基于模糊控制的一階倒立擺系統穩定控制研究

雷世恒+++李淑清

摘 要：利用模糊控制方法對一階倒立擺進行了控制。利用Matlab對線性矩陣不等式方法控制的算法模型進行了仿真，并從中提取數據用于模糊控制。在模糊控制方法[1]中，設計了一種模糊集長度從兩側至中間遞減的模糊集，并針對不同模糊數量時的控制結果進行了仿真對比，最后，對比了不同模糊控制方法的響應曲線及效果分析。

關鍵詞：模糊控制；控制參數；置信度；響應曲線

1 方法概述

一階倒立擺為雙輸入單輸出控制系統，輸入量為角度及角速度，輸出量為力，用于調整擺的角度。本文使用經典的Mamdani模糊系統[2]。輸入采用三角形模糊器[3]，采用中心解模糊器構造模糊系統[4]。用于規則提取的數據來源于T-S fuzzy模糊控制[5]。

2 參數提取

由Matlab仿真得到用于提取規則的參數，該方法使用線性矩陣不等式，求解控制參數。采集該方法的控制量、角速度及角度，采集時要保證采集數據的范圍足夠廣闊，避免出現置信度很低的規則。求解線性方程組，得到仿真數據，為保證數據的范圍足夠廣，要多次修改初值以確保提取大量的數據。

3 創建模糊集

本文設計的模糊劃分是非等距的對稱三角形模糊劃分，中間點距離近，兩側節點距離大。模糊劃分的論域為：訓練數據的最大絕對值的1.01倍。模糊集的設計思路如下：以7個模糊集為例，產生7個模糊集需要在X軸坐標上設計9個點，從左向右，依次每4個點生成一個模糊集，4個點中的2、3兩點重合。因此，設計模糊集的任務就變成了設計X軸上的9個坐標點，設計方式如圖1所示：

圖1中僅僅畫出坐標軸正半軸，負半軸部分將與正半軸部分對稱。從圖中可以看出，由坐標點所截出的相鄰線段的長度之差為d，針對這種劃分方式，可以抽象出計算坐標點的公式，如下：

其中，L表示X軸正方向上的模糊集的長度，N為設計的模糊集數量。根據計算得到的d，計算每個點的坐標值。生成節點后，利用節點生成模糊集。

利用FuzzPara函數，輸入需要的模糊集數量，并以提取到的數據的1.01倍作為模糊集的邊界，生成模糊集。

4 提取規則

規則提取首先需要對訓練數據進行模糊化，并利用三維矩陣的思路完成規則的提取。利用trimf函數將訓練數據在每一個模糊集的三角形隸屬函數下模糊化，并擴充成一維數組。在計算好3個模糊化的數組后，采用乘積推理機[6]的思路：

Ri（x1，x2，y）=（Ai1（x1）·Ai2（x2））·Bi（y）

上式為向量乘法，結果是一個三維矩陣，這個矩陣的意義在于：矩陣中大部分數據為零，小部分數據非零，非零數據表示三個輸入數據的模糊關系的強弱，接近1表示模糊關系強，非零數據的三維坐標表示所對應的三個模糊集在模糊劃分中的位置。

對全部輸入數據進行計算，每次都得到一個三維矩陣，將先后兩次計算得到的矩陣中，對應位置的元素進行比較，并保留最大值。對最終得到的三維矩陣下降成2個2維矩陣。最終將得到2個二維矩陣，一個矩陣表示關系的強弱，另一個二維矩陣為規則表。

這個規則表示2個輸入1個輸出的關系規則，表中數字表示模糊劃分中的一個模糊集的位置坐標。實際上，在后文用到的規則表中，用到的是三角形隸屬函數的頂點坐標信息，因此需要將表中的坐標信息轉換成對應的隸屬函數峰點數值。

5 控制器設計

控制器的主要任務是輸入數據的模糊化，進行模糊推理，去模糊化，所采用的模糊化方法為三角形模糊化方法，去模糊化使用中心法。同樣使用trimf函數進行模糊化，并將得到的隸屬度順序擴充成向量。根據中心法去模糊化的方法：

用向量和矩陣操作很容易可以實現這個公式，將輸入數據模糊化得到的兩個向量相乘，得到一個二維矩陣，Zij表示隸屬函數的峰點，因此將二維矩陣與峰點規則表對應位置相乘即可，并對得到的矩陣的全部元素求和，分子部分就計算完成。分母分的計算類似。利用這個公式去模糊化得到的結果為控制量。

6 結果對比分析

在本部分進行了一系列對比仿真，主要包括：7模糊集、13模糊集、19模糊集、25模糊集、33模糊集情況下，一階倒立擺的仿真結果。如圖2、圖3和圖4所示，從仿真結果可以明顯看出，在模糊集數量越少時，控制效果越差，尤其是角速度曲線，出現了明顯的衰減的震蕩，角度曲線這種狀況不明顯。理論上，這種現象是由于在模糊集原點附近，模糊集劃分不夠細致所導致。通過增多模糊集數量后來減弱這種現象，當模糊集增加到19個時，角速度曲線波動幅度非常小。另一方面，由于模糊集增多，算法的計算量相應地迅速增加。在實際應用中，過多的模糊集可能會導致不能滿足實時性的要求，因此，需要權衡考慮。并且從圖4和圖5中可以看出，在模糊集數量達到一定程度后，如果繼續增加模糊集的數量，實際上起到的效果已經不明顯，也說明模糊集的數量不是越多，效果就越好。

圖5給出了19模糊集控制與T-S控制的曲線對比。其中，實線為模糊控制曲線，可以看出模糊控制曲線響應更快一些，相比之下，T-S控制曲線更平滑，另外，對于算法的運算量，本文并未進行實驗，但是通過對代碼的簡單分析，可以發現，T-S控制器的運算量是遠小于模糊控制的，這一點利于實際應用。

7 結束語

本文利用模糊控制方法對一階倒立擺進行了控制。并且得到了與T-S控制算法的近似的控制曲線。對比結果表明，模糊集的數量的增加可以提升控制效果，但是，并不是模糊集數量越多控制效果越好。在模糊集數量達到一定的數量后，如果繼續增加模糊集，將大幅度增加算法計算量，其仿真結果的提升程度卻不明顯。同時，發現用于提取規則的數據集合十分關鍵，只有提取出置信度高的規則矩陣才能達到控制效果。因此，數據集合一定要有代表性，能夠代表可能出現的全部狀況。此外，根據仿真過程中的現象，可以推測模糊集的形狀，對控制效果應該也是有影響的。

參考文獻

[1]王述彥，師宇，馮忠緒.基于模糊PID控制器的控制方法研究[J].機械科學與技術，2011.

[2]阮俊瑾，丁肇紅.基于Mamdani分離變量法的倒立擺模糊控制系統設計[J].上海應用技術學院學報（自然科學版），2008.

[3]王宏志，陶玉杰，王貴軍.基于三角形模糊數的非線性T-S模糊系統的峰值點和分量半徑優化[J].浙江大學學報（理學版），2016.

[4]張釗.模糊系統的推理及其穩定性分析[D].天津大學，2004.

[5]王寧，孟憲堯.輸入采用一般模糊劃分的T-S模糊控制系統穩定性分析[J].自動化學報，2008.

[6]游文虎，王茂，施佳.PIE+MOM的Mamdani模糊系統通用逼近性充要條件[J].哈爾濱工業大學學報，2014.