基于分塊壓縮感知圖像重構(gòu)算法研究

黃寒冰

摘 要：近年來，壓縮感知作為一種新型的信息獲取與壓縮框架，被廣泛用于圖像的編解碼。其中分塊壓縮感知作為一種有效的編解碼框架，得到了國內(nèi)外廣泛的關(guān)注。該框架首先對圖像進行分塊處理，依次對每個分塊進行采樣和壓縮傳輸。在其解碼端依次對每個分塊進行重構(gòu)，最后將分塊重組成完整的圖像。這一框架能有效降低編碼的復(fù)雜度，減少內(nèi)存的開銷；并使得解碼端圖像重構(gòu)的速度得到顯著提高，保證傳輸?shù)膶崟r性。然而，采用塊處理的方式會降低圖像的重構(gòu)質(zhì)量。針對這一問題，文章對其閾值迭代重構(gòu)算法進行了研究，采用自適應(yīng)硬閾值方案，保留圖像更多的細節(jié)信息，從而提高圖像重構(gòu)質(zhì)量，并通過仿真實驗驗證了方案的可行性。

關(guān)鍵詞：分塊壓縮感知；重構(gòu)算法；閾值迭代

Abstract： Recent years， compressed sensing as a novel information acquisition and compression framework has been widely exploited into image compression codec. Whereby， Block Compressed Sensing is considered as an efficient framework having received widespread attention. In the framework， firstly， the image is blocked， and the blocks are sampled and compression transmitted by using the traditional compression sensing mode. The decoder successively reconstructs each blocks， and finally recombines blocks into a complete image. This framework can reduce the complexity of coding and overhead of memory efficiently， and improves the speed of decoding so that the real-time transmission of image is guaranteed. However， the quality of reconstruction would be reduced by the way of block processing. In this paper， we introduce the principle and framework of block compression sensing， and study the corresponding iterative threshold reconstruction algorithm. As a result， the soft threshold scheme is used to preserve more details of image， so as to improve the quality of reconstruction. Finally， the feasibility is verified by simulation results.

Keywords： Block compressed sensing； Reconstruction algorithm； Threshold iteration

1 概述

在傳統(tǒng)數(shù)字圖像系統(tǒng)中，圖像通過JPEG[1]或JPEG2000[2]圖像編碼器對數(shù)字圖像進行編碼，從而使圖像信號能夠得到有效的壓縮和存儲。然而，這類編碼器的運算復(fù)雜度高，不適合應(yīng)用于低功率、低像素的圖像設(shè)備。

近年來，一種新型的采樣方案壓縮感知理論被提出。壓縮感知理論[3]中證明，若信號存在稀疏表示，那么就可以通過一個與變換基不相關(guān)的測量矩陣對信號進行稀疏采樣，獲得的觀測信號就是原信號的壓縮形式。

但是在實際應(yīng)用中，若對圖像進行整體的觀測壓縮，那么在解碼端計算復(fù)雜度會隨著圖像尺寸的增大呈幾何倍數(shù)增加，導(dǎo)致解碼速度緩慢。Lu Can[4]受到JPEG分塊結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，提出了分塊壓縮感知框架。編碼端不再需要大尺寸的觀測矩陣，在減小了編碼端的內(nèi)存開銷的同時，提高了處理的實時性，同時對于解碼端的處理，因為觀測尺寸減少、重構(gòu)復(fù)雜度下降，加快了重構(gòu)速度。

2 壓縮感知概述

壓縮感知原理：

壓縮感知是近年來被提出的新型信號采樣理論，該理論的兩大特點是不受限于奈奎斯特采樣速率，以及在采樣的同時，對信號進行壓縮。在2004年，Donoho、tao[3]等人證明了，只要一個信號在某個變換域中存在稀疏表示，那么就可以對信號進行降維采樣，而采樣得到的信號包含原始信號的全部信息。

假設(shè)有一個 維信號x∈RN×1，若x是稀疏的，不同于傳統(tǒng)的采樣，壓縮感知理論對信號進行線性測量：

y=？椎x （1）

這里y∈RM×1，？椎稱為測量矩陣，維度為M×N。

然而通過壓縮感知得到的信號y是M維的，已知測量矩陣是M×N維的，如果希望通過求解線性方程對信號進行重構(gòu)是不可能的。但是由于這里的？茲是K稀疏的，即可以將原問題的求解轉(zhuǎn)換為求解x在字典？追的最稀疏表示，即：

3 分塊壓縮感知

3.1 編碼端結(jié)構(gòu)

考慮有一幅Lr×Lc的圖像，其像素為N=Lr×Lc。在分塊CS中，圖像被分為B×B的塊，令xi代表第i個塊的向量表示，CS的采樣輸出可以表示為：

這里的？椎B為一個mB×B2的矩陣，mB=■，M為測量數(shù)。為了滿足RIP條件，這里？椎B為正交化的i.i.d高斯隨機矩陣。對整幅圖像而言，原式（1）的？椎等價于如下的塊對角化矩陣：

由此可知，若對？椎B的采樣率進行調(diào)整，就能夠改變整體系統(tǒng)的采樣率，這為硬件設(shè)計提供了便利。同時，不同塊大小的也會給圖像重構(gòu)帶來不同的影響。若塊過小，雖然可以減少重構(gòu)的復(fù)雜度、加快重構(gòu)速度，但同樣也降低了質(zhì)量。

