巧用對應關系指導應用題教學

呂慶海

當前，小學數學應用題教學中，分數、百分數、正比例等類型題是教學工作的重點，所占教學比例較大，因此有必要在基本算理數學外，進行深入的實踐應用與總結分析，摸索出其中蘊涵的解答規律，進而提升教學針對性和教學效果。其中，巧用對應關系就是解答這類題型的有效方法之一。下面從以下幾個類型題具體分析介紹。

分數應用題；例1：要修一條1600米長的道路，第一周修了全長的1/2，第二周又修了全長的3/10，兩周一共修了多少米？還有多少米沒有修？分析思路是：要求解修了多少米，首先應該看所修道路占了全長的幾分之幾，用1/2+3/10=4/5，再根據“求一個數的幾分之幾是多少，用乘法”原則，列式為1600×4/5=1280米[綜合列式：1600×（1/2+3/10）或者1600×1/2+1600×3/10）]。同理，求解還有全長的幾分之幾沒有修：用1-4/5=1/5或1-1/2-3/10=1/5，再根據“求一個數的幾分之幾是多少，用乘法”原則，列式為1600×1/5=320（米）或者1600×（1-1/2-3/10）。

在小結時，通過研究對應關系可引導學生發現：“修了全長的4/5”和“修的米數”是相對應的兩種量，所以用“全長的米數”乘以“修了全長的4/5”，就等于相對應修的米數。同理“還有全長的1/5沒有修”和“還有多少米沒有修”也是相對應的兩種量，所以用“全長的米數”乘以“還有全長的1/5沒有修”，就等于相對應的還有多少米沒有修。如果教學中能夠時時注意引導學生運用這種規律，將有助于尋求更加簡單、直觀的算法進行問題求解，促進教學效果提升的同時，也有助于拓寬學生思維。

例2：一個工程隊要修一條鐵路，第一季度完成了全長的1/8，第二季度完成了全長的1/10，結果第一季度比第二季度多修了4千米，問這條鐵路總長有多少千米？此題教學時通常利用“求一個數的幾分之幾是多少，用乘法”原理，通過列方程形式解答：解：設這條鐵路全程為χ千米，可得：1/8×χ- 1/10×χ=4；1/40×χ=4；χ=160。在該解法中，可以發現1/8×χ- 1/10×χ是表示第一季度與第二季度所修的鐵路千米數之差，正是相對應的第一季度比第二季度多修的4千米，這里體現了對應關系。

此題還可以列另一個方程：χ×（1/8-1/10）=4，從中也體現了這種對應關系。“全長的千米數”乘以“第一季度與第二季度所修全長的幾分之幾之差”就等于相對應的“第一季度比第二季度多修的4千米”。這樣的教學思路和過程，學生顯然更容易理解。除此列方程解答之外，運用算數解答，這種關系體現得則更加鮮明。即用“第一季度比第二季度多修的4千米”除以相對應的“第一季度比第二季度多修全長的幾分之幾”，就等于全長的千米數（也叫作已知部分求整體，用除法）。列式為：4÷（1- 1/8- 1/10）=160（千米）。

從以上兩題解答中，巧妙地使用對應關系，不僅使教師便于教學，而且學生也更容易理解和掌握。此外，很多比例應用題中也體現了對應關系，并可以應用同樣的思路進行求解。

例1：少年軍校的同學進行行訓練，他們3小時行57千米，照這樣計算，5小時可以行多少千米？此題是典型的歸一問題，也是正比例問題。它的解題方法可以有如下4種。

方法一：用算術歸一方法，先利用題中條件“3小時行57千米”求出每小時行多少千米，也就是先求出速度為：57÷3=19（千米/時），然后再求5小時行多少千米：19×5=95（千米）。

方法二：用比例求解。解：設5小時行y千米，可得：57/3=y/5；y=57×5/3；y=95。仔細思考分析不難發現，方程里的“57/3”和“y/5”是對應關系。因為“57/3”表示每小時行多少千米（速度），“y/5”也表示每小時行多少千米（速度），即為同種對應關系。又根據題目中的“照這樣計算”就是行進速度相等，所以可應用對應關系列出方程。

方法三：可以列出方程3/57=5/y，因為“3/57”和“5/y”又都表示行每小時需要幾小時，所以它們也是同種對應關系，再根據題目中的“照這樣計算”，意味著行每千米所用時間相等，因此根據對應關系可得出所列方程。

方法四：又可以列出方程3/5=57/y，可理解為在速度不變的情況下，前后行進所用時間之比等于相對應所行的路程之比，此種解法同樣應用了對應關系。

例2：某地下午4時，一根6米高的桿子直立后，它的影長是4米，此時它的旁邊還有一根9米高的直立桿子，其影長有多少米？如果應用算術法教學，可以先求出下午4時1米高的桿子的影長有多長：4÷6，再求9米高的桿子影長有多長，列式為：4÷6×9=6（米）。由于本題又是典型的正比例關系應用題，所以可用正比例方法求解。

解法二：設9米桿子的影長是y米，可得：6/4=9/y；y=4×9/6；y=6。分析可知，方程中的“6/4”是表示地面上1米影長的桿子物高多少米，9/y也是表示地面上1米影長的桿子物高多少米，它們在同地同時是相等的，所以是同種對應關系。

解法三是列成如下方程：4/6=y/9；y=4×9/6；y=6。方程中的“4/6”是表示地面上1米長的桿子影長多少米，y/9也是表示地面上1米長的桿子影長多少米，它們在同地同時是相等的，所以也是同種對應關系。

解法四是列成如下方程：6/9=4/y或9/6=y/4。即同地同時的物高之比等于相對應的影長之比，同樣是利用的對應關系。

例3：在一幅地圖上量得A、B兩地間的距離是4.8厘米，而它們在地面上的距離是96千米，如果甲、乙兩地相距240千米，那么它們在這幅地圖上應該相距是多少厘米？這是比例尺問題，因為都是在同一幅地圖上，所以所應用的比例尺是同一個。先把240千米換算成24000000厘米，96千米換算成9600000厘米，然后列方程解答。

解法一：設甲、乙兩地在這幅地圖上的距離是y厘米，可得：4. 8/9600000= y/24000000；y=4.8×24000000/9600000；y=12。本題的解答過程是根據同一幅地圖上比例尺相等的原理列出方程，即同種量對應的關系，但在解答時，把240千米、96千米都轉換成與圖距單位統一的厘米單位后再進行解答，顯然這種解法過于死板、繁瑣，而通過對應關系，則可用下面的簡單算法進行求解。

解法二：設甲、乙兩地在圖上的距離是y厘米，可得：4.8/96=y/240；y=4.8×240/96；y=12。可見，解法二比解法一要簡單得多，它不要像解法一那樣將題目中的四個量進行統一，而是利用“圖距統一，實距統一”，即圖距單位對應統一，實距單位對應統一。

總之，分數、比例應用題等類型數學題型的解答，是一個尋找對應關系進而應用對應關系的過程，如果能把以上對應關系巧妙的用于實際教學中，將會對提升教師的教學效果以及學生的學習掌握程度起到積極的促進作用。