一道金典中考幾何題的解析

謝忠甫

如圖，已知點C在⊙O上，延長直徑AB到點P，連接PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是⊙O的切線。

（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圓弧的中點，求MA的長。

考點：切線的判定；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理.菁優網版權所有。

分析

（1）由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，則∠COB=2∠OCA，又∠C OB = 2∠P C B，可求∠OCA=∠PCB，而AB是直徑，可知∠OCA+∠OCB=90°，從而有∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，從而可證CP是⊙O切線；

（2）連接BM，由于M是弧AB中點，那么AM=BM，而∠AMB=90°，易知∠MAB=∠MBA=45°，而AC=CP，則∠P=∠CAO，又∠BCP=∠CAO，從而有∠P=∠BCP，即BC=BP=3，而∠CBO=2∠P，∠BOC=2∠CAO，于是∠BOC=∠CBO，而OB=OC，那么可證△BOC是等邊三角形，從而有OB=BC=3，即AB=6，在Rt△AMB中，利用特殊三角函數值可求AM.

解答

解：（1）∵O A = O C，∴∠OAC=∠OCA，∴∠COB=2∠OCA，

∵∠C O B = 2∠P C B，∴∠OCA=∠PCB，

∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCO=90°，

∵點C在⊙O上，∴PC是⊙O的切線；

（2）連接BM.

∵M是⊙O下半圓弧中點，∴弧AM=弧BM，∴AM=BM，

∵AB是⊙O直徑，∴∠AMB=90°，∴∠BAM=∠ABM=45°，

∵AC=PC，∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB，∴BC=BP，

∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB，

∵∠B O C = 2∠C A O，∴∠BOC=∠OBC=∠OCB，∴△BOC是等邊三角形，∴OB=BC，

∵PB=3，∴BC=3，∴AB=6，

在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=sin45°×AB=3

點評

本題考查了圓周角定理、切線的判定、等邊三角形的判定和性質、特殊三角函數值的計算.解題的關鍵是連接BM，構造直角三角形AMB，并證△BOC是等邊三角形。