電磁感應中的雙電源問題求解策略

電磁感應中的雙電源問題求解策略

■河北省衡水市第二中學 陳月新

在電磁感應現象中,有兩種情形可產生感應電動勢：一是空間磁場不變,閉合回路中的部分導體切割磁感線產生感應電動勢,此種情形產生的感應電動勢一般被稱為“動生電動勢”;二是穿過閉合回路的磁場在變化,從而引起回路中磁通量變化而產生感應電動勢,此種情形產生的感應電動勢一般被稱為“感生電動勢”。在一些電磁感應問題中,存在雙電源。雙電源問題因其綜合性較強,涉及的物理過程復雜多變,故而需要同學們特別注意。

一、由電池和感應電動勢形成的雙電源問題

因為閉合回路中接有電池,產生的電流使得導體棒運動起來,產生感應電動勢,所以使得回路中的電流發生變化,進而導致導體棒的運動情況產生相應的變化。如圖1甲所示,固定于水平面上的U形導線框處于豎直向下、磁感應強度為B0的勻強磁場中,兩平行導線的間距為l,左端接一電動勢為E0、內阻不計的電源。一質量為m、電阻為r的導體棒MN垂直導線框放置并接觸良好。閉合開關S,導體棒從靜止開始運動。忽略摩擦阻力和導線框的電阻,兩平行導線足夠長。請分析說明導體棒的運動情況,在圖1乙中畫出導體棒的速度v隨時間t變化的示意圖,并求出導體棒達到的最大速度。

圖1

解析：閉合開關S,導體棒在安培力F= B0I l的作用下開始做加速運動,加速度a=導體棒切割磁感線產生與電池相反的電動勢,閉合回路中的電流說明當導體棒的速度v增大時,電流I減小,安培力F減小,加速度a減小,即導體棒做加速度減小的加速運動。當E0=B0l v0時,電流為零,導體棒的速度達到最大,最大速度此后導體棒以最大速度vmax做勻速運動。導體棒的速度v隨時間t變化的示意圖如圖2所示。

圖2

二、存在兩個導體棒產生感應電動勢的雙電源問題

1.兩個感應電動勢方向相同的雙電源問題。

在兩個感應電動勢方向相同的雙電源問題中,根據串聯電路的基本特點可知,回路中的總電動勢等于兩個電源電動勢之和。

圖3

在傾角為θ、足夠長的光滑斜面上,存在兩個磁感應強度大小相等的勻強磁場,其中一個磁場的方向垂直于斜面向上,另一個磁場的方向垂直于斜面向下,寬度均為L,如圖3所示。一個質量為m、電阻為R、邊長也為L的正方形導線框在t=0時刻以速度v0進入磁場,恰好做勻速直線運動,若經過時間t0,線框的a b邊到達磁場邊界線g g'與f f'中間位置時,線框又恰好做勻速運動,則下列說法正確的是( )。

A.當線框的a b邊剛越過磁場邊界線f f'時,線框加速度的大小為gs i nθ

B.t0時刻線框做勻速運動的速度為v04

C.在0～t0時間內線框中產生的焦耳熱為

D.線框在離開磁場的過程中將做勻速直線運動

解析：線框的a b邊進入磁場時,由于感應電流受到安培力的作用做勻速直線運動,則直到線框的a b邊越過磁場的邊界線f f'。當線框的a b邊剛剛到達磁場的邊界線f f'位置時,線框的兩個邊同時切割磁感線,形成方向相同的雙電源,則線框中的感應電動勢、感應電流加倍,線框受到的安培力變為原來的4倍,則,解得a=3gs i nθ,選項A錯誤。在t0時刻有故此時線框做勻速運動的速度選項B正確。在0～t0時間內,線框沿斜面向下運動的距離為根據能量守恒定律得Q=選項C正確。線框在離開磁場的過程中,只有線框的c d邊切割磁感線,且線框受到的安培力等于m gs i nθ,所以線框將做加速直線運動,選項D錯誤。答案為B C。

2.兩個感應電動勢方向相反的雙電源問題。

在兩個感應電動勢方向相反的電源問題中,根據串聯電路的基本特點可知,回路中的總電動勢等于兩個電源電動勢之差。

圖4

如圖4所示,在水平面上有兩條平行金屬導軌MN、P Q,導軌間距離為l,勻強磁場垂直于導軌所在的平面(紙面)向里,磁感應強度的大小為B,兩根金屬桿1、2垂直放置在導軌上,它們的質量和電阻分別為m1、m2和R1、R2,兩金屬桿與導軌接觸良好,與導軌間的動摩擦因數為μ,已知金屬桿1被外力拖動,以恒定的速度v0沿導軌運動,當達到穩定狀態時,金屬桿2也以恒定速度沿導軌運動,導軌的電阻可以忽略不計,求此時金屬桿2克服摩擦力做功的功率。

