壓縮感知的高分辨率天文圖像去噪

張 杰,羅 超,史小平,劉曉坤

(1.哈爾濱工業大學 控制與仿真中心,哈爾濱 150080; 2.上海航天技術研究院,上海 201109)

壓縮感知的高分辨率天文圖像去噪

張 杰1,羅 超2,史小平1,劉曉坤1

(1.哈爾濱工業大學 控制與仿真中心,哈爾濱 150080; 2.上海航天技術研究院,上海 201109)

為提高高分辨率天文圖像的重構質量,在傳統壓縮感知(compressed sensing, CS)迭代小波閾值算法的基礎上,提出了一種基于小波維納濾波的壓縮感知去噪重構算法. 該算法的設計方法為：在每次迭代過程中,使用設計的小波維納濾波算子替代傳統的小波閾值算子對獲得的天文圖像小波系數進行篩選,從而對小波閾值去噪方法重建圖像過程中出現的偽吉布斯現象進行有效地抑制；然后使用全變差方法對去噪重建后的天文圖像進行調整,以進一步提高重構圖像的質量.仿真實驗結果表明,與傳統的迭代小波閾值算法相比,本算法可以獲得較優的去噪重建性能,并且能有效地保護高分辨率天文圖像的細節特征信息.此外,在壓縮比較高的情況下,該算法仍然可以獲得相對較高的視覺質量和峰值信噪比.

高分辨率; 天文圖像; 去噪; 壓縮感知; 小波維納濾波

對天文圖像進行采集和研究是深空探索的一個重要分支.從獲得的天文圖像中可以直接得知某一星體的地貌特征,是否存在未知生命等重要天文信息.由于采集得到的天文圖像一般為高分辨率圖像,這些圖像的存儲會給衛星或者其他探測設備自身攜帶的存儲空間帶來較大壓力.更為重要的是,天文圖像在采集和傳輸的過程中經常受到噪聲信號的干擾,從接收到的天文圖像中很難分辨出某些重要的特征信息,大部分接收到的圖像都要經過二次處理.然而,由于高分辨率圖像的數據量較大,目前存在的大部分去噪算法處理高維數據的能力有限,在圖像重構的過程中經常由于很難獲得足夠的原始信號信息導致重構圖像的質量較差[1-3].

為有效地解決高維信號的重構問題,國內外學者一直都在努力探索如何從高維信號中獲得一種低維的信號結構,并且同時保證這種低維結構保存了重構原始信號所需要的全部數據,然后利用這種低維數據精確重構原始高維信號.即,對高維信號進行壓縮,舍棄信號中非重要信息,直接使用信號中的重要信息進行信號重構.信號的稀疏表示[3-4]是目前探索信號內部低維結構的一種比較簡單的方式之一.

基于稀疏的思想,Donoho[5]在2006年提出了著名的信號采樣理論:壓縮感知理論[1-6].該理論指出:如果某一信號是稀疏的或者是可壓縮的,則該信號就可以從少量的觀測值中精確恢復.換言之,如果某一信號在某個正交基上是稀疏的,則可以使用一個低維測量矩陣對原始信號進行采樣以獲得低維數的信號觀測值.最后使用重建算法從低維觀測值中精確重構原始信號.

CS理論充分利用了信號的稀疏特性,并且在信號采樣的同時就已經完成了信號的壓縮過程.傳統的香農采樣定理要求信號的采樣速率必須大于或者等于2倍的信號帶寬,而CS理論使用低于2倍信號帶寬的采樣速率仍可精確重構原始信號.

CS理論包含3個重要部分:稀疏基的設計,測量矩陣的選取以及重構算法的設計.本文主要關注設計高性能去噪重建算法.經過近幾年的發展,學者提出了許多的CS去噪算法,如迭代收縮閾值類(iterative shrinkage-thresholding, IST)算法[7-8]、匹配追蹤類算法[9]、梯度方法[10]和Bregman迭代方法[11]等.通過分析可知,大部分CS去噪重建算法采用閾值的方法對原始信號進行去噪處理. 然而,由于經常使用的稀疏基如小波變換、輪廓波變換等缺乏平移不變性[12-13],采用閾值去噪會導致重構的圖像中出現偽吉布斯效應.因此,本文將小波維納濾波算子替代閾值算子對圖像的小波系數進行篩選,進而提出了基于小波維納濾波算子的CS重建算法.使用本文算法對高分辨率天文圖像進行去噪重建處理,實驗結果表明,本文算法能有效地提高天文圖像的重構質量,獲得較高的峰值信噪比.

