建模：兒童數(shù)學思維發(fā)軔的助推器

楊劍英

我至今還清晰的記得，上高中時，物理老師發(fā)的第一張練習題的中縫，赫然印著這樣一句話：數(shù)學是上帝用來書寫宇宙的語言。后來知道，這是意大利數(shù)學家、物理學家、天文學家、科學革命的先驅伽利略的一句名言。物理老師這么尊崇數(shù)學，使我對這門古老的學科產生了別樣的情感，讓我覺得，數(shù)學可能是基礎，不僅僅是理科的基礎，也是人類思維的基礎。

后來我學文科了，但是，文科依舊離不開數(shù)學，因為高考要考，只是難度不同于理科罷了。在應試教育的昨天，隨著大學的專業(yè)的學習，許許多多高中所學的數(shù)學知識拋之九霄云外了，但是，一些數(shù)學思維的方法卻深深地烙在了腦海中，也許，這就是愛因斯坦所言：走出校門后，把學校里學的知識全部忘記，剩下的東西就是教育。

在2015年9月23日上午第二節(jié)，我走進了王斐斐老師的三年級的數(shù)學課堂，聆聽了她講授的《搭配》一課。一同聽課的還有區(qū)、市教研室的教研員和教研室主任們，好在王老師不認識他們，她在課上并沒有過多的思想壓力，講的自然流暢，學生也學得認真投入，渾然不管你是什么領導在聽課。我心中竊喜：這才是為了兒童的教學！這才是為了兒童的課堂！

短短的40分鐘，三年級數(shù)學課堂教學的內容并不多，但是王老師始終把數(shù)學建模的思想貫穿其中，并把建模作為兒童思維發(fā)軔的助推器，助力三年級小孩子們的數(shù)學思維發(fā)展。

《義務教育數(shù)學課程標準》中指出，在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。其中，模型思想至關重要，因為，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。

一、“上衣和裙子有幾種搭配方法？”：從實際問題到數(shù)學模型

王老師在課的開始，把不同顏色的兩件上衣和三件裙子的小剪紙貼在黑板上，她首先提出了一個問題，什么叫做“搭配”？三年級的兒童對“搭配”的概念不一定完全講得清楚，有幾個孩子陸續(xù)的以自己的話語系統(tǒng)，闡釋了對“搭配”的理解。

這可能就是英國著名物理化學家、思想家波蘭尼說的“緘默知識”吧！波蘭尼認為人類的知識有兩種，通常所說的知識是用書面文字或地圖、數(shù)學公式來表達的，這只是知識的一種形式，還有一種知識是不能系統(tǒng)表述的，例如我們有關自己行為的某種知識，就不能系統(tǒng)表述。如果我們將前一種知識稱為顯性知識的話，那么我們就可以將后一種知識稱為緘默知識。我認為，緘默知識是相對的。在兒童的思維發(fā)展過程中，某種知識在一定階段對某些兒童來說是“緘默知識”，而在另一階段對另一些兒童來說可能就是“顯性知識”。當然，有的知識可能永遠都是緘默知識，比如某些生活體驗，只可意會不能言傳。課堂上，盡管學生不能完整或者較完整的說出“搭配”的含義，但是，通過后來的實際操作，我發(fā)現(xiàn)孩子們都理解了。

“搭配上衣和裙子”也就是生活中的穿衣服，這是一種生活的實際問題，“有幾種搭配的方法？”，就是從現(xiàn)實生活中抽象出的數(shù)學問題。由此，學生開始體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系，也就是體會和理解“有幾種搭配的方法？”的數(shù)學問題和實際生活“穿衣服”的聯(lián)系，開始有了初步的數(shù)學模型思想了。

二、“請同學們把幾種搭配的方法展示出來”：小中見大的建模過程

當學生在各自的小展板上把所有的搭配方法列出來的時候，王老師讓大家把“成果”展示到講臺的大黑板上。一種，兩種，三種……學生竟然搞出了五種思路，一一展示給大家，同學們互相分享了不同的“搭配”思路和方法。作為聽課的我們，也拓展了對此問題的看法，原來孩子們的思維是這樣的活躍！

王老師在引導孩子們“思考——動手——展示”的過程，小中見大，其實就是一個建模的過程。理論上講，數(shù)學建模的過程有七步：模型準備——模型假設——模型建立——模型求解——模型分析——模型檢驗——模型應用與推廣。王老師在這個小小的問題中，把這七步都做到了，完成了一個完整的數(shù)學建模過程。

