輸入飽和的雙積分系統的復合時間最優控制

張義超,黃 晨,陸浩然,孫 戎

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

輸入飽和的雙積分系統的復合時間最優控制

張義超,黃 晨,陸浩然,孫 戎

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

針對典型的有輸入飽和的雙積分環節或系統的時間最優控制問題，建立了雙積分環節的傳遞函數和狀態空間方程兩種數學模型，設計雙積分環節的閉環時間最優控制律；對時間最優控制在系統存在干擾和不確定性存在條件下出現的振顫現象進行分析；基于對振顫問題的分析，提出一種對時間最優控制的改進，即一種復合控制方法，當輸入作用時，系統先由時間最優控制律控制，當誤差達到預定值限，控制律由時間最優控制律切換到另一種線性控制律。采用了比例微分控制律，來解決時間最優控制的振顫問題，響應時間達到最優，并解決振顫問題。

雙積分環節；時間最優控制；振顫；復合控制

0 引言

我們周圍的很多實際系統，都可以看作雙積分系統，并且具有顯著的非線性。在進行控制器系統設計時，不能忽略。典型地，在進行計算機硬盤(HDD)伺服系統控制器設計時，HDD的驅動器便被視為雙積分環節[1-2]。該系統的典型的主要非線性包括摩擦、高周波機械共振和執行器的輸入飽和，并且輸入飽和性是所有這些非線性特性中最顯著的[3-4]。在本文中，我們只研究具有輸入飽和的雙積分環節。

考慮我們上面所提到問題，在非線性存在的情況下，一個單一的線性控制器在實際情況下是不可行的。一個典型的控制系統，包括具有輸入飽和的雙積分系統，控制性能是穩定性、響應速度和準確性，為了達到最佳的速度性能，我們一般自然會首先想到時間最優控制。

但是，經典的時間最優控制(Time Optimal Control)在任何實際情況下都不能應用，因為在系統不確定性與測量噪聲存在情況下它將變得不具有魯棒性或魯棒性明顯降低[4-5]。因此，TOC是理論上的時間最優，在大多數實際情況下，它不能達到預期的控制性能。這將在下面的章節中證明，單一TOC控制系統在引入測量噪聲后系統輸出出現明顯顫振現象。

因此，TOC的改進成為必要。事實上，文獻[5]和[6]提出并研究了一種的對TOC改進，稱為近似時間最優伺服機構(PTOS)，來克服這種缺點。受PTOS及[4]中提出的復合非線性反饋(CNF)的啟發，本文提出了對具有輸入飽和的雙積分系統的復合非線性控制，即所謂的TOC-PID控制。TOC-PID控制由TOC控制律和PD控制兩部分組成。TOC部分設計首先致力于閉環TOC控制系統的響應時間最優；為了克服TOC的缺點，當系統輸出接近目標參考值時，控制律切換到PID控制律，文中針對雙積分環節，采用了PD控制律。

1 雙積分環節數學模型

雙積分系統，或者說雙積分環節，服從牛頓第二定律，這種系統可以如下描述:

(1)

其中:y(t)為系統輸出，u(t)為輸入控制量，即控制律輸出，ka為減速度常數，與系統的結構和參數有關。

根據設計過程的不同要求和為了設計方便，對方程式描述的雙積分環節，建立兩種不同形式的動態數學模型，狀態空間方程和傳遞函數，分別用于TOC和PD控制律。

1.1 雙積分環節狀態空間方程

(2)

1.2 雙積分環節傳遞函數

根據傳遞函數與狀態方程的關系：G(s)=c(sI-A)-1b，可得雙積分環節傳遞函數：

(3)

1.3 雙積分環節輸入約束

考慮被控對象的輸入飽和性，控制量輸入被限制為：

|u|≤umax

(4)

其中:umax為被控對象的輸入限制水平。

2 閉環TOC控制律設計與分析

2.1 閉環TOC控制律設計

2.1.1 最優解條件與形式

根據TOC的性能指標，利用變分法，首先給出這種問題的哈密頓函數[7-8]：

H(x,u,λ,t)=1+λT(Ax+bu)=

1+λ1(t)x2(t)+λ2(t)x1(t)

(5)

其中:λ=[λ1λ2]∈R2為時變拉格朗日乘子向量。時間最優控制u*(t)的設計應滿足龐特里亞金原理[8-9]。u*(t)應使H(x,u,λ,t)取最小值：

(6)

其中:上標*表示最優。根據式(5)、(6)，龐特里亞金原理要求的條件簡化為：

(7)

由此，可得u*(t)應按如下取值：

(8)

變分法同樣給出時間最優解的條件[7]，即協態方程：

(9)

協態方程解為：

(10)