1 壓縮感知去噪模型

經典的去噪問題可描述為

y=f+e.

式中:f為任意N×1信號；e為加性噪聲,本文考慮為零均值高斯白噪聲；y為含噪觀測值. 對于高維數信號,N值越大,則觀測值y的維數就越高,在圖像重構時,從y中尋找有效的原始先驗數據就越困難.

本文使用低維M×N(M?N)非自適應矩陣(CS測量矩陣)Φ對信號f進行觀測,進而得到低維含噪觀測值y:M×1,可描述為

(1)

由于M?N,因此從y中重構原始信號f是一個病態問題.然而由壓縮感知理論可知:如果信號在某個正交基Ψ上是稀疏的,同時測量矩陣Φ與正交基Ψ不相干,則原始信號就可以獲得高概率重建[1-4].同時,式(1)可以轉化為

式中s=Ψ-1f為稀疏系數.Θ=ΦΨ可以作為CS測量矩陣直接對稀疏系數進行觀測.本文將正交小波作為信號稀疏基Ψ.

正則化方法[14-15]經常用來求解以上病態問題,而這類方法通常轉化為滿足某些稀疏限制條件的最小lp范數問題進行求解,即

式中:λ為正則化參數;第1項為懲罰項,用來估計觀測值與計算值之間的偏差;第2項為正則化項,它代表原始信號的先驗信息；Ψ-1可以看作是正則化運算算子,根據針對不同先驗信息的Ψ-1,學者已經提出了許多的正則化方法,如全變差正則化.本文將CS重構問題轉化為最小l1范數問題來解決,可表示為

2 本文重構算法

在壓縮感知中,IST算法的設計過程比較簡單且易于實現,其迭代過程可描述為

式中HW(·)為閾值算子,通常考慮為硬閾值算子,可表示為

(2)

此外,從式(2)可以看出硬閾值函數在±T處存在斷點,在圖像重構的過程中會產生較大的震蕩效應,最終導致重構的圖像中出現偽吉布斯現象.為消除閾值函數的缺陷,本文將小波維納濾波算子代替硬閾值算子對天文圖像信息進行篩選.

2.1 小波維納濾波算子

對原始圖像進行隨機投影得到的觀測值為獨立同分布的高斯信號,可以認為是在原始清晰圖像中加入了高斯白噪聲[16-17].小波系數通常被認為是條件獨立的高斯隨機變量,而噪聲信號則是統計獨立的零均值高斯變量[18].因此原始含噪圖像的小波系數an可表示為

式中：ap為純凈圖像的小波系數,ζ為噪聲的小波系數.由于維納濾波器是一種最小均方誤差濾波器,因此濾波器系數c可以表示為

式中θ2(k)為小波系數方差,由于小波系數與噪聲信號兩者相互獨立,可以采用5×5 LAWMAP方法[18]進行計算,即

式中:Q為N(k)中的系數數量；N(k)為以an(k)為中心的5×5鄰域.參數λ可以采用文獻[18]中的方法進行計算.

本文設計的小波維納濾波算子HS(·)為

2.2 去噪算法

在圖像去噪中,全變差(total variation,TV)方法[19-20]能夠有效地抑制圖像中的偽吉布斯現象,提高重構圖像質量.因此,這里將全變差方法應用到本文的去噪算法當中,對重構的圖像進行調節.

本文算法的具體步驟總結如下：

1)初始化迭代次數m=1和重構圖像fm=0.

2)對原始圖像進行隨機投影觀測,得到含噪觀測值y=Φf+e.

3)計算小波維納濾波算子HS(·).

4)使用得到含噪觀測值y迭代重建圖像,可描述為

5)將得到的圖像fw進行小波變換,并使用小波維納濾波算子HS(·)對圖像的小波信息進行篩選,可描述為

6)通過小波逆變換fm=Ψfs,重建去噪后的圖像.

7)如果滿足迭代停止條件‖fm- fm-1‖ε,則進入步驟8);否則令m=m+1,重復步驟4)～6),進入下一次迭代過程.

8)利用式(3)對去噪重建的天文圖像fm進行TV調整.

(3)

其中q表示TV調整步長.同時,

9)輸出調整后的重構圖像.

