高校數學分析課程中融入數學文化的教學研究

張美娟+梁超

摘要：在高校數學分析課程的教學中，融入數學文化，使學生可以更好地掌握數學分析的知識體系和思維方法。文章首先敘述了數學文化的內涵，之后論述在教學中融入數學文化的意義，最后以教學案例的方式，從四個不同的角度闡述在數學分析課程中融入數學文化的方法。

關鍵詞：教學改革；數學分析；數學文化；教學案例

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）14-0063-03

高校數學分析課程，作為數學、統計學、金融學、保險精算學等專業一門重要的專業基礎課，是學生后續課程的基礎，對于培養學生良好的專業素養非常重要。進行高校數學分析課程的教學改革，在教學中融入數學文化，既可使學生體會到數學的獨特文化內涵，又可激發學生的學習興趣，更好地掌握數學分析的知識體系和思維方法，更為高效地完成學習。

一、數學文化的內涵

所謂數學文化，狹義的是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言以及它們的形成和發展。廣義指除這些之外，還包含數學史、數學家、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系[1]。

數學文化是一個開放、多元、動態的系統。研究學者視角的多元化，導致數學文化的界定并不一致。Wilder R.L.[2]指出數學家擁有的文化內含一個共享的帶有數學特征的部分；Bishop A.J.[3]認為數學文化是文化視角下的數學，既包含Wilder精英主義的數學亞文化，即數學知識背后的隱性成分或觀念性成分，也包含人類文化中的數學成分。張奠宙[4]認為數學知識不是數學文化的內容，背后隱性存在的觀念才是；王憲昌[5]認為數學文化是數學現象背后的文化傳統流變的文化分析；孫宏安[6]認為數學文化是人類適應數學活動的環境與創造數學活動自身及其成果的綜合。

二、在數學分析課程中，融入數學文化的意義

1.數學分析理論體系完整，邏輯思維嚴密，課程具有無窮魅力。在這些有趣的數學知識和數學現象之外，數學分析還蘊含著數學思維，蘊含著“有限與無限”“變中有不變”等數學哲學，有著微積分發展中豐富的歷史故事，有著數學先驅勇攀科學高峰的精神。數學分析課程實質上也是在傳播一種文化，一種有趣的數學文化。在教學過程中應當有效地體現其文化價值。

2.著名數學教育家張奠宙先生在《數學文化的一些新視角》[7]中指出：“數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中使得學生在學習數學的過程真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位和世俗的人情味?！痹趥鹘y的數學分析教學中，只是局限于其知識成分，抽取了理性的定理、公式、結構等骨架，而舍去了其中數學文化、實踐創新等豐富血肉。這種“繭氏”的課程文化丟失了數學的思想、精神，也丟失了課程的許多精華和其中的樂趣。數學分析課程不但具有科學的價值，而且還具有文化的價值。數學文化有其獨立思考、勇于批判的理性精神；有其濃厚的文化積淀，以及踏實細微的人文精神；有其在生產生活中的實際應用性；有其相對穩定性和延續性，有其世界性等[8]。在教學過程中，從教學內容、教學方式、評價方式等諸方面體現數學的文化價值，將數學文化滲透到數學分析教學的全過程之中。

3.數學分析課程理論性強，其邏輯推理的嚴密嚴謹性，需要教師和學生投入很多的精力。而且，作為大學入學的第一門數學專業課，學生需從初等數學向高等數學轉變，學習和適應不同的思考和解決問題的角度與方法，這也進一步增加了教學和學習的難度。教學中在嚴謹推導的同時，融入數學文化，一方面讓學生了解數學文化，另一方面，增強教學的趣味性，提高學生學習的興趣，使學生可以更好地汲取知識。

三、在數學分析課程中融入數學文化的方法

數學文化的滲透。學生理解與感悟數學是一種自然滲透、逐步深化的過程。不可將知識孤立、零散地分割開，最終只讓學生學到了一個個孤立的知識點，卻無法學到縱橫聯系的知識結構與網絡，這也無法使學生最終獲得數學理性觀的升華直至感悟。

