如何對數學問題進行發展和遷移

張勁松

[摘 要]問題的遷移和發展，與知識的遷移和發展有關。在小學數學課堂教學中，教師應從剖析學生的錯題、實現問題的再生性和實現問題的開放性三個方面出發，重點探索如何對數學問題進行發展和遷移，從而提高小學數學教學的有效性。

[關鍵詞]數學問題；發展；遷移

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）11-0037-02

數學學科具有嚴密的邏輯性和系統性，在數學教材中，大部分知識點都是在之前的知識基礎上進行深化和發展的。教師要讓學生巧妙利用舊知和通過遷移解決實際問題，因為這樣不但可以幫助學生鞏固和深化基礎知識，還有利于學生形成完整的知識體系。

一、對學生的錯解進行剖析

學生在運用所學知識解決實際問題的過程中難免會出現一些問題，及時幫助學生解決這些問題，既可以讓學生清楚認識到學習中存在的不足，也可以幫助學生彌補知識漏洞。

如，教學北師大版六年級“長方體”時，出示例題：一段方鋼的橫截面面積是25平方厘米，長1.4米，這段方鋼的體積是多少立方厘米？

生1：25×1.4=35（立方厘米）。

生2：25×1.4=350（立方厘米）。

生3：1.4×1.4×1.4=17.44（立方厘米）。

生4：25平方厘米=0.0025平方米，0.0025×1.4=0.035（立方米）=350（立方厘米）。

師：生1，你的理由是什么？

生1：長方體的體積=底面積×高。已知橫截面面積是25平方厘米，即為底面積，長相當于高，根據公式，就可以得出算式。

面對學生的解釋，教師并沒有直接否定，而是帶領學生根據第一種算法推斷出第二種算法的錯誤原因，以此類推，學生陸續說出了第三種和第四種算法錯誤的原因。

針對學生的計算錯誤及其原因，教師引導學生對數學問題進行深入分析，讓學生對數學問題形成更加深刻的認識。顯然，這些錯誤都源于學生對舊知的掌握不到位，如單位換算、長方體計算公式等。因此，教師要以“溫故而知新”的方式帶領學生重溫舊知，促使學生認識到錯誤的原因，并找到正確的解法。這樣，既達到將數學問題正向遷移和發展的目的，也促使學生形成了完整的知識體系。

二、變更問題情境中的條件

對算法和公式生搬硬套，是學生學習低效的原因之一。為了提高學生學習的有效性，教師可以引導學生變更問題情境中的條件，進而提出新的結論。

如，教學“解決問題的策略”時，很多學生在解決“相遇問題”時頻繁出錯，而且學生也表示這一類型數學問題讓他們“很頭疼”。為了讓學生更好地解決數學問題，加深學生對知識的理解和掌握，教師可導入綜合性較強的題目：甲、乙兩列火車分別從A、B兩地同時出發，相向而行，經過1.5小時后在離中點18千米處相遇。已知甲車速度是乙車的1.2倍，相遇時，兩車各行了多少千米？

師：從題目中可以知道哪些已知條件和未知條件？

生1：（已知條件）兩車同時出發，相向而行，經過1.5小時后相遇，此時離中點18千米，甲車速度是乙車速度的1.2倍；（未知條件）A、B兩地之間的距離，甲、乙兩車的行駛速度，相遇時兩車各自行駛的路程。

師：根據這些條件，能否找到已知條件和未知條件的關系呢？

生2：兩車經過1.5小時后在離中點18千米處相遇，即相遇時，甲車比乙車多行了（18×2）千米，所以甲車每小時比乙車多行18×2÷1.5=24（千米）；甲車速度是乙車的1.2倍，所以乙車每小時行24÷（1.2-1）=120（千米），即求出甲車的速度后，就能求出相遇時兩車各行了多少千米。具體解題過程如下。

解：18×2÷1.5÷（1.2-1）

=24÷0.2

=120（千米/時），

120×1.2=144（千米/時），

120×1.5=180（千米），

144×1.5=216（千米）。

答：相遇時，甲車行了216千米，乙車行了180千米。

師：根據“甲車速度是乙車的1.2倍”你能想到什么？

生3：可以設乙車速度為x，那么甲車速度就是1.2x。

解：設乙車速度為x，則甲車速度為1.2x 。

因為經過1.5小時后，兩車在離中點18千米處相遇，所以

（1.2x-x）×1.5=18×2

x=120

甲車速度=120×1.2=144（千米/小時）。

甲車行了：144×1.5=216（千米），

乙車行了：120×1.5=180（千米）。

答：相遇時，甲車行了216千米，乙車行了180千米。

由此可見，讓學生在問題情境中對條件進行深度解析，不但能使學生的思維得到拓展，也加深了學生對數學知識的理解和掌握，大大提高了學生的數學水平。

三、對課本例題進行變式

課本中安排的例題，往往是希望學生通過探究對知識點形成更加深刻的認識，而要實現知識的遷移和發展，就需要教師將課本例題進行變式。

如，“購物策略”中的例題：“有某種新品牌的飲料，大瓶裝（1200ml）售價10元，小瓶裝（200ml）售價2元，三家商店為了促銷這種飲料分別推出了各自的優惠策略。甲商店：買一大瓶送一小瓶；乙商店一律九折優惠；丙商店：購物滿30元即享8折優惠。”例題難度不大，但條件比較多。

師：如果是你去購買飲料，會選哪家商店？

生：如果購買飲料不超過30元，選擇在甲商店或乙商店購買；如果購買飲料超過30元，就選擇在丙商店購買。

要明確這個答案是否具有有效性，教師可以引入相關問題，讓學生再通過知識遷移，學會解決問題，從解決問題中找出正確的答案。

習題：某商場推出優惠購買練習本和筆的促銷活動，兩種商品原售價分別為10元/本和3元/支。商場制定了兩種優惠方案：①買一本練習本贈送1支筆；②按總價打8折。求：

（1）小趙需購買3本練習本和8支筆，選擇哪種優惠方案合算？

（2）若某學校需購買300本練習本和x支筆（x≥300），試討論選擇哪種優惠方案更省錢？

生：（1）方案一：10×3+3×（8-3）=45（元）。

方案二：（10×3+3×8）×0.8=43.2（元）。

所以方案二更省錢。

（2）由10×300+3×（x-300）>（10×300+3x）×0.8得x>500，

由10×300+3×（x-300）=（10×300+3x）×0.8得x=500，

由10×300+3×（x-300）<（10×300+3x）×0.8得x<500。

所以，若購買筆超過500支，選擇方案二更省錢；若購買筆等于500支，兩種方案同樣省錢；若購買筆少于500支而不少于300支，選擇方案一更省錢。

由此可見，在引導學生對課本例題進行分析的時候，對例題進行適當變式，能加深學生對知識的理解，從而真正達到將問題遷移和發展的目的。

總之，教師在教學中對數學問題進行遷移和發展，能促使學生在解決實際問題時靈活運用舊知或聯系新知，加深學生對知識的理解，有利于學生形成完整的知識體系。

（責編 童 夏）