再議“容器的體積包含容積”

杜海良

2015年10月26日，全國第十二屆小學數(shù)學教學改革觀摩交流會上，浙江省王麗兵老師執(zhí)教的《體積與容積》一課，深受專家和聽課老師的好評。王老師在講教學體積與容積的關(guān)系時，拿出了幾個紙箱，讓學生在想象與觀察中，感受在外“套”紙箱時紙箱的容積不變，但體積變大，在內(nèi)“嵌”紙箱時，體積不變，容積卻變小。這一活動，緊扣體積與容積概念的本質(zhì)，巧妙地幫助學生辨析了體積與容積的不同：容積是要看里面的，體積是看外面的。

對于體積包不包括容積的問題，其實是一個“舊”問題，曾引起數(shù)學老師、專家的熱烈討論，觀點可能不盡相同，但大家實事求是，勇于發(fā)表自己的意見，使討論逐步深入。為方便繼續(xù)討論這一問題，先轉(zhuǎn)述如下。

【觀點一】體積不包括容積

《小學數(shù)學（數(shù)學版）》期刊2008年第7、8合刊上發(fā)表了葉玲、王永老師的《讓自讀成為課堂教學的基礎(chǔ)——“體積與容積”單元起始課探究》一文，文中提出了“一個杯子的體積包含它的容積嗎”的問題。

當葉老師問“這個杯子的體積和容積一樣嗎”時，學生的答案是“杯子的體積比它的容積大”。因為他們的解釋是“杯子的體積比容積多了一層——杯子的厚度”，“杯子的體積是從外面量的，而它的容積是從里面量”。學生這樣推理：杯子的體積包含它的容積，所以杯子的體積比它的容積大。這個錯誤是把容器的容積當作容器的體積的一部分。

【我們的思考】

文中，對于學生的解釋“杯子的體積包含它的容積”，葉老師持否定意見，并指出了怎樣才能讓學生明白杯子的體積大小與它的容積大小之間沒有因果關(guān)系的方法，利用“排水法”讓學生理解杯子的體積相當于排掉的水的體積，也就是認為杯子的體積只是制作杯子所用材質(zhì)（玻璃）的體積，不包括能裝水的容積部分。

王永、葉玲老師所持觀點應該說是有道理的，特別是用“排水法”來向?qū)W生解釋，很令人信服。但這一觀點與學生原有認識不同，與教材對體積的定義也不完全符合。根據(jù)定義，杯子的體積是杯子所占空間的大小，這一個空間是不是真的就像王永、葉玲老師認為的那樣絕對不包含中空部分，只是杯子材質(zhì)所占的空間呢？還值得商榷。

【觀點二】體積包不包括容積要分有蓋與無蓋

果然，張奠宙教授在看到王永、葉玲老師一文后，也加入了討論，發(fā)表了《從體積的定義說起》一文。

容積是特殊的體積，葉文已經(jīng)做了詳細分析。文中談到杯子的體積時，要區(qū)分有蓋、無蓋的情形。有蓋的茶杯，包含中空部分，所以它的體積比它的容積大。無蓋的茶杯的體積就只是它的實體部分，不含中空部分，所以一般來說，其體積比容積小。這次探究課，學生就把茶杯一律當作有蓋的情形在考慮了。

【我們的思考】

張教授提出，杯子的體積是否包括容積，要分有蓋與無蓋的情形。如果有蓋，就包括中空部分（容積）；如果無蓋，就不含中空部分（容積）。這一觀點，與現(xiàn)場老師對王麗兵老師提出的意見一致，紙箱若是封閉的，它的體積才包括容積；若不封閉，紙箱的體積包不包括容積，還需要斟酌。區(qū)分有蓋、無蓋，比簡單絕對地判定杯子的體積不包括容積，更容易讓人信服。但一個嚴謹?shù)臄?shù)學概念，用有蓋還是無蓋來界定，總覺得也不太妥當。而且，根據(jù)物理上“密度”的知識：體積=質(zhì)量÷密度，這時的體積大小其實與封閉與否無關(guān)，因為里面的中空部分沒有質(zhì)量，這時的體積也就沒有計人中空部分的體積（容積）。對于這個問題的討論，似乎還是沒有能讓所有人都一致信服的答案。

【觀點三】物體體積=物體容積+物質(zhì)體積

有趣的問題、熱烈的討論、懸而未決的矛盾，引起了江蘇省海安縣教研室仲海峰老師的探究興趣。仲老師在《小學數(shù)學教師》上發(fā)表了《“跳出”數(shù)學“看”數(shù)學》一文，也加入了討論，他把討論的問題改編成了一道數(shù)學題：

如下圖，A是一個長方體，體積是10立方厘米。從1到4都是從與A完全相同的長方體中挖掉8立方厘米的一部分后剩下的物體的形狀。想一想，從1到4這四個物體的體積分別是多少立方厘米？

仲老師就這一問題對一些數(shù)學老師做了調(diào)查。第一遍從前往后提問，老師從開始堅定地認為1號、2號都是2立方厘米，到不太確定地認為3號也是2立方厘米，最后先說4號是2立方厘米，再改口是10立方厘米。第二遍從后往前提問：4號是10立方厘米，再看3號呢？這時老師又認為3號更像是10立方厘米了，甚至這時再看2號與1號，似乎也既像2立方厘米又像10立方厘米了。

經(jīng)過深度的追問、理性的剖析，仲老師最后提出了這樣的觀點：

研究任何物體的空間大小時都可以從物體體積、物體容積、物質(zhì)體積三個方面進行考量。這三種量相互關(guān)聯(lián)，它們之間的關(guān)系是：物體體積=物體容積+物質(zhì)體積。當物體是實心的時候，物體容積為0，物體體積=物質(zhì)體積。

【我們的思考】

同樣的問題，解題的順序似乎影響了老師的判斷，老師似乎被繞暈了。比如2號與3號，都是挖去了8立方厘米，可開始老師認為2號是2立方厘米，3號卻是10立方厘米，體積的大小變成了由表面開口的大小決定。再比如3號與4號，3號有了個小孔，4號是全封閉的，又有老師認為3號是2立方厘米，4號卻是10立方厘米，一個小孔又決定了答案的截然不同。數(shù)學在這里似乎不再是嚴謹?shù)模兊媚＠鈨煽闪耍且恍┓菙?shù)學本質(zhì)的因素決定了數(shù)學概念的判斷，還真有“一個饅頭引發(fā)的血案”的感覺。應該說，仲老師提出的“物體體積=物體容積+物質(zhì)體積”的關(guān)系式，用文中編后語來說，某種程度上是可以較好地“自圓其說”，但我們并不倡導在教學中再引入“物質(zhì)體積”這樣的新詞匯，因為這涉及物理學中的“質(zhì)量”概念，而“質(zhì)量”又是一個很難解釋的“元概念”。