在模型準備中，王老師讓孩子們明確了“衣裙搭配”的實際意義，掌握兩件上衣和三件裙子的信息。“有幾種搭配方法？”，進而用數(shù)學語言來描述問題，符合數(shù)學理論，符合數(shù)學習慣，清晰準確。在模型假設中，王老師根據(jù)“衣裙搭配”的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O，例如：王老師提出“假設一件上衣不變，可以搭配幾條裙子呀？”“同學們，試著搭配一下！”這樣的話語，提出問題的假設。在模型建立中，王老師引導學生在假設的基礎上，利用適當?shù)倪B線、排列、分組等數(shù)學工具來描述“上衣”和“裙子”搭配之間的數(shù)學關系，建立相應的數(shù)學結構。在模型求解中，王老師引導學生們利用獲取的數(shù)據(jù)資料“2件上衣”和“3條裙子”，對模型的所有參數(shù)做出計算，學生這時候的計算方法有多種，有的用加法，有的用乘法。在模型分析中，王老師讓不同思路的學生上臺對其思路進行闡述，對所得的結果進行數(shù)學上的分析，學生的思路非常廣泛，表現(xiàn)也很踴躍，體現(xiàn)了這節(jié)課的思維含量。在模型檢驗中，王老師引導孩子們將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。因為只有“兩件上衣和三件裙子的搭配”，所以，學生們的模型分析結果和實際情形是一致的，總共有“6種搭配方法”。在模型應用與推廣中，王老師做了一個大膽的嘗試，因為學生習慣于用加法的思維考慮這種搭配問題，當實際情形數(shù)量少的時候，可以用加法完成，王老師問“當20件上衣和30件裙子搭配時，有多少種搭配方法呢？”，顯然用加法一一相加不現(xiàn)實了，學生們和自然的選擇了20X30=600的計算方法。模型的推廣就是在現(xiàn)有模型的基礎上對模型有一個更加全面，考慮更符合現(xiàn)實情況的模型，這樣，學生就對數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，建立了一個更加符合現(xiàn)實情況的模型了，不再是一味追求加法的思維定式。

三、“他們是怎樣做到搭配的不重復、不遺漏的？”：反思建模對兒童數(shù)學思維發(fā)軔的助推作用

同時聽課的青島市教育局數(shù)學教研員劉老師告訴我，這節(jié)課就是培養(yǎng)孩子們“有序思考”的能力，因此，在衣裙搭配上，孩子們能避免“搭配的不重復、不遺漏”，思維訓練的目標就是達成了。

王老師在學生上臺展示的過程中，把“他們是怎樣做到搭配的不重復、不遺漏的？”這個問題，重重的拋給了學生，而學生卻一一解答出來。

在現(xiàn)實生活中，要描述一個實際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音、錄像、比喻、傳言等等。為了使描述更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學。王老師在本節(jié)課中描述“搭配”這種有序思考時，就用了“不重復、不遺漏”的嚴格的數(shù)學語言。數(shù)學建模就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。

學生們用建模檢驗告訴我們，他們理解了“不重復、不遺漏”的“搭配”有序思考，這也是一種緘默知識，只可意會，不可言傳。

在數(shù)學建模——大賽中國的賽事資訊中提到，數(shù)學模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學模型的過程就稱為數(shù)學建模。

無疑，兒童數(shù)學思維的發(fā)軔，并不是讓兒童對現(xiàn)實問題（例如本節(jié)課的衣裙搭配問題）的直接描述或者復述，而是需要兒童對現(xiàn)實問題進行細致的觀察、分析、思考，又要用數(shù)學符號表示出來，或者是加法，或者是乘法，當然，一開始能想到用乘法的兒童，他們對已經學過的一二年級的數(shù)學知識靈活運用了，科學的數(shù)學思維初現(xiàn)端倪。

有人說，數(shù)學建模是一個讓純粹數(shù)學家變成物理學家、生物學家、經濟學家甚至心理學家等等的過程。也就是說，不論是用數(shù)學方法在科技領域、生產領域、甚至社會科學領域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學模型，并加以計算求解，當然，在當今利用計算機輔助求解，會更迅捷、準確。這就是數(shù)學思維。

兒童時期數(shù)學思維的發(fā)軔，對其一生的思維發(fā)展影響很大。因而，在數(shù)學教學中貫穿建模思想，助推兒童數(shù)學思維的發(fā)展，便成了每一位數(shù)學啟蒙教育者肩頭的重任了。