一道課本習題的追問探究

王憲成

一道課本習題的追問探究

王憲成

中考試題往往都能在課本例習題中找到“母題”，因為課本例習題具有典型性、示范性、基礎性、探究性、可生長性等特點，是很多學科專家經過反復推敲、思考后的寶貴資源.重視課本例習題，善于追問、變式、改編是對課本例習題價值的提升，也是對課本例習題功能的再思考.

下面從一道課本習題出發加以追問、變式探究，以鞏固同學們對三角形、等腰三角形、直角三角形、四點共圓等核心知識及方法的掌握.

【習題1呈現】蘇科版《數學》八年級上冊第74頁習題10：

已知：如圖1，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點.

求證：MN⊥BD.

圖1

【習題2呈現】蘇科版《數學》九年級上冊第42頁習題4：

如圖2，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點.點B、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上？為什么？

圖2

【習題解析】

這兩道課本習題都直接應用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一知識解決問題.習題1，點M是Rt△ABC和Rt△ADC公共斜邊的中點，連接BM、DM，則BM=DM=AC，于是△BMD是等腰三角形，點N是底邊BC的中點，顯然由“等腰三角形三線合一”性質得知MN⊥BD成立.習題2，連接EM、DM，同理可得：EM=DM=BM=CM，于是，點B、C、D、E到點M的距離都相等，即點B、C、D、E是在以點M為圓心的同一個圓上.

基于八年級數學“等腰三角形”“勾股定理”核心知識，九年級“圓”相關知識、相似三角形、三角形內心等知識的學習鞏固，及希望引導同學們站在“圓”的高度來回顧老問題，現將這兩個問題進行整合，對問題不斷追問思考，以期同學們有新的收獲.

【追問1】如圖3，BD、CE都是銳角△ABC的高，點M是BC的中點，連接EM、DM.

若∠A=60°，試判斷△MDE的形狀，并說明理由.

【解析】顯然，在課本習題的基礎上還是很快得到△MDE中EM=DM=BM=CM，

由∠A=60°可得∠ABC+∠ACB=120°，

而因為∠ABC=∠BEM，∠ACB=∠MDC，

則有∠ABC+∠ACB+∠BEM+∠MDC=240°，

所以，∠BME+∠CMD=360°-240°=120°，則∠EMD=60°，而又因為ME=MD，所以△MDE是等邊三角形.

圖3

【追問2】如圖3，BD、CE都是銳角△ABC的高，點M是BC的中點，連接EM、DM.若有BC2=2DE2，求∠A的度數.【解析】因為EM=DM=BC，則2EM=2DM= BC，因為BC2=2DE2，（2EM）2=2DE2，化簡整理得：2EM2=DE2，即有EM2+DM2=DE2成立.根據勾股定理逆定理得知：∠EMD=90°.由追問1反過來推得∠A=45°.

【追問3】基于以上的探究，如圖3，若設∠A=x°，∠DME=y°，直接寫出x與y的數量關系式.

【解析】∠ABC+∠ACB=180°-x°，∠ABC+∠ACB+∠BEM+∠MDC=360°-2x°

所以，∠BME+∠CMD=360°-（360°-2x°）= 2x°，則∠EMD=180°-2x°，即y=180-2x.

【追問4】結合前文習題2，站在九年級數學“圓”的知識高度，重新認識上面問題中∠A與∠DME的數量關系.

圖4

【解析】點B、C、D、E是在以點M為圓心的同一個圓上.

由圓周角定理得知：∠EMD=2∠ABD，而∠ABD=90°-∠A.

于是，∠EMD=2（90°-∠A）=180°-2∠A.

【追問5】如圖5，四邊形ABCD中，BD⊥AD，AC⊥BC，且邊AB、CD滿足數量關系AB2= 2CD2.求∠DAB+∠ABC的值.

圖5

【解析】其實，有了前面系列追問的鋪墊，不難發現，取AB中點為M，連接DM、CM，則有DM=CM成立.

類似追問2，由條件AB2=2DC2可得：∠CMD=90°.因為點A、B、C、D是在以點M為圓心的同一個圓上.由圓周角定理得知：∠CMD= 2∠DAC，所以，∠DAC=45°，延長AD、BC交于點G，則△GAC是等腰直角三角形，于是∠G=45°，故∠DAB+∠ABC=180°-45°=135°.

【追問6】如圖6，△ABC的高BD、CE相交于點H，且∠ABC=45°.

圖6

（1）證明：BH=AC；

（2）點F、G分別是BH、AC的中點，連接EF、GE、FG，試判斷△EFG的形狀，并說明理由.

【解析】（1）要證明線段相等，可以考慮證明三角形全等，這是常用的方法，該題只要證明△BEH≌△CEA便能得到BH=AC成立.

（2）由第（1）小問的過渡，不難發現在Rt△BEH和Rt△CEA中，點F、G分別是BH、AC的中點，于是有EF=BH=EG=AC成立，即EF=EG.

易證：∠GEC=∠GCE，∠FEH=∠BHE，

又因為∠BHE+∠ACE=90°，

所以∠FEH+∠GEC=90°，即∠FEG=90°，所以△EFG是等腰直角三角形.

【追問7】如圖7，△ABC的高BD、CE相交于點F，連接AF并延長交BC于點M，連接ED、EM、DM，則下列說法：①A、E、F、D四點在同一個圓上；②AM⊥BC；③EC平分∠DEM；④點F是△DEM的內心.其中正確的是______（.填序號）

圖7

【解析】這一組問題都是基于前面基本問題自然生長的追問.如圖8，對于命題①的證法可類比習題2的證明思路，命題成立；②AM⊥BC成立，在點B、C、D、E四點共圓，點A、E、F、

圖8

【追問8】如圖9，△ABC的高BD、CE相交于點F，連接ED.若AE=3，AD=4，AC=6，則

圖9

【解析】事實上，習題2的基本圖形還蘊含著相似三角形的經典圖形——斜A型、8字型，本題可先證明△ABD∽△ACE，得，而∠DAE=∠BAC，由三角形的相似條件可知△ADE∽△ABC，故有AC=6，代入可求

由△ADE∽△ABC可知∠ADE=∠ABC，而∠ADE+∠BDE=90°，∠ABC+∠BCE=90°，所以可得∠BDE=∠BCE，∠DFE=∠BFC，進一步可得△DFE∽△CFB，所以在Rt△BEF中，BE=8-3=5，設EF=x，則BF= 2x，由勾股定理可求

當然，上述是通過證明三角形相似得到對應的角相等，我們還可以通過四點共圓得圓周角相等，更快地得到三角形相似；還有圖中的∠A實際上是特殊角，同學們發現了嗎？

（作者單位：蘇州工業園區青劍湖學校）