同一樹枝上的兩片樹葉

編者按：不識廬山真面目，只緣身在此山中。蘇軾的詩同學們一定很熟悉吧。而當代學者侯外廬則說“不識廬山真面目，只緣身在此山外”。欲識廬山真面目，那到底是應“在此山中”還是應“在此山外”呢？實際上，要識廬山真面目，既要“在此山中”還要“在此山外”。這實際上就相當于物理中的分析和綜合的思維方法。物理思維方法對物理具有重要意義，大家都聽說過物理難學，但只要掌握了物理思維方法，物理就不難學了。物理中還有歸納和演繹等多種思維方法，我們邀請王書義等老師為同學們講解一系列物理思維方法，本期主要談數學和物理的關系，請同學們認真讀一讀喲，你會大有收獲的！

從初中升入高中，有些同學學習物理時感到了困難，原因之一是與初中物理相比較，高中物理定量研究的比例大大增加，運用了更多的數學知識。這就涉及數學和物理的關系問題，下面和同學們詳細談談這一問題。文中有些關于數學史和物理學史的內容，以及所選用的例題，高一同學可能還沒有學到，但這不妨礙對文章精神的理解。

一、數學的抽象性和現實性

1.什么是數學？

數學是研究事物的數量關系和空間形式的一門科學，包括算術、代數（以字母代替數以研究更普遍的數的規律）、幾何、三角、解析幾何、數學分析等。（數學的定義不唯一，20世紀初誕生的數學分支數理邏輯，既沒有數，也沒有形，不能歸入以上定義，在這里我們姑且用此定義來說明問題吧）

2.數學的抽象性和現實性。

數學是怎樣產生的呢？大家知道3片樹葉加上2片樹葉是5片樹葉，3枚雞蛋加上2枚雞蛋是5枚雞蛋，3只羊加上2只羊是5只羊……。人們撇開樹葉、雞蛋、羊……這些事物的特性（具象）如形狀、構造、顏色等，而提煉、結晶（抽象）出其中的“數”的規律（概念）：3個東西加上2個同樣的東西得到5個這樣的東西，即3+2=5，這就是數學。有了“3+2=5”，那么3朵花加上2朵花我們就知道是5朵花，3尾魚加上2尾魚我們就知道是5尾魚。這樣，從實踐中認識、總結出的“數學”，作為工具、手段又回到現實中去，指導、幫助人們進行科學研究和生產實踐。

又如：從太陽、月亮、車等具體事物的“形”中，得到了“圓”的概念，認識到圓的性質，并進一步加以運用。

總之，數學是從現實生活、生產實踐中抽象出來的。抽象是相對具象而言，它脫離了具體事物的質的方面的內容，而保留了量和形方面的規律。掌握了這些規律，就可以研究更多的具體事物，這就是它的現實性。數學的抽象性和現實性是科學的統一。

3.數學的高度抽象性和廣泛現實性是其他任何學科所不能比擬的。

數學的發展有兩個側面，或者說有兩條途徑（只是途徑不是源頭），一是歸納抽象，一是極其嚴密的演繹推理。以歐氏幾何為例，它不只是從具體到一般的歸納抽象的過程，更是一種演繹的結晶，它在為數極少的幾條公理的基礎上，推演出一整套幾何理論，構成了一個巨大的幾何學科體系。這種推演的過程有時使它暫時脫離了它賴以產生和發展的現實，使人們看不到現實，以至于數學研究中的一些新的發現、新的成就使數學家也感到迷茫，感到虛無縹緲。這時數學還有現實性嗎？

讓我們回顧一下數的發展簡史。

2.數學為物理提供計算工具，把知識和技術的精確化提高到了驚人的程度。如遙控發往幾千千米處的導彈，準確操縱宇宙飛船與空間站空間對接，成功預報星體碰撞等。在微觀領域內，用數學計算出的理論值與實際的測量值可以在10位有效數字內完全相同。這不能不令人驚嘆數學的神威。

3.科學預言。

運用數學潛在的巨大的邏輯力量，經過嚴密的推理運算，能從基本原理演繹出許多重要的結論或作出驚人的預言。

麥克斯韋從他的一組電磁場方程，以自己獨到的數學證明，預言了電磁波的存在并預言了它的傳播速度，后來被赫茲用實驗證實；玻爾根據當時精確測出的氫光譜四條譜線的波長的數值，神奇地找到了氫原子從一個定態躍遷到另一個定態時產生輻射的頻率公式，成功地解釋了氫光譜的規律，并據此預言了當時尚未發現的譜線系。這些成就，無不顯示出數學強大的邏輯力量。

4.科學史上許多偉大的物理學家往往也是著名的數學家，如阿基米德、開普勒、麥克斯韋、牛頓等。

阿基米德用嚴密的邏輯方法得出了杠桿原理和浮力定律（不只是實驗）；開普勒在第谷幾十年積累的、數量驚人的、精確的天文觀測記錄的基礎上運用數學的理性思維得出了行星運動三定律；麥克斯韋用數學奠定了經典電磁理論基礎；牛頓用微積分建立了經典力學系統……

綜上所述，行星運動定律，畢其功者是開普勒，而不是幾十年觀測積累浩繁數據的第谷；經典電磁理論創立者是麥克斯韋，而不是十年磨一劍，發現電磁感應現象的法拉第……這幾項在人類科學史上有著劃時代意義的成就，主要源于開普勒、麥克斯韋過人的聰明的數學頭腦和他們在數學領域的影響深遠的造詣。

（未完待續）

（責任編輯 趙平）