初高中數學二次函數教學銜接問題探析*

李清洲

河南省浚縣第一中學,河南 浚縣 456250

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初高中數學二次函數教學銜接問題探析*

李清洲**

河南省浚縣第一中學,河南 浚縣 456250

二次函數是貫穿初高中數學教材的重要函數之一，是初高中數學典型的銜接知識。二次函數是初中數學學習的重點和難點，但其教學要求僅限于根據具體的表達式作圖、確定函數解析式、理解函數的基本性質；而實際上，二次函數應用廣泛，貫穿于高中階段數學教學的各個分支.本文對二次函數深刻理解、討論，對學生掌握代數基礎知識，開拓學生視野都有很大幫助。

高中數學；函數教學；銜接問題

一、二次函數知識重點梳理

(一)定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數.

(二)二次函數的解析式

一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)

頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)

交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1,x2是函數圖像與x軸的交點的橫坐標.

(三)二次函數的圖像和性質

圖像在初中學習的時候，我們更多的是用來解決問題的一種方法，但在高中學習函數圖像時，我們就要從數學思想上把握之間的關系.數形結合思想在二次函數運用中是一個典范，它很好的幫助我們加深對數學“從數到形”“從形到數”的理解.以下是y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的相關性質(見表1).

表1 y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的相關性質

二、高中二次函數的應用

(一)求二次函數的解析式

例1 已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(4,-1)，與y軸交于(0,3)，求拋物線的解析式.

(二)值域問題

例2 求y=sinx+cosx+sinxcosx的最值.

例3 (1)設函數f(x)=-2x2+4x+3在區(qū)間[t,t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)并作出函數圖像.

(2)已知f(x)=-2x2+mx+3,x∈[1,5]的最小值為-3，求實數m的值.

分析：一般求二次函數在某一區(qū)間的最值，首先判定對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，然后求出其最值.

圖1

(三)二次函數根的分布

例4 (2007卷廣東理20)已知a是實數，函數f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函數y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點，求a的取值范圍.

解析：若a=0，則函數f(x)=2x-3在區(qū)間[-1,1]上沒有零點；

下面就a≠0時分三種情況討論：

(1)若f(1)=a-1=0，即a=1時，函數f(x)=2ax2+2x-3-a在區(qū)間[-1,1]上有零點.

若f(-1)=a-5=0，即a=5時，函數f(x)=2ax2+2x-3-a在區(qū)間[-1,1]上有兩個零點.

(2)f(x)在區(qū)間(-1,1)上只有一個零點

此時有f(-1)f(1)<0

∵f(-1)=a-5,f(1) =a-1

∴(a-5)(a-1)<0?1

(3)方程f(x)=0在區(qū)間(-1,1)上有兩實根

解不等式(ⅰ)得a>5

解析：令f(x)=x2+(1+a)x+1+a+b

∵方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根為x1，x2，并且0

不等式組對應的平面區(qū)域，如下圖1所示陰影:

兩直線的交點坐標為P(-2,1).

(四)二次函數與不等式

(1)當x∈(0,x1)時，證明x

證明：(1)令F(x)=f(x)-x.因為x1,x2是方程f(x)-x=0的根，所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).

當x∈(0,x1)時，F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x

x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]

所以x1-x>0 ，1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0

得x1-f(x)>0.

由此得f(x)

因為x1,x2是方程f(x)-x=0的根，即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.

(五)二次函數的應用

(1)證明柯西不等式

證明：

∵f(x)≥0恒成立

(2)構造二次函數證明不等式

例7 求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

證明：構造二次函數f(x)=x2-(b+c)x+(b2+c2-bc)，△=[(b+c)]2-4(b2+c2-bc)=-3b2+6bc-3c2=-3(b-c)20

∴f(x)≥0對x∈R都成立.

∴f(a)=a2-(b+c)a+(b2+c2-bc)≥0

即a2+b2+c2ab+bc+ca.

練習：

(1)y=4x+2x,x∈[-2,2].

(2)對于二次函數f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若在區(qū)間[-1,1]內至少存在一個數c使得f(c)>0，則實數p的取值范圍是.

(3)已知二次函數f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0)，設方程f(x)=x的兩個實數根x1和x2.

(Ⅰ)如果x1<2-1；

(Ⅱ)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范圍．

(4)求證：a2+b2+2≥2a+2b.

*2016年度河南省基礎教育教學研究項目《初高中數學課程銜接的教學研究》(課題編號：JCJYC16030615)研究成果。

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1006-0049-(2017)10-0034-02

**作者簡介：李清洲，河南省浚縣第一中學,特級教師。 孫 艷 張國芬 趙真真