維，提升學生解決具體數學問題的能力. 本文結合具體的教學案例從激趣、探究和變式三個方面就如何有效組織高中數學教學談幾點筆者的思考，望有助于課堂教學實踐.

[?] 興趣是最好的老師

對高中數學的學習而言，興趣是最好的學習動機激勵因素，只有激發學生數學學習的興趣，才能有效集中學生的學習注意力！富有趣味的問題鏈能有效地吸引學生的注意力，從而讓他們更加深入地參與到問題的解決中來. 這就要求教師精心選擇素材，從學生的興趣特點出發設計問題鏈，從而激起學生的心理共鳴，強化他們的探究欲望.

1. 故事化問題情境的預設

充滿智慧的故事能夠逐漸展開學生的思維，讓學生的思維、注意力隨著故事的展開而不斷地推進.

例如，在探究等差數列的求和公式時，教師可通過以下的情境開始我們的問題鏈設計：“高斯十歲時就能快速地計算出1到100的整數之和，大家都聽過這個故事嗎？你知道他是怎樣運算的嗎？”充滿智慧的故事能激起學生一探究竟的欲望，學生也將隨著故事情節的不斷推進，從而對等差數列的求和公式產生更加深刻的認識.

2. 生活化問題情境的預設

生活即教育！我們的問題情境如何和生活聯系在一起，往往能夠有效激活學生的學習興趣，促進學生知識、思維的遷移.

例如，教師在引導學生建構“集合”的概念時，給學生提供一個生活化的視頻——超市進貨. 在具體的生活情境中提出例如這樣的一個問題：一個大型超市，第一批次的進貨是手套、文具盒、面粉、足球共四種商品，第二批次進貨為足球、洗手液、大米、手套共四種商品，請問超市一共進了幾種商品的貨？

學生給出答案后，為了進一步強化認知，繼續追問：為什么不是“4+4=8”呢？進而啟發學生在對比和總結中形成新的概念認識——集合. 為了促成學生初高中知識的有效銜接，筆者從生活實際選材，然后逐漸過渡到抽象的數學概念，既培養了學生的數學知識遷移能力，也有效地激發了他們的學習興趣.

當然，興趣的激發不僅僅在問題情境的設計上，相關研究表明，數學成績好的學生往往對數學學習興趣度較高，為什么？因為成就動機轉化為了學習內驅力，為此，筆者認為我們教師在數學問題的設計上一定要從學生實際的認知水平出發，切忌貪難、求偏，“好題”如果不能恰當地應用反而會抹殺學生學習數學的興趣.

[?] 探究是最難忘的體驗

聽到的、看到的都會忘記，只有自己經歷過的才會記憶持久，探究式教學則是在教師的引導下學生通過一系列活動、任務來完成知識的探究和方法的積累，同時獲得情感上的提升.

例如，我們在和學生一起學習“橢圓”這一知識時，可以引導學生自主探究.

學具：給每個學生準備一張圓形的紙片.

探究活動：在圓內任取一個點A（不同于圓心），接著將紙片折起，使圓周過點A（如圖1所示），接著將紙片展開，就得到一條折痕（教學過程中為了讓學生能夠看清楚，可要求學生把直線畫出來），然后再重新選擇圓內的點，繼續按照上述方法折下去，學生可以得到若干條折痕.

提出問題：大家觀察你們得到的這些折痕，看一看他們圍成的輪廓是怎樣的曲線. （學生通過自主體驗，能夠發現得到的輪廓曲線為橢圓）

新的問題也隨著學生的探究、發現而自然生成.

生成性問題：是橢圓么？如何證明呢？課堂探究由此進一步鋪展，學生在探究活動中找尋證明的方法，感受橢圓的魅力，同時思維也獲得了有效提升.

反思：“折紙小世界，思維大舞臺”，本節課的設計充分體現了學生的主體性地位：學生的參與度很高，學生自主實踐，通過“折紙活動”發現并提出猜想，引入課堂，數學與實踐、生活統一在一起. 不僅如此，還進一步體驗到了數學知識之間的聯系（學生的探究是從圓開始的，其實質是圓生成橢圓的幾何作法），學生通過折紙體會圖形之間的變化與美感，感受到知識學習不應該局限于單一的知識本體，還應該放在數學學科結構和系統之中去發現、體驗，這樣學生的數學知識體系會更為完整.

