中考中的等腰三角形問題

余旭紅

中考中的等腰三角形問題

余旭紅

近年來，有關等腰三角形的試題經常出現在中考中，并且形式多樣，內容新穎.其重要考點是等腰三角形的性質與判定，下面就重要考點舉幾個例子加以說明，與同學們交流分享.

一、畫圖探究等腰三角形的個數

例1（2016·武漢）平面直角坐標系中，已知A（2，2）、B（4，0）.若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（）.

A.5B.6 C.7D.8

【解析】①分別以A，B為圓心，以AB的長為半徑作圓；

圖1

如圖1，一共有5個C點，注意，與B重合及與AB共線的點要排除.故選A.

【點評】此題考查了等腰三角形的判定和坐標與圖形性質，是中考一類比較常見的題型.本題通過畫等腰三角形引領同學們動手，動腦，滲透分類討論思想，能夠培養同學們的發散性思維能力.

二、裁剪思考等腰三角形的個數

例2（2015·通遼）如圖2，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為.

圖2

【解析】分三種情況計算：

（1）當AE=AF=4時，如圖3：

圖3

（2）當AE=EF=4時，如圖4：

圖4

則BE=5-4=1，

（3）當AE=EF=4時，如圖5：

由圖1可知，酶解pH在4.0～5.5時，隨著提取液pH的升高，龍牙楤木皂苷得率不斷提高，在酶解pH 5.5時達到最大值，為3.89%。當酶解pH超過5.5，皂苷提取得率急劇下降，在酶解pH 6.5時皂苷得率下降22.37%，這可能是因為酶解pH不適宜既破壞酶的構想，也影響底物、輔酶及酶活性部位相關基因的解離程度，從而影響酶分子對底物分子的結合和催化，因此只有特定的pH值條件下，解離狀態最適宜酶、底物和輔酶的相互結合，從而使酶反應速度達到最大值[17]。

圖5

則DE=7-4=3，

故答案為：8cm2或215cm2或27cm2.

【點評】本題主要通過裁剪讓同學們體會等腰三角形的腰長的不確定性，同學們要進行分類討論.本題還考查了矩形的角是直角的性質和勾股定理的運用，有一定的難度.

三、推理計算等腰三角形的個數

例3（2015·河北）如圖6，∠BOC=9°，點A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3；…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=.

圖6

【解析】根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質依次可得∠A1AB的度數，∠A2A1C的度數，∠A3A2B的度數，∠A4A3C的度數，……，依此得到規律，再根據三角形外角小于90°即可求解.

由題意可知：AO=A1A，

解得n＜10.故答案為：9.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等；三角形外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.考查方式靈活，需要同學們有一定的分析能力和解題遷移能力，這是近幾年中考的方向.

四、分類討論等腰三角形的周長

例4（2016·荊門）已知3是關于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為（）.

A.7B.10C.11D.10或11

【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m= 0，解得m=6，則原方程為x2-7x+12=0，解得x1= 3，x2=4.

因為這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長：

①當△ABC的腰為4，底邊為3時，則△ABC的周長為4+4+3=11；

②當△ABC的腰為3，底邊為4時，則△ABC的周長為3+3+4=10.

綜上所述，該△ABC的周長為10或11.故選：D.

【點評】此題考查等腰三角形的性質，關鍵是根據三角形的三邊關系通過分類討論先判斷出三角形的兩條腰的長度，再根據三角形的周長的計算方法，列式解答即可.

五、推理證明等腰三角形的存在

例5（2015·宜昌）如圖7，一塊板料ABCD，AD∥BC，現進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E.

（1）求證：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度數.

圖7

【解析】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC.由BE是∠ABC的角平分線，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，即AB=AE.

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°.由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定，是比較常見的幾何問題.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區錢清鎮中學）