賞析高考題，導航教與學

胡浩

[摘 要] 從試題的立意、背景、解法、錯解、價值等方面，對2016年安徽省文科考生眼中的難題——全國Ⅰ卷文科第20題進行研究，為教與學導航.

[關鍵詞] 文科；全國Ⅰ卷；第20題；立意；背景；解法；錯解；價值

2016年高考全國Ⅰ卷文科數學第20題如下：

在直角坐標系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p>0）于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H.

（1）求；

（2）除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由.

此題是解答題的第4題，試卷的壓軸題之一，滿分12分. 高考是一場選拔性考試，命題者的意圖就是想通過壓軸題拉開考生的成績，凸顯試卷的區分度，方便劃線錄取. 所以在安徽省近16萬名文科考生中，有98437人本題得0分，這其實是在意料之中的. 在預想之外的，一是該題平均分是1.26分，難度系數是0.105，都創安徽省文科解析幾何主觀題的最低；二是試題的設問形式與方式，與往年的高考題、復習中的模擬題對接不上. 往年的解析幾何題第（1）問通常是求圓錐曲線的標準方程，第（2）問則是由直線與曲線的位置關系解決有關范圍、最值、對稱、存在性等問題. 問題情境的變化導致考生臨場的心態波動，多數考生舉手無措，這從筆者對近十所省、市示范高中文科考生的調查中得到證實. 因而，有必要對這道“意料之中，卻又在預想之外”的高考題進行研究.

[?] 試題的立意研究

試題題型新穎，但方法仍是常規的！能真正考查學生的解析能力，考查解析幾何的本質——用代數方法解決幾何問題.考查的基礎知識有：點的坐標、直線方程的求法、直線與曲線的位置關系等；考查的思想方法有：方程思想、轉化與化歸的方法；較強的計算變形能力是正確解題的關鍵.

試題特色鮮明，清新亮麗：①選材——主干知識，點、直線、拋物線交匯自然貼切；②表述——題目精干、清新，猶如“小橋流水”，語言親切平和，簡潔明了，沒有一個字是多余的；③設問——分步設問，設問精煉，梯度分明.

第（1）問就打破“求圓錐曲線標準方程”的常規，不偏不怪，創新色彩濃厚，突出解析幾何的研究對象是平面幾何的本質特征；第（2）問實質上還是探究直線與拋物線的位置關系——是否相切，但設問的形式“妖艷”，意在考查學生“靈活轉換”的能力. 試題穩中有變，變化中呈現創新.

[?] 試題的背景研究

高考題根植于課本，孕育于教材.“題在書外，根在書內”，課本是高考命題專家的最愛.鏈接教材：

1. 信息技術應用：用幾何畫板畫圖，如圖1，點F是定點，l是不經過點F的定直線，H是l上任意一點，過點H作HM⊥l，線段FH的垂直平分線m交HM于點M. 拖動點H，觀察點M的軌跡. 你能發現點M滿足的幾何條件嗎？（人教A版數學選修1-1第56頁）.

2. 設拋物線的頂點為O，經過焦點垂直于軸的直線和拋物線交于兩點B，C，經過拋物線上一點P垂直于軸的直線和軸交于點Q，求證：線段PQ是BC和OQ的比例中項. （人教A版數學選修1-1第68頁復習參考題A組第6題）.

3.已知拋物線C：x2=2py（p>0），其焦點到準線的距離為.

（1）試求拋物線C的方程；

（2）設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t>0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于點M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值. （安徽省教科院編，2016年安徽省數學學科調研性試題）

“穩定中力求創新”一直是高考全國卷的命題原則之一. 毋庸置疑，課本例題、習題是最強的穩定器；創新是指在歷史繼承下的良性發展，是繼承中求變，在變化中出彩.因而，課本是研究高考的重要窗口.

[?] 試題的解法研究

解法一：對于第（1）問，求出點M，P的坐標，再由對稱性得到點N的坐標，聯立方程組，求出點H的坐標，即得；對于第（2）問，先求出直線MH的方程，再聯立方程組，判斷直線MH與拋物線C的位置關系.

（1）易知M（0，t），聯立方程組y=t，

y2=2px，得P

，t

. 又P為MN的中點，由中點坐標公式得N

，t

，所以直線ON的方程為y=x. 與y2=2px聯立，解得H

，2t

， 所以點N是線段OH的中點，故=2.

（2）由（1）求得直線MH的方程是y-t=x ，與y2=2px聯立消去x，整理得y2-4ty+4t2=0. 因為Δ=（-4t）2-4×4t2=0，所以直線MH與拋物線C有唯一公共點，即除H以外，直線MH與C沒有其他公共點.