在將數學文化融入數學分析教學的過程中，需要教師與學生一起感受數學文化的內涵、領會數學文化的真諦。更需要教師在深刻而豐富的數學文化觀的引導下，引發課堂教學行為的改變，從而提高教師的教學質量和學生的學習水平。

1.以數學文化作為課程新知識的引入點。以有趣的數學現象、數學史料等作為數學分析課程新知識引入時的切入點。

教學案例：以“無窮悖論”這一“奇怪”的數學現象，作為數項級數收斂和發散，以及條件收斂時數項級數的加法交換律和結合律不成立這兩個知識點的引子。

捷克哲學家Bolzano在《無窮悖論》（1781-1848）中提到一個例子：1和-1交替出現的級數，即1-1+1-1+1-1+…。為了計算這個級數，通過三種不同的方法會得出三種不同的答案。方法一：一開始就進行相鄰兩數的歸納計算，則有1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0，答案是0。方法二：從第二個數開始再進行相鄰兩數的歸納計算，則有1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1，答案是1。方法三：Grundy用代數方法，設級數和為x，則有x=1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-…）=1-x，解方程知x=1/2，因此答案是1/2。

利用這一悖論首先激發學生的好奇心和興趣，之后自然引出數項級數的和，以及數項級數的收斂和發散?？挛靼l現，無窮級數的求和運算也可能沒有答案。若以方法三假定它存在，其結果必會引起混亂。從而引出數項級數的斂散性。

另外，有限個數相加時，不管相加的順序如何變化，答案相同。但柯西發現這一加法法則在無窮個數的加法運算中已經不成立了，這便是方法一和方法二悖論產生的原因之一。從而引出無窮級數的加法交換律和結合律不一定成立這一知識點，進而引出數項級數條件收斂的知識。

2.以“項目”為導向，加強“問題解決”的教學設計。數學文化中一個重要的方面，就是數學在生產生活中的應用。為了增強學生學習的自主性，采用以項目為導向，加入讓學生研究實際案例、解決問題這一教學環節，進行數學分析知識的講授。所謂項目，在夏德斯的教學方法體系下是指：為了解決技術與實踐中的生活問題而設計的問題解決過程。在數學分析的教學中，融入數學應用，這樣既可以體現數學分析課程的應用價值，讓學生理解數學的產生背景與發展，體會生活中的數學，揭開數學的神秘面紗，又可在應用中進一步滲透數學分析的思想方法，幫助學生加深理解。

教學案例：在數學分析“多元函數極值問題”的教學中，提出有實際應用背景方面的例題，比如銷售收入和廣告費用支出之間的關系。學生通過數學建模的方法，發現這一問題所對應的模型為一元線性回歸模型參數的最小二乘估計問題，也就是數學分析中的多元函數極值問題。之后，我們再開始進行課程相關知識點的教學。

3.以數學史為載體，體現數學分析的人文性。我國老一輩數學家余介石等人主張“歷史之于數學，不僅在名師大家之遺言軼事，阻生后學高山仰止之思，收聞風興起之效，更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調劑，不至相背，反可想成，誠為教師最宜留意體會之一事也。”[9]將數學史融入數學分析的教學中，激發學生學習興趣，以及對數學史知識的渴求，加深對數學相關知識的理解。另外從數學史的整個發展趨勢中，學生可以初步了解微積分知識的基本框架。

而且，在教學中，談談數學界的名人軼事，使其成為課堂上嚴謹的證明推導之余的興奮劑。通過在知識點處閃現數學家為了追求真理，堅持不懈的精神，幫助學生正確看待學習過程中遇到的困難，執著追求。

教學案例：三次數學危機。在數學史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決，當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。

