構造函數解決極值點偏移問題

構造函數解決極值點偏移問題

■河南省虞城縣高級中學 何海濤

已知連續函數f(x)在(x1,x2)內只有一個極值點x0且滿足f(x1)=f(x2),若有則稱函數f(x)極值點偏移。這種考題常位于于高考導數題的壓軸位置,下面通過對這類題的分析,介紹如何利用構造函數的方法來解決極值點偏移問題。

一、高考題再現

(2 0 1 6年高考數學全國Ⅰ卷理科第2 1題) 已知函數f(x)=(x-2)ex+ a(x-1)2有兩個零點。

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2＜2。

解析：(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)= (x-1)(ex+2a)。

①設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點。

②設a＞0,當x∈(-∞,1)時,f'(x)＜0,單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f'(x)＞0,單調遞增。

③設a＜0,由f'(x)=0得x=1或x= l n(-2a)。

又當x≤1時,f(x)＜0,所以f(x)不存在兩個零點。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(2)由x1,x2是f(x)的兩個零點可得f(x1)=f(x2)=0,求證x1+x2＜2等價于求證x1＜2-x2。由于x1與2-x2的大小不容易比較,可以結合函數f(x)的單調性,轉化為判斷f(x1)與f(2-x2)的大小關系,考慮到f(x1)=f(x2),繼而轉化為判斷f(x2)與f(2-x2)的大小關系,故可以構造函數F(x)=f(x)-f(2-x)。

不妨設x1＜x2,由(1)知x1∈(-∞,1), x2∈(1,+∞)。

設F(x)=f(x)-f(2-x),則F'(x)= f'(x)+f'(2-x)=(x-1)(ex-e2-x)。

令F'(x)=0,則x=1。當x∈(-∞,1)時。F'(x)＞0;當x∈(1,+∞)時,F'(x)＞0。

故F(x)在R上單調遞增。

因為x2＞1,所以F(x2)＞F(1)=0。

故f(x2)-f(2-x2)＞0,f(x2)＞f(2-x2)。

由x1,x2是f(x)的兩個零點可得,f(x1) =f(x2)=0。

所以f(x1)＞f(2-x2)。

因為x2∈(1,+∞),所以(2-x2)∈(-∞,1)。

又x1∈(-∞,1),y=f(x)在(-∞,1)上單調遞減,所以x1＜2-x2,即x1+x2＜2。

點評：(1)本題第二問要求證明x1+x2＜2等價于,不等式的左側恰好是區間(x1,x2)中點的橫坐標,常數1則恰好是函數f(x)的極值點,因此本題的本質是要證明極值點右偏的問題。

(2)構造函數F(x)=f(x)-f(2-x)是解決本題的關鍵,然后利用F(x)的單調性和零點及f(x1)=f(x2),將x1+x2＜2轉化化歸為比較f(x1)與f(2-x2)的大小。

二、方法總結

若設f(x)的極值點為x0,則可將這類問題的求解方法總結如下：

(1)構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)。

(2)對F(x)求導,判斷F'(x)的正負號,確定F(x)的單調性。

(3)利用F(x0)=0,結合確定F(x)的單調性判斷F(x)=f(x)-f(2x0-x)的正負,從而得到f(x)與f(2x0-x)的大小關系。

(4)若f(x2)＞f(2x0-x2),結合f(x1)= f(x2),得到f(x1)＞f(2x0-x2);

若f(x2)＜f(2x0-x2),結合f(x1)= f(x2),得到f(x1)＜f(2x0-x2)。

(5)結合函數f(x)的單調性,由f(x1)與f(2x0-x2)的大小關系,繼而得出x1與2x0-x2的大小關系。

應用這一解題方法可以順利解決函數極值點的偏移問題。

三、應用舉例

(2 0 1 0年高考天津卷理科數學第2 1題)已知函數f(x)=xe-x(x∈R)。

(1)求函數f(x)的單調區間和極值;

(2)已知函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱,證明當x＞1時,f(x)＞g(x);