點評：本解法充分體現了坐標法的思想，凸顯解析幾何的解析味道，是學生必須要掌握的基本方法.

解法二：（1）同解法一.

（2）如圖2，作HH1垂直于準線x=-，垂足為H1，交y軸于點Q. 由（1）知△H1QM≌△FOM，所以∠H1MQ=∠FMO，F1，F，M三點共線. 由HF=HH1，FM=H1M，可得MH是線段H1F的垂直平分線.

設直線MH上除H以外與C還有一個公共點K，作準線的垂線KK1，垂足為K1，連接KH1，KF. 因為K是H1F垂直平分線上的點，所以KH1=KF，又K是拋物線y2=2px上的點，所以KK1=KF，因而KH1=KK1. 這與△KK1H1為直角三角形相矛盾，所以除H以外直線MH與拋物線C沒有其他公共點，即直線MH為拋物線的切線.

點評：解法二緊扣拋物線的定義及平面幾何的相關知識，回歸解析幾何的本質，凸顯了解析幾何的幾何味道. 又提供了過拋物線外一點作其切線的尺規畫圖法.

[?] 試題的錯解剖析

從考后的調查和高考閱卷情況來看，考生不能入題或思維受阻半途而廢的主要原因為：

（1）高考題與模擬題的模式對接不上，導致考生心理極度緊張，不能入題，被迫放棄得0分.

（2）計算（變形）能力不強，解方程組得出點的坐標是錯誤的. 由于參數t約不掉，不能出題，沒有信心續做第（2）題，得第（1）題的步驟分.

（3）解出第（1）題，但面對“妖艷”的第（2）題，不會進行剖析與變通，只能拿到低分.

[?] 試題的價值研究

一道優美的數學高考題，不僅要展示數學本身的曼妙身姿，而且還要傳達一種勇于探索、鍥而不舍的數學精神，體現數學的核心思想方法.

（1）為數學的理性思維而教.教學的根本任務是教學生學習；復習的宗旨是鞏固知識，強化思想方法，形成解決問題的技能或積累數學活動的經驗.教學和復習不能只是“告知與示范”，也不能是“題型+技巧”的訓練，模式化的教學會導致學生的思維僵化，解決問題的方法生硬，在面對不同模式問題或新問題時，不會變通、無從下手就成為必然.在教學過程中，培養學生的數學理性思維能力是核心. 教師的理念要新，視界要開闊，以傳授知識方法為主線的同時，要滲透必要的數學理性，把學生的思維訓練上升至理性精神層面，這對完善文科學生的綜合素質有很大的幫助. 注重落實核心知識，體現研究思想方法，突出問題的本質探究，實現“數學育人”的價值——這應當是數學教育永恒的價值觀追求.

（2）解析幾何教學要抓住本質，回歸本源.解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，數形結合是其主要特征. 在靈活運用代數知識的同時，充分抓住問題的“幾何本質”往往是解決問題的關鍵.長期以來，解析幾何教學重模式化的代數運算，而忽視了隱藏于問題中的幾何背景，使解題陷入“過程冗長，運算煩瑣”的境地，導致學生“望而生畏，不戰而退”.基于此，解析幾何題的命制就要轉變教學中重代數運算、輕幾何本質的現象，通過緊扣定義、揭示問題的幾何本質來優化運算，回歸解析幾何的本源——“解析”只是方法，“幾何”才是本質.

（3）準確認識高考試題的導向作用.高考全國卷突出邏輯思維能力的考查，加強創新與應用意識的考查成為近年試題的特色.研究高考陳題，也是研究高考的一個窗口，但是我們不能迷信高考陳題，研究的目的是登高望遠，把握命題的態勢，結合教學對象的實際科學規劃復習工作. 不僅要訓練常規題型，而且還要設計新題型，讓學生在不同的情境中掌握研究問題的一般方法：仔細審題，認真作圖，在圖形的形成過程中注意圖形語言與代數形式的切換，恰當的地方用代數方法解析. 因此，對高考題要研究，但是又不能盲目跟風，更不能迷信. 研究高考題，應當抓住其中的主干知識與核心素養、不變的思想與方法、深邃的睿智與精神，以不變應萬變.

（4）拋物線切線的尺規作圖.由于H是直線MH與拋物線C的唯一公共點，因而直線MH是拋物線C的切線. 考題指出了切點H的畫法，提供了過拋物線外一點作其切線的尺規畫圖法.

讓我們為2016年高考全國Ⅰ卷文科第20題點贊！