一個過程怎會出現兩種結果?
——對一道熱學奧賽培訓例題解答之質疑與分析

李衛平 王 捷 李小杰 徐鐘鴻

(西華師范大學物理與空間科學學院,四川 南充 637009)

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一個過程怎會出現兩種結果?
——對一道熱學奧賽培訓例題解答之質疑與分析

李衛平 王 捷 李小杰 徐鐘鴻

(西華師范大學物理與空間科學學院,四川 南充 637009)

1 原題及原解答

如圖1(a)所示,有一豎直放置的左端封閉、右端足夠長且開口向上的U形均勻玻璃管,管中以水銀柱封閉一段長為l0=15cm的空氣柱,兩邊管中水銀的長度分別是h1=22.5cm,h2=27.5cm,管彎曲部分的長度可忽略不計,大氣壓p0=75cmHg. 今將管緩慢倒轉使其仍呈豎直但開口向下,管內氣壓達到新的平衡,如圖1(b)所示.

圖1

(1) 試求平衡狀態下空氣柱的長度;

(2) 試討論新平衡的穩定性.如為不穩定,則需進一步分析該狀態被擾動破壞后的情況.

解析: (1) 試管的截面積為S,倒轉后封閉在管中仍有水銀,當空氣柱的長度增加了x,則對封閉管內氣體根據玻意耳定律有

p1l0S=p2(l0+x)S,

即

[p0+(h1-h2)]l0=[p0-(h2+x)+(h1-x)](l0+x).

代入相應的數據,化簡得

80×15=(70-2x)(15+x),

解得

x1=5cm,x2=15cm.

x的兩個值都小于h1,說明倒轉后封閉管中確實仍有水銀,即假設成立.但兩個解都不能舍去,表明倒轉后建立的新平衡態有兩種可能,對應的空氣柱長度分別為

l1=l0+x1=20cm,

l2=l0+x2=30cm.

(2) 先討論氣柱長度l1=20cm這一平衡態的平衡種類,此時封閉端氣體A的壓強pA=(75-32.5+17.5)cmHg=60cmHg.現假想左端水銀液面上升或下降一小量Δx(向上為正),則由玻意耳定律得A管中氣柱的壓強變為

在U形玻璃管彎管部分的頂端正中間取一薄層水銀來分析,它所受的左、右兩邊的壓強差

這表明這一薄片水銀所受的合力向左,因此這一狀態對應的平衡態為穩定平衡態.

若平衡時封閉的氣柱長l2=30cm,同上類似的方法可得

故這一狀態對應的平衡態為不穩定狀態.因此在受到微小擾動后,水銀將全部進入右管中.(注： 應該是水銀受到從管的封閉端流向開口管的微擾動后，才會出現全部進入開口管中的情況，原解答未考慮，如果水銀受到的是從開口管流向封閉端的微擾動，則水銀將隨之而進一步流入封閉端中，使管封閉端中的氣柱長度縮短，最終將以空氣柱長度l1=20cm的狀態為穩定平衡態.)

設這時氣柱長為x3,則由玻意耳定律得

(p0+h2-h1)l0S=(p0-h1-h2)x3S.

即

用上面類似的方法還可證明這一平衡態為一穩定平衡態.

2 對原解答之質疑及分析

在原解答中,借助數學方程得到了管的封閉端中有l1=20cm，l2=30cm兩個空氣柱的長度,經簡單驗算這兩個結果都不能舍去,所以便認定在U形管緩慢倒轉后這兩種平衡態都是可能出現的.正是基于這樣的判斷,原解答又繼而對兩種平衡狀態的穩定性進行了深入的討論,在確定了對應l2=30cm的空氣柱長度的平衡狀態屬不穩定平衡后,又進一步分析了系統受到微擾動后的相應去向,從而最終對本題做出了看似十分完備的解答.然而,在這看似完備的解答中卻存在一個問題:為什么從同一初態出發,經過同一過程竟有兩種不同的結果均可能出現?這一點無論從哲學的因果制約關系角度看,或者從宏觀物理學的決定論角度看,都是令人費解的.盡管通過理論計算和理論判斷得到兩種可能產生的系統平衡狀態,然而,如果進行實際的緩慢倒轉U形管的操作的話,客觀上真正出現的必然只能是這兩種可能結果中的一種.這又令人進一步深思,究竟會出現哪種結果呢?抑或,原題的解答并不完善,其實根本就不存在兩種可能的結果而只有一種結果?

U形管的緩慢倒轉過程中如圖2所示. 我們對此過程分有、無擾動存在兩種情況進行分析.

(1) 如果沒有擾動的話,管中空氣柱的長度將緩慢連續地逐漸增大, 當空氣柱增大至l1=20cm時U形管正好處于豎直狀態. 顯然管內空氣柱將保持這一平衡狀態不變, 空氣柱長度為l2的另一系統平衡狀態是不可能出現的.

(2) 沒有擾動的情況僅僅在理論上存在,實際上自然界的微擾動是隨時存在的. 然而,在隨著U形管的緩慢倒轉管內空氣柱的長度緩慢地從l0=15cm增大至l1=20cm的過程中, 系統的任何一個平衡狀態顯然均是穩定平衡的, 所以在此過程中即使存在微擾動, 并不至于使系統狀態失穩而發生突變,管中空氣柱的長度連續地從l0=15cm增大至l1=20cm.而空氣柱長度為l1的系統平衡狀態正如原解答所指出的也是穩定平衡態,系統在達這一穩定平衡態后管中空氣柱的長度便不再發生變化,也不可能因微擾動而發生突變. 雖然空氣柱長度為l2=30cm的另一系統平衡狀態是數學上可能的平衡態,但即使存在微擾動的情況下在物理上并不會實際出現.

圖2 U形管倒轉過程

綜上分析可知,原題最后的正確結果應是:將U形管緩慢倒轉使其仍呈豎直但開口向下時,平衡狀態下空氣柱只能有l1一個長度.

3 結束語

借助數學方程,指出U形管豎直倒置時系統(在管的封閉端中存在水銀的情況下)將有兩種平衡狀態.但如果單憑數學而不對U形管的緩慢倒轉過程進行物理分析,我們就不可能剔除掉實際上并不出現的一種系統平衡狀態,并最終確定實際真正出現的平衡狀態.在本題的解答中,數學工具與物理思考就是這樣緊密結合但又彼此不能取代.

1 范曉輝.新編高中物理奧賽指導[M].南京:南京師范大學出版社,2012(6)：257-258.

2016-11-21)