碰撞過程動能損耗的定量分析

趙元晟,高 淵,樂永康,原 媛

(復旦大學 物理學系,上海 200433)

碰撞過程動能損耗的定量分析

趙元晟,高 淵,樂永康,原 媛

(復旦大學 物理學系,上海 200433)

使用高速攝像機拍攝碰撞打靶實驗中兩球的運動過程，使用Tracker視頻分析軟件對撞球和被撞球的運動軌跡進行分析，得到了整個碰撞過程的具體數據及運動圖像，進而定量分析了各個階段的能量損失.

碰撞打靶；視頻分析；能量損失；Tracker；Origin

碰撞分為彈性碰撞和非彈性碰撞，兩者區分的依據是：是否存在動能損耗. 實驗上，動能損耗評定的一種辦法是利用頻閃照相分析照片中的物體運動軌跡得到物體在各處的即時速度[1]，但此方法的實驗過程比較繁雜，在實驗教學中使用越來越少了；另一種辦法是通過類似碰撞打靶[2]這樣的實驗設計，從被碰物體運動軌跡的落點位置等信息來倒推碰撞后物體的運動速度，顯然，這種間接法很難全面計入被碰物體在后續運動中的各種阻力、入射球在碰撞后的速度等對結果的影響.

近年來，Tracker等視頻分析軟件在實驗教學中得到了越來越多的應用[3-6]. 利用Tracker可以將運動視頻分解一幀一幀的圖片，根據物體在每一幀畫面中的位置和幀與幀之間時間間隔來確定物體運動的速度，進而為驗證能量守恒或者動力學過程的動能損耗提供可能. ，學生可以通過智能手機在任何時間、任何地點拍攝實驗視頻，利用Tracker軟件探究物體的運動過程等內容，有利于學生更扎實地掌握運動學等相關的內容. 使用高速攝像機(250FPS)錄制碰撞打靶實驗的視頻，借助Tracker分別對撞球和被撞球的運動軌跡進行數據采集[7-10]，利用Origin軟件對測量結果進行詳盡地數據分析，得到了實驗中各個階段能量損失的量化分布.

1 實驗原理

實驗裝置如圖1所示，撞擊球m1從初始高度h被釋放，當其沿弧線運動至最低點時與初始高度為y的被撞球m2發生正碰，此后被撞球做平拋運動，水平位移為x. 根據機械能守恒和動量守恒定律，2球發生彈性碰撞，有

(1)

實驗中，要求學生可以根據前一次實驗被撞球實際落點的水平位移x′計算實驗過程中的“能量損失”ΔE:

(2)

并以此修正撞擊球的初始高度以補償體系所損失的能量，直至被撞球落入靶紙上10環所在位置(水平位移x處)，實驗結束.

圖1 實驗裝置示意

2 利用Tracker軟件采集小球運動軌跡

實驗使用250FPS高速攝像機拍攝從撞擊球釋放到被撞球平拋運動擊中靶臺的整個過程. 拍攝過程注意了攝像機正對裝置，且距離不過近(保證拍攝到的影像相對實際物體的變形是微小的). 攝像機的拍攝速率較高，能滿足整個過程有足夠多的數據，以提高精度.

實驗用鐵球作為撞擊球，質量為28.1 g；相同直徑的鋁球作為被撞球，質量10.0 g. 實驗所用攝像機250幀/s，即畫面間時間間隔為4.00 ms. 視頻拍攝完成后，導入Tracker 4.92，以實驗儀器自帶豎直標尺進行標定，使得視頻圖像中的長度與實際的尺寸相對應. 使用軟件的自動標記功能可自動得到2個小球的x(t)和y(t)(位移-時間)關系，再利用Origin對原始數據作進一步分析.

2.1 運動軌跡分析

r=(0.051 92+0.000 15)m,

x0=(0.002 12+0.000 08)m,

y0=(0.228 1+0.000 4)m.

圖2 運動軌跡

由擬合結果可以看出撞擊球運動軌跡確為圓弧的一部分，圖2給出了撞擊球在[-50°,30°]范圍內的運動軌跡，從擬合結果可以看出拍攝過程中的畸變可視為小量.

將Tracker所得一次碰撞過程中撞擊球和被撞球的x(t)和y(t)數據導入Origin，可以繪得運動過程中兩球的運動軌跡(如圖3所示).

圖3 兩球運動軌跡

對實驗視頻進行逐幀分析，視頻分析窗口如圖4(a)所示，可以得到兩球開始撞擊的時間為3.900 s，撞擊結束的時間為3.916 s.

(a)碰撞開始時

(b)碰撞結束時圖4 視頻圖像

將被撞球從碰撞結束時3.916 s至擊中靶臺時間內的x(t)和y(t)數據導入Origin，并分別進行擬合. 豎直方向上，小球作自由落體運動；水平方向上，小球作勻速直線運動. 考慮到空氣阻力的影響，認為豎直方向上位移y與時間t的關系應是P次曲線，選用y=y0+A(t-t0)P作為擬合方程，擬合結果為

y0=(0.000 89+0.000 10) m,

t0=(3.914 01+0.000 12) m,

A=4.78,P=2.