其中:c1與c2為待定常數。式(8)和(10)表明u*(t)在+umax與-umax之間最多切換一次，切換次數有系統初始狀態決定。

2.1.2 相軌跡分析

在閉環Bang-Bang控制中，雙積分環節的速度被控制跟隨預期狀態軌跡，確切的說是減速(正向和反向減速)軌跡，這些軌跡可通過下面的相平面分析得到。

考慮u*(t)=+umax或u*(t)=-umax，狀態方程(2)的解有如下形式：

(11)

其中:c3與c4為由系統初始狀態決定的積分常數。

首先消去狀態方程解(11)中的與，得相應的最優相軌跡方程：

(12)

由于每取一個初始狀態，常數c5=c4-c3/(2kaumax)與c6=c4+c3/(2kaumax)對應取某一值，則式(12)表示拋物線簇，即最優軌線集合。

為實現以為反饋量的閉環TOC控制系統，我們研究e(t)與v(t)之間的相軌跡。為了實現具體的TOC控制器，應將(13)表示為具體的關于e(t)的函數。

定義位置誤差，為輸入量，亦即期望輸出，由式(12)得到e(t)與之間的相軌跡方程：

(13)

研究問題：初始狀態x(0)=[00]T，x(tf)=[r0]T，則對應e(0)=[r0]T，e(tf)=[00]T，其中0和tf分別表示初始與終止時刻。

由始末其變化可知，系統狀態其必然要經過加速與減速的過程，因此最優解u*(t)開關次數為1。此時，式(13)中的常數為0，e(t)與v(t)之間的軌跡，對應拋物線：

(14)

相平面由拋物線(14)分成幾部分，分析e(t)與v(t)之間的關系，假定控制輸入u*(t)=+umax產生加速度，u*(t)=-umax產生幅值相同的減速度。

當e(t)>0時，

(15)

當e(t)<0時，

(16)

2.1.3 閉環TOC控制律

(17)

用符號函數可表示為：

u*(t)=sgn[fe(e)-v]·umax+

{1-|sgn[fe(e)-v]|}sgn(e)·umax

(18)

若定義如下函數：

fv(sgn(fe(e)-v)):=sgn(fe(e)-v)+

[1-sgn(fe(e))]sgn(e)

(19)

則時間最優控制律u*(t)可表示為：

u*(t)=fv[sgn(fe(e)-v)]umax

(20)

2.1.4TOC控制振顫問題分析

前面已經提出，單一TOC控制系統在引入測量噪聲后系統輸出出現明顯顫振現象，而典型的硬盤伺服系統中的磁頭致動器為雙積分環節。

本節將以MaxtorHDD(型號為51536U3，具體的參數為：ka=6.401 3×107，u*(t)=3V)為實際仿真對象，在設計的時間最優控制律u*(t)基礎上，引入白噪聲(WhiteNoise)作為輸出測量干擾[10]，并通過對系統輸出(磁頭位置信號)測量值取微分實現速度反饋，進行仿真，研究分析TOC的振顫問題。引入輸出測量干擾前后單TOC控制系統輸出結果如圖1所示。

圖1 TOC控制系統輸出

由圖1可知，引入輸出測量干擾后，在系統輸出上升階段結束的后續階段，位置誤差較小，相對于實際的位置誤差，干擾對TOC控制器的影響相對增強。干擾一方面使誤差信號不斷波動，另一方面干擾的高頻率變化也使反饋速度不斷波動，從而使TOC控制器的輸出量不斷在兩個正負極端值之間進行切換。控制量幅值無衰減，VCM致動器始終處于輸入飽和狀態，從而使系統輸出呈現無衰減收斂的趨勢且變化很快，而呈波動現象，即所謂的輸出振顫。

不僅在HDD磁道搜尋控制系統中，在其它實際工程中TOC也會由于系統存在不確定性或干擾而出現振顫，因而TOC在實際工程中不能應用或很少應用。振顫問題是TOC在實際工程應用中存在的主要問題，解決該問題是關鍵所在。

2.2 TOC-PD復合控制

2.2.1 TOC-PD復合控制律

TOC控制的主要控制目標是快速性，由上一節仿真TOC可使系統輸出在最短的時間內到達目標輸出值，即TOC可以實現系統輸出的最優上升時間。但此后系統輸出圍繞目標值上下波動，不呈現衰減收斂趨勢，即輸出振顫。

引入輸出測量干擾后的TOC系統輸出的振顫波形與二階0阻尼系統的等幅振蕩波形具有相似性。解決二階0阻尼系統等幅振蕩問題的方法是增大系統阻尼比使系統穩定，從而使輸出收斂于目標值。選擇不同的阻尼比，來實現系統輸出的動態特性。

