三維Biot固結理論的一種張量形式有限元算法

張譯心 左博文

(東北林業大學土木工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040)

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三維Biot固結理論的一種張量形式有限元算法

張譯心 左博文

(東北林業大學土木工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040)

基于Biot的假定，從連續介質力學的彈性方程開始，利用張量推導三維Biot本構方程，再根據Darcy定律推導出了控制方程，并對三維Biot問題控制方程進行空間離散和時間離散，給出空間有限元格式以及時間差分格式，便于后續計算機求解。

三維Biot，Darcy定律，有限元，數值計算

0 引言

Biot固結理論是巖土工程力學領域中的重要課題，是研究飽和土體的目前公認的流固耦合機理的理論基礎。流固耦合分析是進行土工，特別是土與結構相互作用問題、開挖與填筑的施工過程的模擬等問題深入研究的主要途徑與發展方向[1]。張量理論是解決建筑學和巖土力學的一個有力的數學工具。

自1941年，Biot[2]首次提出基于嚴格固結機理推導的能準確反映孔隙壓力消散與土骨架變形之間耦合作用的真三維固結理論以后，許多學者對這些方程進行了研究，并利用該理論解決了大量的巖土工程問題。國內相關文獻所介紹的Biot固結理論一般都屬于Biot(1941)提出的形式，但是以張量形式推導的很少，更重要的是近年鮮有專門研究其有限元方程形式的文獻。本文從連續介質力學的彈性方程開始，利用張量推導三維Biot本構方程和控制方程，為之后的計算機計算求解提供理論參考。

1 Biot本構模型

1.1 Biot本構模型基本假設

Biot本構模型基本假設為：

1)滿足各向同性；2)σ—ε在固結完成時可逆；3)σ—ε滿足線性關系；4)ε很小；5)水不可壓縮；6)水中可以有氣泡；7)滿足Darcy定律。

1.2 平衡方程和幾何方程

取一個微小的單元體，平均應力可以用σ應力張量表示，根據彈性力學，平衡方程可以表示為：

σij,j=0

(1)

我們可以把總應力分為兩個部分，一部分由于固體彈性體產生，另一部分由于空隙水壓力產生。

幾何方程與彈性力學中完全一樣，滿足：

(2)

1.3 與水壓力有關的項

平衡方程和幾何方程完全與彈性力學相同。但是由于空隙中含有水，因此需要引入新的變量。要引入兩個和空隙水壓力有關的應力：σw為空隙水壓力增加量；θ為單位體積土體中增加的水的體積。

現在假設所有的變形都能通過應力來確定，因此和變形有關的量為與應力有關的量的函數，即：

[ε,θ]=f(σ,σw)

(3)

1.4 固體部分本構

假設多孔介質的本構關系滿足Hooke定律：

εij=Dijklσkl

(4)

其中，D為彈性系數，滿足式(5)。

(5)

1.5 孔隙水壓力相關項

因為各向同性的假設意味著對稱，因此空隙水壓力增加不改變剪切變形。再根據線彈性假設，擴展Hooke定律，得:

(6)

其中,θw,H分別為空隙水壓力增量，與空隙水壓力相關的物理常數。

除應力外，單位體積水的增量θ對于應力為線性關系。由各向同性假設，所有與切變有關的項均為0，得:

(7)

其中，θ,H1均為常數。

在推導過程中，有H=H1，其證明如下。假設土體存在勢能U滿足:

(8)

取一種特殊狀態，假設σij=δijσ1，因此熱能可以表示為:

(9)

其中,e,θ的含義定義如下：

(10)

聯立式(10)可解出σ1,σw，再代入式(9)，可以將勢能U用e,θ表示。

能量U分別對e和θ求偏導數以及二階混合偏導數，根據與求導次序無關可得H=H1。因此式(7)可以簡化為:

(11)

式(6)和式(11)為Biot本構方程的完全表達式，對函數求逆，則可以把應力用應變表示為:

