巧用類比思維解題

羅海江

1865年的一天，法國園藝師莫尼埃在觀察植物的根系時發現，植物根系在松軟的土壤里互相交叉、盤根錯節，形成一種網狀結構，從而把土壤抱成了團。莫尼埃從植物根系的這個現象中得到啟示：如果在做水泥花壇時，在混凝土里面先加上一些網狀的鐵絲，不就可以使建成的花壇抗拉強度增加，更加結實了嗎？于是他馬上開始動手試驗，效果很好。鋼筋混凝土就這樣被發明了，并且一直到現在還是建筑業中一種不可缺少的建筑材料。

上述這個故事中，運用的是移植思維，也叫類比思維。在解答數學題時，也經常會遇到一些很類似的題目，見到題目甲就會想到題目乙，于是可以用解答題目乙的方法去解答題目甲。這種思維就是類比思維。

【例1】有一個掛鐘，每小時敲一次，幾時就敲幾下。鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒鐘敲完？

【分析與解】有些同學根據倍數關系下結論，認為鐘敲12下，需要5€？€？2=10（秒），那就完全錯了。其實此題只要用類比思維，與植樹問題聯系起來想就清楚了：在一條路上植樹，這條路被樹分成了n段，如果不包括兩個端點，共需植（n 1）棵樹，如果包括兩個端點，共需植（n+1）棵樹。把時數看作樹的棵數，把相鄰兩次敲鐘的時間間隔看作株距，此題就迎刃而解了。

相鄰兩次敲鐘的時間間隔是5€鰨？ 1）=1（秒），鐘敲12下，需要1€祝？2 1）=11（秒）。

【例2】從時針指向3開始，再經過多少分鐘，時針正好與分針重合？

【分析與解】本題可以與行程問題進行類比。如果把時針1小時所走過的一格作為單位“1”，那么本題就可以這樣敘述：已知分針與時針相距3格，時針在前，分針在后。時針的速度為每分鐘行格，分針的速度為每分鐘行格，如果分針與時針同時同向出發，經過多少分鐘，分針才能追上時針？

這樣，此題就可以用行程問題中追及問題的解題方法來解答了。相差距離為3格，速度差為 ，分針和時針重合所需的時間就是追及時間，所以經過3€鰨ā。？16（分）鐘，時針與分針重合。

【例3】小芳去買文具，她帶的錢正好夠買8支鉛筆或12塊橡皮。她先買了6支鉛筆，剩下的錢全部買橡皮。剩下的錢可以買幾塊橡皮？

【分析與解】題中沒有給出小芳帶的錢數，以及鉛筆和橡皮的單價等條件，怎樣才能算出剩下的錢可以買多少塊橡皮呢？仔細想想，便可以發現，此題與工程問題很相似，如：一項工程，甲單獨做8天可以完成，乙單獨做12天可以完成，如果甲先做6天，余下的工程由乙單獨做，乙還要幾天可以完成？

借用工程問題的解題思路就能使問題迎刃而解了。把小芳帶的錢數看作單位“1”，則每支鉛筆的單價是，每塊橡皮的單價是，買6支鉛筆后剩下的錢數為1 €？=，因此剩下的錢可以買€？3（塊）橡皮。

【例4】自行扶梯以均勻的速度由上向下運行，兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯下行的方向上樓。已知男孩每分鐘走24級臺階，女孩每分鐘走20級臺階。結果男孩用2分鐘到達樓上，女孩用3分鐘到達樓上。該扶梯的可見部分共有多少級？

【分析與解】本題與“牛頓問題”類似：“牛吃草的速度”變成了兩個小孩的速度，“每天新長出的草”就變成了扶梯的速度，“原有的草”變成了扶梯可見部分的級數。因此本題可借用“牛頓問題”的解題思路求解。

上樓的速度由兩部分合成：一部分是小孩自己的速度，另一部分是扶梯的速度。男孩2分鐘走了24€？=48（級），女孩3分鐘走了20€？=60（級），說明電梯1分鐘走（60 48）€鰨？ 2）=12（級），所以扶梯的可見部分共有24€？ 12€？=24（級）。