受復合非線性反饋控制思想啟發，理論上可提出：先由TOC控制使系統輸出達到目標值，當位置誤差e=0時，立即將TOC控制器切換到另一線性控制器，此后由該控制器作用使系統構成一個穩定的二階系統，使系統輸出收斂，解決單一TOC控制的振顫問題。

但考慮實際情況，當TOC使系統輸出第一次達到目標值，即e=0時，立即完成控制器的切換是很難實現的，或者是無法實現的，存在延時性，再者，e=0的測量也存在誤差。因此，只能在e接近于0的一定誤差范圍內完成控制器的切換。

根據以上分析，提出如下復合控制方案：

uTOC-PD(t)=f(e)·uTOC(t)+[1-f(e)]·uPD(t)

(21)

(22)

其中:uTOC(t)=u*(t)為TOC控制律，uPD(t)為另PID控制律，本文提出了PD控制律，a為實現uTOC(t)與uPD(t)之間切換的位置誤差限度，稱之為切換誤差限度常數。

2.2.2PD控制律

雙積分環節傳遞函數為G(s)=ka/s2，有兩個積分環節，為實現穩定的二階控制系統，應減弱或消除積分環節對系統帶來的不穩定影響，保證加入線性控制器后構成的閉環系統是穩定的，因而可將線性控制器 選為PD控制器。

PD控制器的傳遞函數如下：

uPD(t)=kp(1-τ)e(t)

(23)

其中:kp為比例系數；τ為微分時間常數。在同時保證系統的穩定應性的同時，保證控制輸出在約束范圍內。調節kp與τ，可以改變阻尼比與固有頻率，從而改變系統的動態性能。

2.2.3 復合控制仿真分析

本節將對上節所設計的“TOC-PD”復合控制系統進行仿真分析，說明提出方案的可行性。仿真所用HDD的類型和參數、引入的輸出測量干擾及具體的數據與2.1.3節TOC控制振顫問題分析研究時應用的相同。

引入輸出測量干擾后的TOC、TOC-PD控制系統的輸出結果如圖2所示。不同a之下TOC-PD控制系統的輸出如圖3所示。

圖2 TOC、TOC-PD控制系統輸出

圖3 不同a值下TOC-PD控制系統輸出

由圖2可見，復合控制系統與TOC系統的系統輸出上升過程基本相同，說明復合控制能夠實現TOC的最優上升時間。復合控制系統系統輸出在上升過程結束后，衰減收斂，說明復合控制中PD控制器發揮了作用，消除了TOC的振顫。

原理上可知，切換誤差限度常數a的選取，直接影響到TOC控制器與PD控制器之間的切換，因此a對振顫的消除有著直接影響。由圖3可知，當切換誤差常數a由小到大調整時，輸出的上升過程基本不變，說明a對輸出上升時間基本無影響。切換誤差限度常數a對系統輸出的影響主要在上升階段之后。隨著a的取值增大，振顫輕微減弱，直至無振顫，系統的超調量減小。

3 結論

本文針對雙積分環節提出了時間最優控制(TOC)和PD控制的一種組合，稱為TOC-PD控制。一方面，TOC用于獲得最優的系統響應時間，然而，TOC在系統存在不確定性或輸出測量噪聲時，魯棒性降低或不具有魯棒性。在本文中，具體地表現為，單一TOC控制在系統引入測量噪聲后，系統輸出呈現振顫現象；另一方面，當系統誤差達到某一接近于0的范圍時，PD控制被引入來克服TOC的這種缺點，系統具有了很好的魯棒性。一個具體的硬盤伺服系統的仿真應用很好地說明了文中所體方法的可行性與有效性。

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Composite TOC Control for Double Integrating Systems with Input Saturation

Zhang Yichao，Huang Chen，Lu Haoran, Sun Rong

(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100083, China)

To the issue of time optimal control of double integrating systems with input saturation, the transferring function model and state-space model of double integrating systems are established, and the time optimal controller (TOC) is designed. Unfortunately, it is well known that the classical TOC is not robust with respect to the system uncertainties and measurement noises. Thus, we ,in the paper, study the chatter problem by simulation and introduces a nonlinear composite control，method, i.e., a combination of time optimal control (TOC) and PID control, for double integrating systems with input saturation. The TOC part is designed to enable the time optimization. In order to solve the drawback of TOC, when the error is small to a certain level, it will switch to the PD part to overcome the chatter problem caused by the TOC. Finally, the simulation results, approximate time optimization and fair robustness demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.

double integrating systems; time optimal control; chatter problem; composite control

2016-10-26；

2016-12-03。

張義超(1986-)，男，河北唐山人，碩士研究生，主要從事電子信息與控制工程方向的研究。

1671-4598(2017)04-0051-03

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.04.016

TP273

A