(12)

其中，Cijkl為彈性剛度系數;α和Q均為常數，且有：

2 Biot本構控制方程

2.1 由受力平衡關系引起的控制方程

將Biot本構方程式(12)的第一項代入平衡方程式(1)，再利用幾何方程式(2)，可以得到關于位移未知量u和空隙水應力增量σw之間的控制方程，如下：

(13)

2.2 由Darcy定律動力學引起的控制方程

假設水在多孔介質中的流動滿足Darcy定律：

vi=-kσw,i

(14)

其中,vi為水在i方向的速度；k為滲透系數。

Biot本構模型的基本假設中，水是不可壓縮的流體，因此連續性方程為：

(15)

將動力學方程式(14)代入連續方程式(15)中；再結合Biot本構方程式(12)的第二項和幾何方程式(2)，則可以得到由Darcy定律產生的控制方程如下：

(16)

因此，式(15)和式(16)為Biot固結問題的控制方程，一共有4個方程，4個未知數ui,σw。

3 控制方程的有限元空間離散

3.1 控制方程的有限元全域積分弱形式

假設Ω為所要離散的空間，?Ω為邊界，則對于試探函數(權函數)w，要求滿足控制方程的積分弱形式：

(17)

其中,wi,i=1,2,3;ww為權函數，上指標i不進行求和約定，只代表方程的序號。

3.2 控制方程的伽遼金法有限元空間離散

使用伽遼金法將整個積分區域Ω離散為∪Ωe。在任意單元Ωe內，未知變量ui,i=1,2,3,σw和權函數wi,i=1,2,3；ww通過插值函數NI離散，即：

(18)

其中,I為整體節點編號，(ui)I,(wi)I,(ww)I均為I節點處的值。

將方程(18)代入離散后的積分弱形式方程(17)，得方程如下：

(19)

其中,第一個方程指標i=1,2，3;J=1，2，3，…，N獨立變化，可以產生3N個獨立方程；第二個方程指標K可以獨立變化，可以產生N個方程。總共產生4N個獨立的，關于節點未知量的方程；每個節點也只有4個未知量，共4N個未知量，所以方程為4N階線性方程組，可進行相應的數值計算。

3.3 向后隱式差分法時間離散

對方程式(17)中的第二個方程進行時間差分離散，有：

(20)

其中，Δt為時間間隔；上標n為第n時間步，除了含有時間差分的項有n-1步之外，其余的項全部為第n步。

4 結語

根據Biot的假定，從連續介質力學的彈性方程開始，逐步推導出了Biot本構方程。再根據Darcy定律推導出了控制方程。另外，本文對三維Biot問題控制方程進行空間離散和時間離散，給出空間有限元格式以及時間差分格式，便于后續計算機求解。但是不足之處在于本文沒有給出Biot問題的邊界條件，有待今后的進一步研究。

[1] 王成華,金小惠.比奧固結理論有限元方程形式及其應用分析[J].四川建筑,2002(2):69-70.

[2]BiotMA.GeneralTheoryofThree-DimensionalConsolidation[J].JournalofAppliedPhysics,1941,12(2):155-164.

On tensor form finite element arithmetic of three-dimension Biot consolidation theory

Zhang Yixin Zuo Bowen

(CollegeofCivilEngineering,NortheastForestryUniversity,Harbin150040,China)

Based on the assumption of Biot, the paper adopts the tensor form to deduce the three-dimension Biot constitutive equations from the elastic equation of continuum mechanics, deduces the governing equation according to Darcy law, and undertakes the time and spatial dispersion for the governing equation of three-dimension Biot, so as to provide the spatial finite element format and time integration, facilitate subsequent computer solution.

three-dimension Biot, Darcy law, finite element, numeric calculation

1009-6825(2017)09-0083-02

2017-01-14

張譯心(1994- ),女，在讀本科生； 左博文(1995- )，男，在讀本科生

TU431

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