在教學中，引入數學發展的三次關于基礎理論的危機。以華東師范大學版《數學分析》教材為例，在第一章“實數集與函數”的教學中，引入第一次數學危機的故事：有理數。危機的產生——希帕索斯悖論（邊長為1的正方形，其對角線長度為多少呢）；危機的緩解——兩百年后，歐多克索斯建立的比例論，巧妙地避開無理數這一邏輯上的危機；危機的解決——直到19世紀下半葉，實數理論的建立，無理數的本質被徹底搞清。通過了解第一次危機，既可提高學生的學習興趣，鼓勵學生開展創新，又使學生對無理數有了更深刻的理解，增加了對實數性質學習的興趣。

在“無窮小量”的教學中，引入第二次數學危機的故事：無窮小是零嗎。危機的產生——貝克萊悖論（無窮小量在牛頓的理論中一會兒是零，一會兒又不是零）；危機的緩解——實數理論基礎上，建立起極限論的基本定理；危機的解決——在實數論的問題，導致了集合論的誕生。通過第二次數學危機，學生可以加深理解：無窮小是一類趨向于零的常數，而常數零數列是一類特殊的無窮小量。

之后，可繼續給學生講第三次數學危機的故事：集合論中自相矛盾的理發師問題。危機產生——羅素悖論（理發師只給所有不給自己理發的人理發，不給那些給自己理發的人理發，那么他要不要給自己理發呢）；危機的緩解——哥德爾不完全定理的證明結束了關于數學基礎的爭論，宣告了把數學徹底形式化的愿望是不可能實現的。

4.在教學中體現數學分析之美。大數學家克萊因說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈獨特的創作。音樂能激發或撫慰人的情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切?！痹诮虒W中，利用圖案、錄像，讓學生以數學欣賞為切入點，發現數學之美，為數學的魅力所吸引，增強學習動力。

教學案例：在定積分、重積分的應用中，輔以圖形加以講解，在教學中讓學生感受數與形的調和，感受幾何學的優雅。在傅里葉級數的教學中，如果按傳統方式教學，傅里葉公式及其推導證明的嚴肅復雜性，會使學生望而生畏。我們配以生動的圖像來講解，既使學生易于理解，又可增加學生學習的興趣和樂趣。

總之，通過將數學文化融入數學分析的教學之中，讓學生可以更好地掌握數學分析的知識體系和思維方法，了解數學文化，激發學習興趣，使其更為高效地學習。

參考文獻：

[1]顧沛.“數學文化”課與素質教育[R].寧波：2007教育部數學教育高級研修班報告，2007.

[2]Wilder R.L. The cultural basis of mathematics[A].Thomas Tymoczko，New Directions in the Philosophy of Mathematics[C]（2ed）.Princeton：Princeton University Press，1998：185-200.

[3]Bishop A.J. Mathematical Enculturation：A cultural perspective on Mathematics Education[M].Dordrent：Kluwer Academic Publishers，1991：，18.

[4]張奠宙.數學文化[R].寧波：2007教育部數學教育高級研究班報告，2007.

[5]王憲昌.關于數學文化研究的幾點思考——兼評《高中數學課程標準》中數學文化內容的設置[J].數學教育學報，2007，16（1）：44-48.

[6]孫宏安.關于數學文化的思考[J].大連教育學院學報，2007，23（2）：64-70.

[7]張奠宙，梁紹君，金家梁.數學文化的一些新視角[J].數學教育學報，2003，12（1）：37-40.

[8]羅曉芳.數學文化視角下課堂教學文化氛圍的構建[J].職教論壇，2009，10：15-17.

[9]金玲玉，房少梅，劉文琰.數學分析教學改革的幾點認識和體會[J].大學數學，2012，28（4）：25-30.

Abstract：By incorporating mathematics culture into the course of mathematical analysis in colleges and universities，the teaching can enable students grasp the knowledge system and the way of thinking better in mathematical analysis. The article first describes the connotation of mathematics culture. And then discuss the significance of incorporating mathematics culture into the course. Finally，by quoting teaching cases，the article states the methods of incorporating mathematics culture into the course of mathematical analysis from four different aspects.

Key words：educational reform；mathematical analysis；mathematics culture；teaching cases.