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明x1+x2＞2。

解析：(1)因為f(x)=xe-x(x∈R),所以f'(x)=(1-x)e-x,易知y=f(x)在(-∞, 1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數。

(2)由題意可知g(x)=f(2-x),因此, g(x)=(2-x)ex-2。

令F(x)=f(x)-g(x)=xe-x+(x-2)ex-2,于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x。

當x＞1時,x-1＞0,從而e2x-2-1＞0。又e-x＞0,所以F'(x)＞0,從而函數F(x)在[1,+∞)上是增函數。

又F(1)=e-1-e-1=0,所以x＞1時, F(x)＞F(1)=0,即f(x)＞g(x)。

(3)①若(x1-1)(x2-1)=0,由(1)及f(x1)=f(x2),則x1=x2=1,與x1≠x2矛盾。

②若(x1-1)(x2-1)＞0,由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,與x1≠x2矛盾。

根據①②得(x1-1)(x2-1)＜0,不妨設x1＜1,x2＞1。

由(2)可知,f(x2)＞g(x2),因為g(x2)= f(2-x2),所以f(x2)＞f(2-x2),從而f(x1)＞f(2-x2)。

因為x2＞1,所以2-x2＜1。又由(1)可知函數y=f(x)在(-∞,1)上是增函數。所以x1＞2-x2,即x1+x2＞2。

點評：(1)本題第三問要求證明x1+x2＞2等價于本題的本質是要證明極值點左偏的問題。

(2)在例1和例2中,通過構造函數y= f(x)與y=f(2-x)的差,從而得出f(x2)與f(2x0-x2)的大小關系,并通過轉化進一步求證了x1+x2與2x0的大小關系。我們也可以構造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)來比較f(x2)與f(2x0-x2)的大小。

(2 0 1 1年高考遼寧卷理科第2 1題)已知函數f(x)=l nx-a x2+(2-a)x。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a＞0,證明：當0＜x＜1 a時,

(3)若函數y=f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點,線段A B中點的橫坐標為x0,證明：f'(x0)＜0。

解析：(1)f(x)的定義域為(0,+∞)。

①若a≤0,則f'(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調增加。

則g(x)=l n(1+a x)-l n(1-a x)-2a x。當0＜x＜時,g'(x)＞0,而g(0)=0,所以g(x)＞0。

(3)由(1)可知,當a≤0時,函數y= f(x)的圖像與x軸至多有一個交點,故a＞0,從而f(x)的最大值為

不妨設A(x1,0),B(x2,0),0＜x1＜x2,則x1＞0。

由(1)知,f'(x0)＜0。

四、應用練習

函數f(x)=a x+b-xl nx的圖像在(1,f(1))處的切線方程為y=x。

(1)求實數a,b的值;

(2)記f(x)的兩個零點為x1,x2(x1≠x2),求證x1+x2＞2 e。

解析：(1)由函數f(x)=a x+b-xl nx,得f'(x)=a-1-l nx。因為函數y=f(x)在x=1處的切線方程為y=x,所以

(2)由(1)知f(x)=2x-1-xl nx,所以f'(x)=1-l nx。

當x∈(0,e)時,f'(x)＞0;當x∈(e,+∞)時,f'(x)＜0,故f(x)在x=e處取得極大值。

不妨設0＜x1＜e＜x2,令F(x)=f(x)-f(2 e-x)。

則F'(x)=2-l n(2 ex-x2)≥2-l ne2=0,F(x)在(0,+∞)上的增。

因為0＜x1＜e,所以F(x1)＜F(e)=0,即f(x1)-f(2 e-x1)＜0,f(x1)＜f(2 ex1)。

因為f(x2)=f(x1)=0,所以f(x2)＜f(2 e-x1)。

因為0＜x1＜e＜x2,所以2 e-x1＞e。

又當x∈(e,+∞)時,f(x)為減函數,所以x2＞2 e-x1,即x1+x2＞2 e。

(責任編輯 徐利杰)