帶有分支梁的導彈模態剪力和模態彎矩計算方法

王 樂，冷德新，蔡毅鵬

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

帶有分支梁的導彈模態剪力和模態彎矩計算方法

王 樂，冷德新，蔡毅鵬

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

模態剪力和模態彎矩是導彈橫向動態載荷計算及識別的重要基礎，完善了帶有分支梁的導彈模態剪力和模態彎矩計算方法。首先從剪力和彎矩的基本定義出發，推導了梁-質量塊有限元模型主梁和分支梁模態剪力和模態彎矩計算方法，然后采用模態疊加方法計算橫向靜力作用下導彈的飛行載荷，并與靜力學計算結果進行對比。結果表明，采用模態剪力疊加和模態彎矩疊加計算結果隨著模態數量的增加逐漸逼近靜力學計算結果，當考慮所有的模態時，計算結果與靜力學計算結果完全相同，驗證了模態剪力和模態彎矩計算方法的正確性。

主梁；分支梁；模態；模態剪力；模態彎矩

0 引 言

載荷設計是導彈總體設計的重要內容，其主要任務是根據作用于導彈的外力給出結構內部的剪力、彎矩和軸力等為結構設計和強度校核提供依據。載荷設計中的靜力學方法是工程設計中廣泛使用的方法[1]，研究外力作用周期較長情況下結構的內力。例如計算導彈橫向飛行載荷時，首先根據作用于導彈上的外力計算導彈整體的平移和轉動加速度，然后依據外力和慣性力平衡原理，用截面法得到各個截面的剪力和彎矩。文獻[2]指出，靜力理論忽略了結構本身的振動、變形性質，沒有考慮結構的動力特性。在某些情況下，如計算潛射導彈出水過程中由空泡潰滅產生的橫向沖擊載荷時[3]，靜力學方法是不適用的，必須根據結構的動力響應研究導彈的內力，模態疊加法是其中最重要的方法，該方法在出水過程橫向載荷設計和飛行載荷識別中得到了廣泛應用[2,4,5]。

采用模態疊加法計算橫向載荷時，需要計算各階模態的模態剪力和模態彎矩，然后將模態剪力和模態彎矩用相應的模態坐標進行線性疊加，就得到動態外力作用下真實的結構內力。梁-質量塊有限元模型是工程設計中常用的動力學模型，在計算模態彎矩時，一些文獻忽略了節點上轉動慣量的影響[6～9]，此外，分支梁模態剪力和模態彎矩的計算方法還需進一步完善。

為此，本文從剪力和彎矩的基本定義出發，推導了梁-質量塊有限元模型主梁和分支梁模態剪力和模態彎矩計算方法，考慮了節點轉動慣量對模態彎矩的影響。為了檢驗本文計算方法的正確性，采用模態疊加方法計算了橫向靜力作用下導彈的飛行載荷，并與靜力學計算結果進行對比。結果表明，采用模態剪力疊加和模態彎矩疊加計算結果隨著模態數量的增加逐漸逼近靜力學計算結果，當考慮所有的模態時，計算結果與靜力學計算結果完全相同。本文帶有分支梁的導彈模態剪力和模態彎矩計算方法對于飛行載荷識別、動載荷計算具有一定的參考價值。

1 主梁的模態剪力、模態彎矩計算方法

設主梁-質量塊有限元模型一共有n個截面，每個截面上有一個線位移和角位移，并且有集中質量mi和轉動慣量Ii，每個節點上作用的集中力和集中力矩分別為Fi和FMi，如圖1所示。

圖1中共有2n個自由度，由總質量矩陣M和總剛度矩陣K可得模型的頻率和振型，共有2n階模態，其中前兩階為剛體模態，對任意一階振型和頻率，有：

則：

式中φ為各階振型組成的矩陣；根據模態疊加原理，位移可以分解為 =Xφq，則：

式（3）進一步可寫為

式中為廣義坐標。

由于本文討論的是集中質量系統，則總質量矩陣M為對角矩陣，因此有：

1.1 模態剪力

如果不考慮阻尼力，導彈的運動方程為

式中F為各個節點外力所構成的列向量。本文采用材料力學中剪力和彎矩的符號定義，由力的平衡方程可得第j截面的剪力為

對于有2n個元素的列向量A，定義算子，使得：

則：

由式（4）可得：

由式（5）可得：

交換求和順序可得：

則第j個截面的第i階模態剪力為

1.2 模態彎矩

根據力矩平衡方程可得第j個截面的彎矩可寫為

對于有2n個元素的列向量A，定義算子，使得：

定義2 2×nn的對角矩陣：

則，

由式（4）可得：

由式（5）可得：

交換求和順序可得：

第j個截面的第i階模態彎矩為

2 分支梁的模態剪力、模態彎矩計算方法

圖2為有一端固支，另一端自由的分支梁。

按照主梁模態剪力和模態彎矩的計算方法可得分支梁各位置左截面的模態剪力和模態彎矩為

3 算 例

為了驗證本文帶有分支梁的導彈模態剪力和模態彎矩計算方法的正確性，將計算結果與靜力學結果對比。現有某導彈作用在主梁上各節點的橫向外力如圖3所示。各節點無外力矩，分支梁無任何外力。

