活用教材 滲透“極限”

王炎萍

極限思想是一種重要的數學思想，靈活地借助極限思想，可以將某些數學問題化難為易，探索出解題方向或轉化途徑。那么，在小學數學教學中如何去挖掘“極限”并適時地加以滲透呢？下面筆者結合教學實踐談談自己的粗淺見解。

一、在形成新概念時滲透極限思想

小學幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線、射線、角的邊、平行線的長度等，它們都是可以無限延伸的。這些概念在現實生活中并不是真實存在的（現實生活中你找不到一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象中，而這種想象又是進一步學習數學的必不可少的基礎能力。

【案例1】射線的初步認識

師：請同學們在白紙上畫一條3厘米長的線段，說一說它有什么特點。

生：它是直的，用尺可以量出長度；它有兩個端點……

師：請同學們在白紙上畫一條5厘米長的直線，有什么問題？

生a：好了！（得意）

生b：不對！（反對）直線是沒有長短的……

師：為什么？

生：因為直線可以向兩邊無限延長。

師：無限延長是什么意思？

生：就是無限的長，沒完沒了的意思……

師：（用紅外線光電筒照在黑板上）請同學們畫出來。

師：（打開窗戶，將紅外線光電筒照射向天空）如果光束沒有受到阻礙的話，請你畫出來……

（學生畫的線有很多種情況，請學生自己說出自己的理由，交流反饋）

師：這就是我們今天要學的射線。

讓學生一下子認識到圖形的無限性是有一定難度的，上面的教學片段中，教師通過讓學生自己動手，在認知上建立起對“線段”“射線”“直線”的矛盾沖突，這樣巧妙的教學設計使得學生輕松地建立了對“直線”“射線”的“無限”的空間感觀，真實、自然又不失嚴密。在我們周圍的事物中，是找不到那種可以真正地被看成是“無限的直線”的東西的。那么今后學生因為想象出了無限的直線，他們的空間圖形觀念則產生了質的飛躍，因為借助于這樣的直線去認識世界，將比沒有它要方便得多。學生在教師的引領下，走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何觀念，極限思想在圖形概念形成初期呼之欲出，迸發出絢麗的色彩！

二、在公式推導過程中滲透極限思想

數學思想方法呈隱蔽形式，滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，如果能有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后負載的方法、蘊涵的思想，那么，學生所掌握的知識才是鮮活的，可遷移的，學生的數學素養才能得到質的飛躍。我們要力爭做到讓學生以后即使具體的知識忘了，但用數學來思考問題的方法還常存于腦中。

【案例2】圓的面積

師：我們學過了一些圖形的面積計算公式，今天我們來研究圓的面積公式。你們有什么辦法嗎？

生：可以把圓轉化為我們學過的圖形。

師：怎么轉化？

生：把圓平均分。（大屏幕上演示把圓平均分成了2份，把兩個半圓使勁地拼，結果還是一個圓）

師：轉化不成已經學過的圖形，怎么回事？

生：平均分的份數不夠多。

師：是這樣嗎？那我們分得多一些，請大家仔細觀察。（演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成長方形。從平均分成4個、8個到16個）

師：你們有什么發現？同桌輕輕交流一下。

生1：16個拼起來，比較像長方形。

生2：分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形。

師：你們都同意他們的看法嗎？（學生表示同意）那我們再來分一分這個圓。（課件演示把圓平均分成32個、64個……完全相同的小扇形）

師：大家再仔細看一看，想一想，如果一直這樣分下去，拼下去會怎樣？

生1：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了。

師：拼成的長方形與原來的這個圓究竟有怎樣的關系啊？

……

這個過程中采用了“變曲為直”“化圓為方”極限分割思路。從“分的份數越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長方形”就是獲得的結果。通過有限想象無限，根據圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的最終結果，讓學生既掌握了計算公式，又萌發了無限逼近的極限思想。學生經歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的巨大價值，學生有了這個基礎，到將來學習圓柱體積公式的推導時就會很自然地聯想到這種辦法，從而再一次加以利用解決問題，在不斷的應用中學生的極限思想會潛移默化地形成。

三、在數的認識過程中滲透極限思想

小學生從一年級開始就認識了自然數0、1、2、3…同時知道每個自然數加1就等于它的后繼數。到了認識億以內的數時，進一步知道了最小的自然數是0，沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。也就是說，任意給定一個足夠大的自然數n，只需要把它加1就會得到一個更大的自然數n+1，n+1>n，所以總是找不到一個最大的自然數，從而體會到自然數數列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數、偶數、一個數的倍數、兩個數的公倍數等都沒有最大的，都有無限多個。在學習分數的基本性質時，學生知道分母不同、分數值相等的分數有無限多個。整數和有限小數化成分數是大家非常熟悉的，那么，循環小數怎樣化成分數呢？

【案例3】把循環小數0.999…化成分數

分析：0.999…是一個循環小數，也就是說，它的小數部分的位數有無限多個。對于小學生來說，能夠接受的方法就是數形結合思想和極限思想的共同應用和滲透，通過構造一個直觀的幾何圖形來描述極限思想。先看這個數列：0.9， 0.09、0.009、…用數形結合的思想，把這個數列用線段構造如下：把一條長度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份，然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份……所有取走的線段的長度是：0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此無限地取下去，剩下的線段長度趨向于0，取走的長度趨向于1，根據極限思想，可得0.999…=1。

通過這個例子進一步說明，極限方法只關注一個無限的變化過程的確定趨勢是什么，只要趨勢確定并且符合極限的定義，那么這個無限變化的過程的結果就用極限來表示，它就是一個解決問題的方法而已，只要符合極限的規則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程的結果，它并不關心這個無限變化的過程何時能到達極限，它在本質上不同于有限個數的和。

四、在實際應用中滲透極限思想

在學習分數基本性質后的練習中，要求學生在1分鐘內寫一些二分之一相等的分數。學生嘗試寫了一些后，教師追問：“如果有時間讓你們繼續寫，還能寫嗎？”如果單從解題的角度看，學生很容易找到答案，而且不會費時太多，但學生還沒有得到此題的精髓，也就是題中包含著什么樣的規律，體現了怎樣的數學思想，教師還應該給學生挖出來。這能為他們將來學習極限理論、提高抽象思維做很好的鋪墊。

【案例4】用轉化的策略解決問題

計算：1/2+1/4+1/8+1/16

師：仔細觀察這個算式有什么特點？

生：任意相鄰的兩個分數，后一個分數總是前一個分數的一半。

師：用什么方法求和？

生1：通分轉化。

生2：可以轉化成小數求和。

師：還有不同的方法嗎？

生：用數形結合的方法。

交流：先畫一個大正方形，它的面積是1，先“取”其1/2，再“取”剩下的1/2，也就是整個圖形面積的1/4，依次不斷“取”下去，從圖中可以直觀地發現：1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16

在此基礎上可以把問題進一步變化為：1/2+1/4+1/8+

1/16+1/32+1/64+…=？用數形結合的方法，從圖中直觀地看出隨著加數的不斷增加，空白部分的面積逐漸擴大，并且越來越接近正方形的面積，即不斷地逼近1，當有無限多項相加時其結果為1。

通過多種辦法的解決，學生在收獲知識的同時，也為以后思考問題提供了多種可能，培養了思維的靈活性。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對數學知識的本質反映，是知識向能力轉化的紐帶。在小學數學教材中，能夠體現數學極限思想方法的因素極為廣泛，教師在教學中應該刻意挖掘，并適時將這一思想和方法適度地滲透給學生，這樣學生得到的就不只是數學知識，更重要的是一種科學的數學素養。