馬爾科夫切換型時滯系統的穩定性

葉志勇，潘素英，張 華，2

(1.重慶理工大學 理學院， 重慶 400054; 2.銅仁學院 大數據學院， 貴州 銅仁 554300)

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馬爾科夫切換型時滯系統的穩定性

葉志勇1，潘素英1，張 華1，2

(1.重慶理工大學 理學院， 重慶 400054; 2.銅仁學院 大數據學院， 貴州 銅仁 554300)

馬爾科夫切換型時滯系統是能很好地描述具有隨機性同時又具有時滯的一類系統，而穩定性是其研究的基礎。通過選取合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用線性矩陣不等式和Schur補引理得到了依賴于時滯的穩定性判據，理論上說明了所考慮系統在足夠小的時滯條件下可以達到漸近穩定。最后通過Matlab LMIs Toolbox可以找到可行的矩陣解，并且借助Matlab LMIs Toolbox進行了數值仿真，說明了所得結論的有效性。

時滯；隨機系統；Brownian運動；馬爾科夫切換

時滯現象是造成系統不穩定、降低系統性能的主要因素之一，它廣泛存在于各種工程系統中，進而使時滯系統受到大量關注，并且取得了豐碩的研究成果[1-3]。對于時滯系統的研究已深入各分支，比如時滯系統的時滯相關與否、時滯相關的穩定性分析與設計、參數識別等。

在實際的物理系統中，存在著許多的噪聲和不確定性，而噪聲和不確定性的干擾使得原有系統的性質被破壞。為了更好地刻畫系統的內在性質，同時更準確、深入地對實際物理系統進行描述，研究中引入隨機系統。高斯噪聲是由Brown運動引起的干擾，而在實際生活中，系統除了受高斯噪聲的干擾外，還受諸多其他噪聲的干擾，如Possion噪聲等。

在實際工程系統中，由于隨機錯誤、不可預測的事件、互聯子系統的變化等會引起系統參數的改變，而馬爾科夫切換型隨機系統就能很好地描述這種現象。馬爾科夫切換型隨機系統同時包含離散和連續狀態，它可以對本身具有多模態性質的動態系統和為了提高系統的性能而采取多控制器切換的智能控制系統進行很好的描述，因而馬爾科夫切換型隨機系統理論和相應的控制方法在飛行器控制、電力系統、網絡通信、無線伺服控制等諸多領域都有研究。毛學榮和袁成桂合著了第1本關于具有Markov切換的隨機系統專著[1]?；谠撐墨I的研究成果，Markov切換的隨機系統的能控性、魯棒性、穩定性等相關理論取得了相應的進展[4-9]。對于馬爾科夫切換型隨機系統的穩定性的研究有許多的相關文獻，包含各種不同的穩定性(比如指數穩定、隨機穩定、幾乎必然指數穩定等)研究。本文主要考慮：對于馬爾科夫切換型隨機時滯系統，在給定的初始擾動下，當所含時滯足夠小時，系統仍然能夠達到穩定狀態。為了實現系統的穩定，選取一個Lyapunov-Krasovskii泛函，再根據其判據得到想要的結果。

1 基礎知識和模型建立

已知對于一個含單時滯τ的時滯系統，如果所考慮的系統對所有τ≥0都滿足該系統的穩定性判據，則稱該系統是時滯無關的。如果穩定性準則與時滯τ是無關的，也就是所得的穩定性準則中不出現τ，則稱該穩定性準則是時滯無關穩定性條件。如一個穩定性準則與時滯τ相關，即穩定性準則中出現τ，則稱該穩定條件是時滯相關穩定條件。

令(Ω,F,{Ft},P)是一個完備的概率空間，濾子{Ft}t>0滿足通常條件(即{Ft}t>0右連續，且F0包含所有概率為零的集合)。

所考慮的模型描述如下：

(1)

引理1(Schur補)[10]對于給定在Rm的矩陣Q(x)=QT(x)，R(x)=RT(x)，以及S(x)，線性矩陣不等式(LMI)

等價于R(x)>0,Q(x)-S(x)R-1(x)ST(x)>0或者Q(x)>0,R(x)-S(x)Q-1(x)ST(x)>0。

2 主要定理

本文將對系統(1)的穩定性進行分析，其詳細結果由定理1給出。

(2)

(3)

其中：

則系統(1)是漸近穩定的。

證明 為了得到系統(1)的穩定性，選取如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

其中：

V1(x(t),r(t),t)=xT(t)P(r(t))x(t)

且PT(r(t))=P(r(t))>0,QT(r(t))=Q(r(t))>0,RT=R>0。

為了敘述方便，不妨記r(t)=i,i∈S。當外部擾動B(t)=0時，可以求得V(x(t),r(t),t)的如下無窮小算子：

LV2(x(t),r(t),t)+LV3(x(t)

LV2(x(t),r(t),t)=xT(t)Qix(t)-xT(t-τ)Qix(t-τ)+

因此，根據不等式(3)，LV(x(t),r(t),t)能夠被放大為：

LV(x(t),r(t),t)≤2xT(t)PiAix(t)+

2xT(t)PiBix(t-τ)+

xT(t-τ)Qix(t-τ)+τxT(t)Rx(t)=

xT(t)Ξ1ix(t)+2xT(t)PiBix(t-τ)-

xT(t-τ)Qix(t-τ)