解析：設金屬桿2的運動速度為v,兩金屬桿運動時,由兩金屬桿和導軌構成的回路中的磁通量發生變化,產生感應電動勢,由于二者運動的方向一致,使得兩金屬桿中的感應電流方向均向上,即兩金屬桿中的感應電流方向相同,而在整個閉合電路中,兩金屬桿產生的感應電流方向相反,則感應電動勢為二者之差,則E=B l(v0-v)。根據歐姆定律得感應電流因為金屬桿2做勻速運動,所以它受到的安培力等于摩擦力,即B I l=μm2g。金屬桿2克服摩擦力做功的功率P=μm2g v。聯立以上各式解得P=

3.由于磁場的運動形成的雙電源問題。

穿過回路的磁通量發生變化時將產生感應電動勢,這是產生感應電動勢的條件。而磁通量變化的方式很多,當導體并沒有切割磁感線,也沒有磁感應強度的變化,而是磁場運動時,由于相對運動,同樣可在回路中產生感應電動勢和感應電流。

如圖5甲所示,與水平面成θ角的兩根足夠長的平行絕緣導軌,間距為L,導軌間有垂直于導軌平面方向、等距離間隔的兩個勻強磁場,兩個磁場的方向相反,大小相等,均為B。導軌上有一質量為m的矩形金屬框a b c d,其總電阻為R,金屬框的寬度a b與磁場間隔相同,金屬框與導軌間的動摩擦因數為μ。開始時,金屬框靜止不動,重力加速度為g;若t=0時刻,磁場沿直導軌向上做勻加速直線運動;金屬框經一段時間也由靜止開始沿直導軌向上運動,其v-t關系圖像如圖5乙所示(C D段為直線,Δt、v1已知),求磁場的加速度大小。

圖5

解析：金屬框在A點時靜止不動,由平衡條件得2B I L=m gs i nθ+μm gc o sθ。當磁場以瞬時速度v0相對金屬框運動時,金屬框的b c、a d邊同時切割磁感線,感應電動勢E=2B L v0,感應電流金屬框在C點時,由牛頓第二定律得2B I1L-(m gs i nθ+ μm gc o sθ)=m a。此時,由圖乙可知,金屬框運動的瞬時速度為v1,設磁場運動的瞬時速度為vt,則感應電動勢E1=2B L(vt-v1),感應電流磁場做勻加速運動的加速度大小等于金屬框做勻加速運動的加速度大小,則對磁場有vt=v0+aΔt。聯立以上各式解得

注意：磁場的運動使得金屬框與磁場之間存在相對運動,即金屬框切割磁感線,產生感應電動勢,且因為金屬框的a d、b c邊同時切割磁感線,所以金屬框中的感應電動勢為每個邊產生的電動勢之和。

三、同時存在動生電動勢和感生電動勢的雙電源問題

當在同一個電磁感應問題中,既存在因穿過回路的磁場發生變化而產生的感生電動勢,同時又存在因導體棒切割磁感線而產生的動生電動勢時,同學們一定要仔細分析,否則,很容易因顧此失彼而導致失誤。

如圖6所示,兩條平行的金屬導軌MN、P Q固定在絕緣水平面上,兩導軌間的距離L=1m,且MP、a b、c d、e f間的距離也均為L=1m,導軌MN、P Q和MP單位長度的電阻均為R0=0.1Ω,虛線a b右側空間存在勻強磁場,磁場方向豎直向下,且大小隨時間的變化關系為Bt=0.2+0.1t(T),導體棒開始時在外力作用下靜止于c d處,若導體棒的電阻忽略不計,求：

圖6

(1)通過導體棒電流的大小和方向。

(2)若導體棒在外力作用下以2m/s的速度勻速向右運動,在t=0時刻剛好經過c d處,則此時導體棒所受的安培力為多大?

(3)在第(2)問的情景下,求導體棒從c d處勻速運動到e f處的過程中安培力做的功。

解析：(1)導體棒不動時,回路中產生感生電動勢,根據法拉第電磁感應定律得E=此時回路總電阻R=5L R0,由閉合電路歐姆定律得由閉合電路歐姆定律得,解得I=0.2A。根據楞次定律可知,電流的方向為d→c。

(2)導體棒做勻速運動時,同時產生感生電動勢和動生電動勢,由楞次定律可知,二者的方向相同,根據法拉第電磁感應定律得導體棒所受的安培力F1=B0I1L,解得F1=0.2N。

(3)根據法拉第電磁感應定律可知,t時刻回路中的總電動勢回路總電阻Rt=5L R0+2v t R0,通過導體棒的電流,解得可知回路中的電流為定值,與時間無關,所以導體棒所受安培力隨時間均勻變化。當導體棒做勻速運動時,導體棒受到的安培力隨位移均勻變化,則導體棒運動到c d處所受安培力F1=BcdI L。又有,安培力所做的功,解得W=-0.2 2 5J。

(責任編輯 張 巧)