數(shù)學(xué)巨人的“冪”事

劉華東

斐波那契解“棋盤問題”

古印度有一個(gè)國(guó)王，很喜歡下棋.國(guó)王從來沒有遇到過敵手，只贏不輸.一天，國(guó)王下令：誰能贏了他，就可以滿足這個(gè)人提出的一個(gè)愿望.

一位從未跟國(guó)王下過棋的大臣要求與國(guó)王對(duì)弈.結(jié)果聰明的大臣贏了.

國(guó)王大度地說：“提出你的要求吧，我會(huì)信守諾言的.”

大臣輕輕地說：“我只想要一些麥粒，能把棋盤放滿.這個(gè)棋盤共有64個(gè)方格，陛下，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)格子里放一粒麥粒，第二個(gè)格子里放2粒，第三個(gè)格子里放4粒，第四個(gè)格子里放8粒……依此類推，直至第64個(gè)格子.”

國(guó)王一聽，不假思索地說：“這個(gè)小小的要求，我立刻就滿足你.”于是，命令管糧食的大臣按計(jì)算方式算好麥粒的數(shù)目.管糧食的大臣計(jì)算后，走到國(guó)王面前悄聲說：“陛下，按照他的要求，全國(guó)的糧食加起來也不夠啊！”說完大臣把計(jì)算結(jié)果給國(guó)王看，得數(shù)是18 446 744 073 709 551 615（粒），1立方米的麥粒大約是1 500萬粒，一共要給他12 000立方米的麥粒.國(guó)王一聽傻了眼，這可怎么辦？

中世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）再解這個(gè)問題時(shí)，遇到了難以表達(dá)的大數(shù)問題，斐波那契被迫給出了一種記法：先算出棋盤前兩行之和，再加1得65 536，將65 536枚金幣裝入一保險(xiǎn)箱，將65 536個(gè)保險(xiǎn)箱放入一座房子，再將65 536座這樣的房子放進(jìn)一座城市，65 536座這樣的城市所含的金幣減去1，就是棋盤上所有麥粒數(shù)字的和.

在沒有冪的表示方法的時(shí)代，要表達(dá)一個(gè)大數(shù)是多么不容易啊！

海邊的奇思

敘拉古是古希臘的一個(gè)獨(dú)立城邦.敘拉古國(guó)王希羅（Hiero）之子蓋羅（Gelo）是大數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，前287～前212）的好朋友.

一天，阿基米德同蓋羅在海邊一起散步，阿基米德三句話不離本行，談起了大數(shù)問題.

“我們腳下的這片沙灘共有多少粒沙呢？”阿基米德問朋友.

“有無窮多粒吧.”蓋羅回答.

“那么整個(gè)西西里島上的沙粒數(shù)呢？”阿基米德接著問.

“當(dāng)然也是無窮多.”蓋羅不假思索地答道.

“可是，親愛的朋友，不僅西西里島，世界上任何地方的沙粒數(shù)都是有限的.我可以證明，我能找到一個(gè)大數(shù)，使得整個(gè)地球，甚至整個(gè)宇宙的沙粒數(shù)不超過這個(gè)數(shù)！”阿基米德自信地說.（那時(shí)候的天文學(xué)家認(rèn)為，宇宙就是以地球?yàn)橹行摹⒌厝站嚯x為半徑的球.）

“是真的嗎？太不可思議了！”蓋羅睜大眼睛看著眼前的這位數(shù)學(xué)家.

“對(duì)于一個(gè)沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人來說，那的確令人難以置信.”阿基米德回答.

接下來，阿基米德開始向朋友介紹自己的大數(shù)計(jì)數(shù)法：從1數(shù)到1萬，再?gòu)?萬數(shù)到1萬萬，將1到1萬萬稱之為一階數(shù)；從1萬萬數(shù)到1萬萬個(gè)1萬萬，稱之為二階數(shù)；從1萬萬個(gè)1萬萬數(shù)到1萬萬個(gè)1萬萬個(gè)1萬萬，稱之為三階數(shù)……最后數(shù)到一萬萬階數(shù).

雖然蓋羅平日里常常向阿基米德學(xué)數(shù)學(xué)，但他還是有點(diǎn)頭暈.阿基米德告訴朋友，根據(jù)他的證明，若將沙粒看成罌粟殼那么大，裝滿整個(gè)宇宙不超過1000個(gè)七階數(shù)（1后面有51個(gè)零）.而裝滿整個(gè)阿里斯塔克斯恒星球的沙粒數(shù)不超過10 000 000個(gè)八階數(shù)（1后面有63個(gè)零）.

蓋羅強(qiáng)烈要求阿基米德將其大數(shù)計(jì)數(shù)法和計(jì)算沙粒的計(jì)算方法寫成書，讓更多的希臘人學(xué)習(xí).

計(jì)算沙粒數(shù)時(shí)，要面對(duì)1051這個(gè)大數(shù)，但在17世紀(jì)以前，人們并沒有簡(jiǎn)便的大數(shù)記法.阿基米德采用“萬萬進(jìn)”的記數(shù)方法表達(dá)了這個(gè)大數(shù)，并提出了一個(gè)定理——用今天的記號(hào)，就是10m×10n=10m+n.

在阿基米德之后，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，3世紀(jì)）、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡拉吉（al-Karaji，953～1029）、意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）等都采用“加法法則”來記四次及更高次冪，如用“平方——平方”表示四次冪，用“平方——立方”表示五次冪等等.

15～16世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)家則通過等差和等比數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來呈現(xiàn)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則.德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾（M.Sifel，1487～1567）在《整數(shù)算術(shù)》中討論了四種對(duì)應(yīng)關(guān)系：冪的運(yùn)算中的乘、除、乘方、開方分別對(duì)應(yīng)于四則運(yùn)算中的加、減、乘、除.以第二種為例，同底數(shù)冪的除法對(duì)應(yīng)的是指數(shù)相減（如2m÷2n=2m-n）.

1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾（R.Descar，1596～1650）在《方法論》附錄（《幾何學(xué)》）中創(chuàng)用了冪的新記號(hào)：如用a3表示a·a·a，用a4表示a·a·a·a等等.有了笛卡爾的新記號(hào)，同底數(shù)冪運(yùn)算等冪的運(yùn)算法則的導(dǎo)出就變得自然而然了.

數(shù)學(xué)之精妙在于人們?cè)谏钪械牟粩嗵剿鳌⑺伎肌l(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，站在巨人的肩上我們可以看得更高、更遠(yuǎn).同學(xué)們，讓我們擁抱數(shù)學(xué)，明天你也許就是一位“數(shù)學(xué)巨人”.

（作者單位：江蘇省鹽城市中興實(shí)驗(yàn)學(xué)校）