解析高中幾何教學常用的方法

江紹乾

解析幾何是用代數方法研究幾何的一門數學學科，解析幾何是高考的重點，難點和熱點尤其是解析幾何中的計算比較困難。而現在的高考特別提出“多考想，少考計算”，可見，目前高考更突出考查考生的分析、推理、轉化的數學邏輯思維能力，那么根據目前的高考形式如何在解析幾何中避免繁雜、冗長的計算，即簡化計算，也就成了處理這類問題的難點與關鍵。解析幾何題目中常用的簡化運算的技巧有：圓錐曲線的概念、條件等價轉化、形助數、設而不求等。下面以幾道高考中的解析幾何題為例來說明，希望能為高中數學教學提供一些幫助。

1.特值探路法

對定點與定值問題的求解，可先利用“特值探路”的方法（如直線的斜率為0、斜率不存在等）確定定點坐標或定值，然后只需驗證一般情況即可。解答此類問題要大膽設參，運算推理后參數必消，定點、定值自然顯現。

例1（2014·山東理21）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|。當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形。

（1）求C的方程。

（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E。

①證明直線AE過定點，并求出定點坐標。

②△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。

解析：（1）由題意知p〔，0〕。

設D（t，0）（t>0），則FD的中點為〔，0〕。

因為|FA|=|FD|，由拋物線的定義知3+=|t-|，解得t=3+p或t=-3（舍去）。由=3，解得p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x。

（2）①證明：由（1）知F（1，0）。

設A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）。因為|FA|=|FD|，則|xD-1|=x0+1，由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0）。故直線AB的斜率kAB=-。因為直線l1和直線AB平行，設直線l1的方程為y=-x+b，代入拋物線方程得y2+y-=0，由題意Δ=+=0，b=-。設E（xE，yE），則yE=-，xE=。當y20≠=-=，可得直線AE的方程為y-y0=（x-x0），由y20=4x0，整理可得y=（x-1），直線AE恒過點F（1，0）。當y20=4時，直線AE的方程為x=1，過點F（1，0）。所以直線AE過定點F（1，0）。②由①知，直線AE過焦點F（1，0），所以|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+=x0+〔+1〕=x0++2。設直線AE的方程為x=my+1，因為點A（x0，y0）在直線AE上，故m=。設B（x1，y1）。直線AB的方程為y-y0=-（x-x0），由y0≠0，得x=-y+2+x0。代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0，所以y0+y1=-，可求得y1=-，x1=+x0+4。所以點B到直線AE的距離為d===4〔+〕則△ABE的面積S=×4〔+〕（x0++2）≥16，當且僅當=x0，即x0=1時，等號成立。所以△ABE的面積的最小值為16。

點評：（1）由拋物線的定義可求C的方程；（2）利用直線方程的點斜式求出直線AE的方程，進判斷過定點；將面積的表達式找到，再探究其是否存在最小值。

2.定義法

直接利用圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義或圓錐曲線的統一定義解幾何問題的方法，稱為定義法。

例2.（2014年重慶理8）設F1、F2分別為雙曲線-=1（a>0，b>0），的左、右焦點，雙曲線上存在一點p使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|-|PF2|=ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）3

解析：由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=3b，所以（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|-|PF2|）2=9b2-4a2，即4|PF1|-|PF2|=9b2-4a2，又4|PF1|-|PF2|=9ab，因此9b2-4a2=9ab即， 則 ， 解得 = {=-舍去}，則雙曲線的離心率

點評：本題主要考查雙曲線的定義與性質，意在考查考生的基本運算能力。

3.數形結合思想

數形結合的思想包含“以形助數”和“以數助形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數形之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用方程的曲線來直觀地說明曲線的性質；二是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

4.設而不求

高考題一直注重對考生的數學基本能力的考查，特別是強調考查考生的運算求解能力.尋找簡捷、合理的運算途徑是運算求解能力的核心.而“設而不求”就是在運算求解時比較好的一種方法，可以大大地減少繁瑣的計算量.在處理直線與圓錐曲線相交問題時，一般技巧是設出交點坐標，但不求出，利用韋達定理和相關坐標轉化問題，這就是“設而不求法”

5.函數與方程思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想是指從分析問題的數量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數量關系通過適當設元建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。函數與方程思想是貫穿解析幾何的一條主線，解析幾何是通過平面直解坐標系溝通平面幾何、函數、方程的紐帶。

6.轉化與化歸思想

轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數學問題的解決，總離不開轉化與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題的轉化等。各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數學