[?] 變式是最高效的疊加

高中數學教學不僅僅要教給學生知識，培養學生能力，還應該發展學生思維，變式教學是比較高效的教學方法. 但是，變式教學也并非僅僅只有變式訓練一種模式.

1. 充分利用學生具有差異性的生成性資源

變式不一定是教師提供的，我們在教學的過程中，學生對同一個問題的思考與切入點存在差異，這些都是變式教學的重要資源，應該充分利用.

例如，有一個三角計算求值的例題：已知cos

α+

=，≤α<，求cos

2π+

的值.

如果我們教師在教學過程中不灌輸，而是讓學生自己去發現解決問題的辦法，那么學生對于這個問題的思考是有分歧的，分歧點在哪里？主要是運算的路徑不一樣.

生1：2α+=α+

α+

.

生2：2α+=

2α+

-.

雖然這兩條路都可以解決問題，但哪一種路徑更好呢？我們教學可以以此為生長點繼續向外延展. 從關系的簡潔程度來看，生1的解決路徑要比生2的簡潔，但是在求解cos

2π+

的過程中需要求解sin

α+

，sinα和cosα的值才能得到答案；而看上去比較繁雜的第二種關系，只要求出cos2α和sin2α即可得到答案. 學生通過對解題路徑的變化總結出解決具體問題的經驗，這比我們灌輸要好很多.

2. 借助于追問式的“變式”提升學生的思維深度

學習的過程是摸著石頭過河的過程，出錯在所難免，而如何引導學生發現錯誤、糾正錯誤，這是我們教師教學基本功的集中體現. 傳統的灌輸式教學，學生出現錯誤后，我們教師總是急于告知其正確的答案和做法，缺少思維的指引，其結果就是學生出現的錯誤在下次還是會出現，怎么辦？我們在教學過程中可以采用追問式的方法，將學生的思維引向其他方向，看上去是變式，但其實殊途同歸.

下面我們來看一道例題：求（1）sin1110°，（2）sin1290°，同時想一想兩者之間是否存在著一定的聯系.

筆者在教學過程中發現學生大多是可以思考的，但是往往會出現解題中斷的現象，他們對于這道例題往往可以解決到如下的地步：

（1）sin1110°=sin（30°+3×360°）=sin30°=；

（2）sin1290°=sin（210°+3×360°）=sin210°.

接下來很多學生便不知該如何下手了，思維出現了瓶頸，怎么辦？筆者認為這個時候變式訓練就可以派上用場. 我們可以通過變式提問的方法，給學生適當的提示，幫助他們實現解決問題思路的突破.

變式1：210°用30°如何表示？

變式2：210°角與30°角的終邊有怎樣的關系？

變式3：210°角與30°角的終邊交單位圓于A1，A2兩點，請分析這兩點有著怎樣的關系；設A1（x，y），求A2的坐標.

學生通過對這3個變式的思考，對問題的研究逐漸深入，最后很自然地得到了sin30°與sin210°互為相反數的結論，對于原問題sin1110°，sin1290°之間的關系也就自然找到了. 找到了兩者之間的關系，這個問題是解決了，但這并非是學生思維的終點，筆者認為我們還應該由此發散出去，還可以進一步地追問，這又是一次比較有深度的變式，可以將學生的思維引向更深處. 比如追問：如果對于任意角α呢，sinα與sin（180°+α）有著怎樣的關系呢？

筆者在教學實踐中發現，變式訓練不僅僅是給學生提供一些題組，通過刷題的方式來給學生增加訓練量和難度，而且應該結合學生的思維及解決問題的需要而開展，讓變式引導學生通過遷移、類比、推理等一系列過程自然地將思維向前推進，從而取得良好的教學效果. 學生從特殊到一般推得誘導公式，有足夠的情感體驗，記憶會更為深刻、有效.