由擬合結果可以看出，被撞球豎直方向上的運動是準確的二次曲線關系，擬合得到的碰撞結束時間(3.914 s)與觀看視頻所得時間(3.916 s)一致(視頻分析的最小時間間隔是0.004 s)，且可以得到重力加速度g=2A=9.56 m/s2，相對偏差2.4%(取上海地區重力加速度9.794 m/s2). 其水平方向上的運動可以使用線性方程x=x0+vxt進行擬合. 擬合結果為

x0=-5.679 m,

vx=(1.454 2+0.001 5) m/s.

2.2 能量分析

將被撞擊球球心初始位置的水平面定義為零重力勢能面. 運動小球的總能量為

(3)

其中，m為球的質量，g為重力加速度，Δh為距離零勢能面的高度差，vx和vy分別為小球在水平方向和垂直方向上的速度.

Origin對碰撞過程中撞擊球和被撞球的x(t)和y(t)數據作差分處理，即可得2球各自的vx(t)以及vy(t)，代入式(3)即可得到兩球的E-t關系，計算結果如圖5所示.

(a)撞擊球

(b)被撞球圖5 撞擊球和被撞球的能量與時間關系圖

從能量-時間關系圖中可以看出：

1) 撞擊球從釋放到碰撞前損耗的能量為

ΔE1=(0.018 77-0.017 6) J≈1.2×10-3J.

2) 兩球碰撞時(3.904～3.916 s)，損耗的能量為：

ΔE2=(0.017 55-0.005 771-0.010 43) J≈

1.4×10-3J.

3) 碰撞結束后，被撞球的能量損失很小.

4) 總的能量損失為：

ΔE=ΔE1+ΔE2=2.6×10-3J.

由以上分析可得碰撞過程的能量分布如圖6所示. 整個過程中損失的能量占初始總能量的14%，其中碰撞前的能量損失為6.5%，碰撞時的能量損失7.2%.

圖6 整個碰撞過程的能量分布圖

3 結束語

視頻分析軟件Tracker可以對運動過程中的物體進行精確定位和跟蹤，給出物體的運動軌跡. 利用數據處理軟件Origin對物體的位移-時間數據進行差分處理，可以輕松得到運動過程中的能量分布. 將這2種軟件應用到碰撞實驗中，可以直觀地得到各運動小球的軌跡、動量、能量等物理量隨時間的變化關系，為碰撞過程的能量損失分析提供了大量的數據支持，能更好地幫助實驗者理解碰撞過程所涉及的力學規律和定理定律.

[1] 張景泉. 非對心碰撞[J]. 遼寧師院學報(自然科學版),1981(3):77-81.

[2] 沈元華，陸申龍. 基礎物理實驗[M]. 北京：高等教育出版社，2003：29.

[3] Wee Loo-Kang, Tan Kim-Kia, Leong Tze-Kwang, et al. Using Tracker to understand ‘toss up’ and free fall motion: a case study [J]. Physics Education, 2015,50(4):436-442.

[4] 吳志山. 讓真實定量、定格——Tracker軟件在物理教學中的應用[J]. 物理教師，2012，33(7):53-54.

[5] 李玉峰,熊建文,楊友源． 視頻分析軟件在物理實驗中的應用[J]． 實驗室研究與探索，2009，28(4):62-64.

[6] 王仁泉. 巧用數碼相機使運動定格[J]． 物理實驗，2008,28(9):21-22.

[7] 陳澤君,程敏熙. 基于 tracker 和 python 的物理建模方法——以研究拋體運動的阻力變化為例[J]. 大學物理實驗，2015，28(3):84-87.

[8] 賈昱，程敏熙，安盟，等. 基于視頻分析軟件 Tracker 測量剛體轉動慣量[J]. 物理實驗，2014，34(5):33-35.

[9] 吳肖,朱道云,胡峰,等. 利用視頻分析軟件 Tracker 研究皮球的彈跳[J]. 物理實驗，2013，33(7):40-41.

[10] 丁曉彬，董晨鐘. 基于2D開源視頻分析和建模軟件Tracker 研究拋體運動實驗[J]． 大學物理，2012,31(7):34-36.

[責任編輯：郭 偉]

Quantitative analysis of energy loss in a collision process

ZHAO Yuan-sheng, GAO Yuan, LE Yong-kang, YUAN Yuan

(Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433， China)

High speed video recorder was used to trace the motion of the two balls in the experiment of target hitting through collision. With the help of video analysis software Tracker, the position of the balls in each moment was obtained. With the further obtained speed of the balls before and after the collision, the energy loss of the collision process could be analyzed quantitatively.

target hitting through collision; video analysis; energy loss; Tracker; Origin

2016-05-30

趙元晟(1996-),男，浙江杭州人，復旦大學物理學系2014級本科生.

原 媛(1982-),女，山西長治人，復旦大學物理學系工程師，碩士，從事理論物理數值計算及物理實驗教學.

O313.4

A

1005-4642(2017)04-0044-04

“第9屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文