在靜力學計算中不考慮導彈的初始位移和速度，各階模態的廣義坐標為

式中為第i階模態的廣義力；為第i階模態的廣義剛度。

以平面梁單元建立導彈有限元模型，主梁上有49個節點，分支梁有6個節點，主梁和分支梁共用1個節點，共有108個自由度，前兩階模態為剛體模態，導彈的前三階彈性模態頻率如表1所示，振型如圖4所示。

表1 前三階彈性模態頻率

按式（22）的方法計算彈體各階模態的廣義坐標，分別采用靜力學方法和模態剪力疊加和模態彎矩疊加的方法計算飛行載荷。計算結果如圖5～圖12所示。

由圖5～圖12可知，當只考慮一階彈性模態時，模態剪力疊加結果和模態彎矩疊加結果與靜力學計算結果相比相差較大；隨著模態數量的增加，計算結果逐漸逼近靜力學計算結果；當考慮所有的模態時，計算結果與靜力學結果完全相同。

當考慮所有的模態時，采用以上兩種方法計算的分支梁載荷對比結果如表2所示。

表2 分支梁載荷對比

由表2可知，采用兩種方法計算的分支梁載荷結果完全一致。

4 結 論

本文從剪力和彎矩的基本定義出發，推導了帶有分支梁導彈的模態剪力和模態彎矩計算方法，考慮了節點轉動慣量對模態彎矩的影響，給出了主梁和分支梁模態剪力和模態彎矩的計算公式。為驗證計算方法的正確性，采用模態疊加方法計算了橫向靜力作用下導彈的飛行載荷，并與靜力學計算結果進行對比。結果表明，采用模態剪力疊加和模態彎矩疊加的計算結果隨著模態數量的增加逐漸逼近靜力學結果；當考慮所有的模態時，計算結果與靜力學計算結果完全相同。

[1] 蔣魯佳, 辛萬青, 孟令濤, 戴婷婷, 龐寶強, 楊新龍. 導彈超聲速飛行橫向氣動載荷估算系統[J]. 導彈與航天運載技術, 2010(5): 21-23.

[2] 尹云玉, 呂海波, 李寧, 陳敏. 潛射火箭出水過程橫向響應載荷研究[J].導彈與航天運載技術, 2007(6): 12-16.

[3] 權曉波, 李巖, 魏海鵬, 呂海波, 辛萬青, 魯傳敬. 航行體出水過程空泡潰滅特性研究[J]. 船舶力學, 2008, 12(4): 545-549.

[4] 尹云玉. 固體火箭自由運行狀態截面彎矩識別方法[J]. 宇航學報, 2010, 31(7): 1706-1710.

[5] 尹云玉. 固體火箭橫向響應載荷識別方法[J]. 宇航學報, 2009, 30(6): 2135-2139.

[6] 龍樂豪, 等. 總體設計(上冊) [M]. 北京: 宇航出版社, 1989.

[7] 黃懷德, 等. 振動工程(下冊) [M]. 北京: 宇航出版社, 1995.

[8] 呂海波, 權曉波, 尹云玉, 魏海鵬, 姚熊亮. 考慮水彈性影響的水下航行體結構動響應研究[J]. 力學學報, 2010, 42(3): 350-356.

[9] 陳智勇. 時變彈性梁橫向響應載荷識別[J]. 導彈與航天運載技術, 2008(2): 49-52.

A Method of Obtaining Modal Shear Forces and Modal Bending Moments of the Missile with Branch Beam

Wang Le, Leng De-xin, Cai Yi-peng
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

Modal shear force and modal bending moment are the foundation of the calculation and identification of transverse dynamic load, the method of obtaining modal shear forces and modal bending moments of the missile with branch beam was improved. First, the modal shear forces and modal bending moments of the major beam and branch beam in the Beam-Mass finite element model were deduced from the definition of shear force and bending moment. Then, the flight loads of a missile under transverse static loads were calculated by mode superposition method, the results were compared to those of statics. It’s showed that the results of mode superposition method gradually approach those of statics with the numbers of modes, they are the same when all the modes are included, so the method of obtaining modal shear forces and modal bending moments is verified.

Major beam; Branch beam; Mode; Modal shear force; Modal bending moment

O327

A

1004-7182(2017)02-0020-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170205

2015-07-03；

2016-01-15

王 樂（1984-），男，高級工程師，主要研究方向為載荷與環境設計