3.2 解碼端結(jié)構(gòu)

在文獻[4]中指出，分塊壓縮感知的重構(gòu)效果之所以隨著塊尺寸減小而下降，是因為隨著分塊的數(shù)量變多，重構(gòu)的塊效應(yīng)的影響也就越大。所以該文獻提出了基于分塊壓縮感知的迭代硬閾值重構(gòu)方案，在提高運算速度的前提下，消除塊效應(yīng)，提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

第一步是對每次迭代得到重構(gòu)圖像去塊效應(yīng)，這里采用維納濾波進行平滑處理。第二步是將上一步得到圖像進行域變換，通過硬閾值操作保留最大的K個系數(shù)，其余設(shè)為零，再進行反變換恢復(fù)圖像，這樣做的意義是去除重構(gòu)帶來的高斯噪聲。

3.3 算法改進

上述算法忽略了由于硬閾值操作丟失了部分的細節(jié)信息，導(dǎo)致了圖像質(zhì)量的下降。通過改進現(xiàn)有的閾值操作，提高了圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

對閾值處理的改進：

自適應(yīng)硬閾值方案[5]與硬閾值方案最大的區(qū)別在于，自適應(yīng)硬閾值則是通過設(shè)定一個門限值。若系數(shù)大于該門限值則保留，反之舍棄。通過該方案的優(yōu)勢在于，該門限值的設(shè)定是參考了全體的系數(shù)，能夠根據(jù)系數(shù)的分布情況，保留能量占多數(shù)的系數(shù)。對于能量分散的圖像保留的系數(shù)將增加，對于能量集中的圖像保留的系數(shù)也會相應(yīng)減少。以下是自適應(yīng)硬閾值的函數(shù)表示：

這里的？子（i）代表第i次迭代閾值函數(shù)的門限值，其計算公式如式（6）：

這里的？姿是控制收斂速度的常數(shù)因子，K代表變換系數(shù)的個數(shù)，而？滓（i）在文獻中指出是通過中值估計得到的：

改進之后的重構(gòu)算法如表1所示：

4 仿真結(jié)果

為了評估上述壓縮感知重構(gòu)方案，采用matlab搭建平臺進行仿真驗證。

這里采用離散傅立葉基作為變換域的基，首先比較在0.3采樣率的情況下，對lenna圖的恢復(fù)。由于lenna圖存在大量的細節(jié)信息，采用自適應(yīng)硬閾值可以保留更多的細節(jié)信息，可以直觀地體現(xiàn)出其優(yōu)勢。

圖1（a）為自適應(yīng)硬閾值重構(gòu)lenna部分圖像，圖1（b）為硬閾值重構(gòu)lenna部分圖像，從帽子的細節(jié)可以看出，自適應(yīng)硬閾值的表現(xiàn)力更強，還原度更高，而硬閾值重構(gòu)的圖像在羽毛部分存在大量的模糊。所以從視覺的角度考慮，自適應(yīng)硬閾值更符合人的觀察習(xí)慣。

從仿真曲線來看，不論是高采樣率還是低采樣率，自適應(yīng)硬閾值方案的重構(gòu)質(zhì)量都高于硬閾值方案。尤其是在低采樣率的情況下，自適應(yīng)硬閾值方案能夠保留更多的細節(jié)信息，使其重構(gòu)質(zhì)量得到明顯的提升。

最后，為了驗證方案的普適性，加入更多的圖像對兩種閾值方案進行比較。

從最后的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在多數(shù)情況下，自適應(yīng)硬閾值的重構(gòu)質(zhì)量都優(yōu)于硬閾值。尤其是在低采樣率的情況下，自適應(yīng)硬閾值的優(yōu)勢更加明顯。由此可以得出結(jié)論，自適應(yīng)硬閾值方案更加適合分塊壓縮感知的重構(gòu)框架。

5 結(jié)束語

本文主要介紹了分塊壓縮感知框架，討論了該框架應(yīng)用于圖像壓縮的優(yōu)缺點以及如何去除塊效應(yīng)帶來的重構(gòu)噪聲，并對重構(gòu)算法中的閾值函數(shù)進行了改進。最后，通過與硬閾值函數(shù)的對比，發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)硬閾值算法適合更多場景的重構(gòu)。雖然壓縮感知圖像編解碼的效率依然不及傳統(tǒng)的圖像編解碼框架，但相信在未來，基于壓縮感知的低編碼復(fù)雜度的圖像或視頻框架將得到廣泛的應(yīng)用。

參考文獻

[1]Digital Compression and Coding of Continuous-tone Still Image-Part 1：Requirements and guidelines ISO/IEC 10918-1， JPEG Coding Standard，1991.

[2]Information Technology-JPEG 2000 Image Coding System-Part 1： Core Coding System ISO/IEC 15444-1， 2000.

[3]D. L. Donoho， "Compressed sensing，" IEEE Trans. Inform.Theory， vol. 52， pp. 1289-1306， July 2006.

[4]L. Gan， "Block compressed sensing of natural images，" in Proceedings of the International Conference on Digital Signal Processing， Cardiff， UK， July 2007， pp. 403-406.

[5]D. L. Donoho， "De-noising by soft-thresholding，" IEEE Transactions on Information Theory， vol. 41， no. 3， pp. 613-627， May 1995.