這里

不過這場“抵制塑料吸管”的社會運動，并沒有得到所有人的響應，甚至遭到了某些群體的反對和質疑。比如，有殘疾人權益群體表示，塑料吸管，特別是可彎曲的那種，是某些殘障人士不可或缺的生活輔助用品。

3 實驗仿真

對于系統(1)

Cr(t)x(t)dB(t)

根據定理1,借助Matlab求得可行的解為：

根據實驗的仿真結果，利用Matlab繪制隨機切換和狀態響應圖，見圖1～2。

圖1 隨機切換

圖2 狀態響應

圖1表示在r0=2的初始條件下的馬爾科夫鏈切換的一種可能狀態。圖2顯示的是系統在給定初值x0=(-1;0.5;2)和時滯τ=0.5條件下的狀態響應?？梢钥吹剑核紤]系統在相應的條件下最終可以實現漸近穩定。

4 結束語

本文基于馬爾科夫切換的時滯系統，借助依賴于參數時滯的Lyapunov-Krasovskii泛函的方法，得到了所考慮系統漸近穩定地依賴于時滯的充分條件。此方法借助于Schur補引理，進而將系統的穩定性問題轉化為線性矩陣不等式的可行性問題，最后借助軟件Matlab的LMIstoolbox找到不等式可行的解，且驗證了結果的有效性。

[1]MAOX,YUANC.StochasticdifferentialequationswithMarkovianswitching[M].London:ImperialCollegePress,2006.

[2]XUS,LAMJ.Onequivalenceandefficiencyofcertainstabilitycriteriafortime-delaysystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2007,52(1):95-101.

[3] 劉蕾,羅賓,韓存武,等.線性時滯系統的穩定性分析與控制[J].計算機仿真,2015,32(8):327-331.

[4]SHIP,ZHANGY,CHADLIM,etal.MixedH-infinityandpassivefilteringfordiscretefuzzyneuralnetworkswithstochasticjumpsandtimedelays[J].IEEEtransactionsonneuralnetworksandlearningsystems,2016,27(4):903-909.

[5]YANGJ,ZHOUW,PENGS,etal.SynchronizationofdelayedneuralnetworkswithLévynoiseandMarkovianswitchingviasampleddata[J].NonlinearDynamics,2015,81(3):1-11.

[6]ZHOUWN,TONGDB,GAOY,etal.Modeanddelay-dependentadaptiveexponentialsynchronizationinpthmomentforstochasticdelayedneuralnetworkswithMarkovianswitching[J].IEEETransactionsonNeuralNetworks&LearningSystems,2012,23(4):662-668.

[7]WANGZD,LIUYR,LIUXH.ExponentialStabilizationofaClassofStochasticSystemWithMarkovianJumpParametersandMode-DependentMixedTime-Delays[J].AutomaticControlIEEETransactionson,2010,55(7):1656-1662.

[8]CHENWH,ZHONGJC,ZHENGWX.Delay-independentstabilizationofaclassoftime-delaysystemsviaperiodicallyintermittentcontrol[J].Automatica,2016,71:89-97.

[9]CHENWH,ZHENGWX.Delay-IndependentMinimumDwellTimeforExponentialStabilityofUncertainSwitchedDelaySystems[J].AutomaticControlIEEETransactionson,2010,55(10):2406-2413.

[10]BOYDS,GHAOUILE,FERONE.LinearMatrixIneq-ualityinsystemandcontroltheory[M].Philadelphia:AIAM,1994.

(責任編輯 陳 艷)

Stability of Markov Switching Delay Systems

YE Zhi-yong1, PAN Su-ying1, ZHANG Hua1,2

(1.College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China;2.Big Data Institute, Tongren University, Tongren 554300, China)

Markov switching delay system is a kind of systems which can be well described as the system with random and time delay. The stability is the foundation of its research. By choosing a appropriate Lyapunov-Krasovskii functional, using linear matrix inequality and Schur lemma, the stability criteria dependent on the sufficient small delay for the considered system can achieve asymptotic stability. Finally, the feasible matrix solution can be found by LMIs Toolbox Matlab, and the numerical simulation was designed by means of LMIs Toolbox Matlab, which shows the effectiveness of the conclusion.

time-delay; stochastic system; Brownian motion; Markov switching

2016-11-16

國家自然科學基金資助項目(61364006)；重慶市教委科學技術項目(KJ1500915)；重慶理工大學科研項目(2013ZD22)

葉志勇(1966一 )，男，四川富順人，博士，教授，主要從事微分方程與動力系統研究，E-mail:yezy@cqut.edu.cn。

葉志勇，潘素英，張華.馬爾科夫切換型時滯系統的穩定性[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(4):141-144.

format：YE Zhi-yong, PAN Su-ying, ZHANG Hua.Stability of Markov Switching Delay Systems[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(4):141-144.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.04.023

O231.1

A

1674-8425(2017)04-0141-04