“特殊的平行四邊形”易錯點剖析

徐永軍

“特殊的平行四邊形”易錯點剖析

徐永軍

特殊的平行四邊形作為平行四邊形的一部分，在歷年中考中也占有非常重要的地位，但是本塊內容概念多，性質定理和判定方法多樣化，同學們容易混淆犯錯，所以下面就一些常見的錯誤舉例并加以分析.

一、不能正確理解特殊的平行四邊形的概念和識別方法

例1給出下列結論：

①有一組對邊平行，且兩個角是直角的四邊形是矩形；②兩條對角線相等的四邊形是矩形；③兩組對邊分別相等的四邊形是矩形；④有一個角是60°的平行四邊形是菱形；⑤有兩邊相等的平行四邊形是菱形；⑥有一組鄰邊相等的矩形是正方形；⑦有三邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形；⑧對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.其中正確的有（）.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【錯解】B或C.

【正解】A.

【錯解辨析】解決本題的關鍵是正確理解各種特殊的平行四邊形的概念和識別方法.①是錯誤的.如圖1-1所示，∠A=∠B=90°，AD∥BC，由圖形可知完全符合條件，但它不是矩形.②是錯誤的.對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，因此，只有當對角線相等且互相平分時，這個四邊形才是矩形.③是錯誤的.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，而矩形是特殊的平行四邊形，即有一個角是直角的平行四邊形.④是錯誤的.有一個角是60°的平行四邊形不能保證鄰邊相等.⑤是錯誤的.只有鄰邊相等的平行四邊形才是菱形.⑥是正確的.⑦是錯誤的.如圖1-2所示，AB=AD=BC，∠B=90°，由圖形可知四邊形ABCD并不是正方形.⑧是正確的.

圖1-1

圖1-2

二、在證明過程中忽視條件

例2如圖2，在平行四邊形ABCD中，AC和BD交于點O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，OE=OF.為什么？

圖2

【錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA=OC.∵AD∥BC，∴∠3=∠4.

∵∠1=∠2，∴△AOE≌△COF（ASA）.

∴OE=OF.

【正解】證法1：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA=OC.

∵AD∥BC，∴∠3=∠4.

∵OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，

∴∠AEO=∠CFO=90°.

∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.

證法2：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∵OE⊥AD，∴OE⊥BC.

又OF⊥BC，∴直線OE與OF重合，即E、O、F三點共線，∴∠1=∠2.

又∵OA=OC，∠AEO=∠CFO=90°，

∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.

【錯解辨析】本題容易出現的錯誤是直接使用∠1=∠2證明△AOE≌△COF，這樣就默認了E、O、F三點共線，而已知條件中并沒有這個結論，因此E、O、F三點共線在證明過程中必須加以說明，否則就是錯誤的.

三、混淆特殊平行四邊形的對稱性

例3下列所述圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）.

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.正方形

【錯解】A、C或D.

【正解】B.

【錯解辨析】錯解的原因是混淆特殊平行四邊形的對稱性.平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心是對角線交點，因為矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們都是中心對稱圖形.很多同學誤以為平行四邊形也是軸對稱圖形，對角線所在直線是其對稱軸，其實只要親自操作一次就不難發現平行四邊形并不是軸對稱圖形，而矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，其中矩形、菱形有兩條對稱軸，正方形有四條對稱軸.

四、不能準確識別中點四邊形形狀

例4順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點所得四邊形一定是（）.

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.正方形

【錯解】B、C或D.

【正解】A.

【錯解辨析】許多同學搞不清楚中點四邊形如何判定，其實識別方法并不難，總結規律如下：①順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；②順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；③順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；④順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形；⑤順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形；⑥順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形.由以上規律，我們還可以得出一般性結論：①當原四邊形對角線相等時，順次連接四邊中點所得四邊形是菱形；②當原四邊形對角線互相垂直時，順次連接四邊中點所得四邊形是矩形；③當原四邊形對角線既相等又垂直，則順次連接四邊中點所得四邊形既是菱形又是矩形，也就是正方形.

五、問題考慮不夠全面

例5長為30，寬為a的矩形紙片（15＜a＜30），如圖3-1那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖3-2那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去.若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止.當n=3時，a的值為______.

圖3-2

圖3-1

【錯解】18.

【正解】18或22.5.

【錯解辨析】根據操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬.所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬.當15＜a＜30時，矩形的長為30，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a.由30-a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為30-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a-（30-a）=2a-30.由于（30-a）-（2a-30）= 60-3a，所以（30-a）與（2a-30）的大小關系不能確定，需要分情況進行討論.又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①30-a＞2a-30；②30-a＜2a-30.對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值.

江蘇省寶應縣實驗初級中學）