構造雙函數(shù)妙解導數(shù)綜合題

構造雙函數(shù)妙解導數(shù)綜合題

■廣東省興寧市第一中學 藍云波

翻閱近十年各省市的高考題,就會發(fā)現(xiàn)大都以導數(shù)綜合解答題作為壓軸之作。這類題由于其解答的方法靈活,沒有固定的解題套路,對同學們的綜合能力要求較高,因此難度往往很大,得分率極低,在考試過程中導致不少同學對其“戰(zhàn)略放棄”。因此,如何突破這一難點是同學們面臨的一大難題。同學們平時若能多總結和反思,把解題的過程提升到一定的理論高度,自己的解題效率和能力將大大提升。通過對導數(shù)解答題的歸納分析,可以發(fā)現(xiàn)構造雙函數(shù)是解答導數(shù)綜合題的一大利器。

所謂構造雙函數(shù),即在解題過程中,只構造一個函數(shù)難以解決問題,甚至無法解決問題時,若能對問題進行等價轉化,然后再構造兩個函數(shù),通過各個擊破,可使問題得到最終解決。

下面以近幾年的高考題和模考題為例,談談構造雙函數(shù)在解答導數(shù)綜合題中的應用。

一、求參數(shù)的取值范圍

(2 0 1 5年河南省鄭州市二模理科)已知函數(shù)f(x)=a x+l n(x-1),其中a為常數(shù)。

(1)試討論f(x)的單調區(qū)間;

當a≥0時,f'(x)＞0在定義域內恒成立,f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+∞)。

當x∈(1,e)時,g'(x)＞0,g(x)單調遞增;當x∈(e,+∞)時,g'(x)＜0,g(x)單調遞減。

點評：求解此題的關鍵是通過對f(x)的最值的分析,拆去絕對值符號,然后再構造另外一個函數(shù),對題意進行分析后,轉化為最值大小關系的比較。問題的指向相對較為清晰,無需作過多的變形和等價轉化。

二、研究方程的根的個數(shù)

已知函數(shù)f(x)=n+l nx的圖像在點P(m,f(m))處的切線方程為y=x,設

(1)求m,n的值;

(2)求證：當x≥1時,g(x)≥0恒成立;

設φ(x)=x2-2 ex+t,x∈(0,+∞),則φ(x)=(x-e)2+t-e2。

圖1

所以函數(shù)h(x),φ(x)在同一直角坐標系的大致圖像如圖1所示。

點評：本題若直接構造一個函數(shù),轉化為研究函數(shù)的零點問題,顯然難度較大,因為所要構造的函數(shù)極為復雜,難以使用導數(shù)這一工具,但在化為方程的根的個數(shù)的問題后,所需構造的兩個函數(shù)便呼之欲出。

三、研究函數(shù)的圖像的位置關系

解析：(1)函數(shù)的定義域為R。

(1)若m∈(-2,2),求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間。

(2)若

①當m+1=1,即m=0時,f'(x)≥0,此時f(x)在R上單調遞增。

②當m+1＞1,即0＜m＜2時,當x∈(-∞,1)時,f'(x)＞0,此時f(x)單調遞增;當x∈(1,m+1)時,f'(x)＜0,此時f(x)單調遞減;當x∈(m+1,+∞)時,f'(x)＞0,此時f(x)單調遞增。

③當m+1＜1,即-2＜m＜0時,當x∈(-∞,m+1)時,f'(x)＞0,此時f(x)單調遞增;當x∈(m+1,1)時,f'(x)＜0,此時f(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f'(x)＞0,此時f(x)單調遞增。

綜上所述,m=0時,f(x)在R上單調遞增;當0＜m＜2時,f(x)在(-∞,1)和(m+ 1,+∞)上單調遞增,f(x)在(1,m+1)上單調遞減;當-2＜m＜0時,f(x)在(-∞, m+1)和(1,+∞)上單調遞增,f(x)在(m+ 1,1)上單調遞減。

(2)要證明函數(shù)y=f(x)的圖像總在直線y=x上方,即證只需證。設g(x∈[0,m+1],則g(x)設令h'(x)=0,得x=1。

當x∈[0,1)時,h'(x)＞0,h(x)單調遞增;當x∈(1,m+1]時h'(x)＜0,h(x)單調遞減。所以當x=1時,函數(shù)h(x)取得最大值

點評：本題給出的參考答案極為復雜,使用的是極為復雜的分類討論思想,在考場中要想順利解答不是易事,但使用構造雙函數(shù)的策略,則能化繁為簡。

四、證明不等式

(1)求a,b;

(2)證明：f(x)＞1。

解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。

設函數(shù)g(x)=xl nx,則g'(x)=l nx+

1

綜上,當x＞0時,g(x)＞h(x),即f(x)＞1。

點評：求解此題的困難之處在于同時含有指數(shù)、對數(shù)函數(shù),只構造一個函數(shù),最值難以求解。此時可考慮把式子分兩端,構造雙函數(shù)。除給出的解答之外,還可以變形為然后再構造雙函數(shù)。需要特別指出的是,此題若不能證明[g(x)]min＞[h(x)]max,不能說明f(x)＞1不成立,因為所需證明的變量是同時取值,而雙函數(shù)的最值未必在同一個x中取得。

(責任編輯 徐利杰)