小問題

小問題

2017-1自由剛體的一般運動在哪些條件下可以當作剛體平面運動？提示：綜合考慮運動學條件、受力條件、質量與慣量的條件等.

(2017年1月清華大學錢學森力學班“動力學與控制”課期末考試的簡答題，李俊峰、馬曙光供稿)

《小問題》欄目開展有獎竟答啦！2017年6月1日前將題目解答發送到lxsj@cstam.org.cn，解答正確的同學即可免費獲贈《力學與實踐》2017年第3期期刊1本(來信時請注明郵寄地址).期待您的參與！

*《小問題》2016-2解答*

問題：豎直平面內一個質量為M、半徑為R的勻質圓盤可繞過其圓心且垂直于圓盤的水平軸自由轉動.一個質量為m的小蟲在圓盤邊緣的最底端.初始時系統靜止.現小蟲突然啟動，沿著圓盤邊緣以相對速度u(t)爬行.(1)求系統運動的微分方程.(2)分析小蟲與圓盤的相互作用力.(3)假設小蟲的相對加速度a=˙u(t)是常數，求小蟲能夠爬到的最大高度，并討論小蟲能夠爬到圓盤頂端的條件.

解答：如圖1，小蟲起動前后，系統對圓盤中心O點的角動量守恒.假設小蟲起動后瞬間相對圓盤參考系的速度為u0=u(0),方向向左為正；而圓盤相對于固定參考系的角速度為ω0,以逆時針為正.則有

圖1

若求小蟲爬到圓盤頂端所需最小相對加速度a?,則可令θ=π,=0,而得到

注意到a?可正可負.當a?≤0,即當

時，小蟲相對圓盤勻速爬行就能爬到圓盤頂端.對小蟲做透力分析，圓盤對小蟲作用力由下式

給出，其中Fn指向圓心O,Fθ沿著圓盤切向并指向θ增大方向.