3 實驗及分析

本文首先設定壓縮比為3,高斯白噪聲標準差σn=10,并引入峰值信噪比(PSNR)對重構圖像的質量進行評價.由于重構一幅高分辨圖像需要較長的時間,為節省重構時間(reconstruction time,RT),本文從大小為5 120×3 840的高分辨率圖像中取出部分1 024×1 024的圖像作為實驗圖像.為測試本文算法的去噪能力,將它與迭代硬閾值算法(IHT)、改進的正交匹配追蹤算法(IOMP)[21]和快速重建去噪算法[22]對比.首先測試拍攝的月球圖像,圖1顯示了不同算法的重構結果.

圖1 不同算法的重構結果

從圖1可以看出,與其他3種算法相比,本文算法能夠恢復一幅清晰的天文圖像,同時獲得的PSNR值較高,但是花費的重構時間較長.

設定σn=10,圖2顯示了不同算法隨壓縮比增加得到的PSNR和RT變化曲線.

圖2 不同算法得到的曲線

從圖2可以看出,隨著壓縮比的增大,不同算法的重構性能逐漸降低.但與其他算法相比,本文算法能獲得相對較高的PSNR值,同樣也需要相對較長的重構時間.從圖2中也可以注意到,當壓縮比較高時,本文算法仍可獲得相對較高的PSNR值.

測試1 024×1 024土星圖像,設定壓縮比為10和σn=10,圖3顯示了不同算法重構得到的圖像.從圖3可以看出,當壓縮比較高時,本文算法仍具有相對較好的去噪重建性能.

測試更多的天文圖像,表1顯示了當σn=10時,不同算法隨壓縮比降低時得到的PSNR.表2顯示了當壓縮比為3時,不同重構算法隨σn增加時重構得到的PSNR值.

圖3 不同算法重構得到的圖像

表1 不同壓縮比下得到的PSNR

從表1也可以看出,針對不同的天文圖像,本文算法仍然具有較好的去噪重建能力.從表2可以得知,隨著σn的增加,不同算法的去噪能力逐漸降低,但與其他算法相比,本文算法獲得的PSNR值相對較高.

表2 不同σn下得到的PSNR值

測試本文算法對天文圖像局部特征的重構能力,從高分辨率月球圖像中截取大小為512×512的局部特征圖像作為實驗圖像.設定壓縮比為3和σn=10,圖4顯示了文獻[22]算法和本文算法的重構結果.從重構圖像可以看出,本文算法能夠恢復較多的細節和紋理特征.

圖4 兩種算法重構結果

4 結 論

1)本文將小波維納濾波算子替代壓縮感知迭代閾值算法中的小波閾值對高分辨率天文圖像進行篩選,并使用全變差方法對獲得的重構圖像進行調整,進而提出了基于小波維納濾波的迭代閾值改進算法.

2)本文算法與IHT、IOMP和文獻[22]算法的對比結果表明,本文算法能夠獲得較優的重建性能,同時可以有效地保護高分辨率天文圖像的細節特征.當壓縮比較高時,該算法也能獲得相對較高的峰值信噪比.

3)盡管本文算法具有較優的去噪性能,但是消耗的重構時間相對較長,因此如何降低算法的重構時間是以后研究的重點.

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(編輯 張 紅)

High resolution astronomical image denoising based on compressed sensing

ZHANG Jie1, LUO Chao2, SHI Xiaoping1, LIU Xiaokun1

(1.Control and Simulation Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China; 2.Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai 201109, China)

To improve the quality of the reconstruction for high resolution astronomical image, a compressed sensing denoising and reconstruction algorithm, which combines wavelet with wiener filtering, is proposed based on the traditional compressed sensing (CS) iterative wavelet thresholding algorithm. The design method for this algorithm is that: a predesigned wavelet wiener filtering operator is used to replace the traditional wavelet threshold operator to select the wavelet coefficient of astronomical image in each iteration, thus the pseudo-gibbs phenomenon caused by the threshold denoising method in the reconstructed image can be suppressed effectively, and then the total variation method is used to adjust the reconstructed image for improving its quality. The experimental results show that the proposed algorithm can achieve better denoising and reconstruction performance, and can effectively protect the detailed feature information of high resolution astronomical image, compared with the traditional iterative wavelet thresholding algorithm. In addition, when the compression ratio is higher, the proposed algorithm can also help to the relatively higher visual quality and peak signal to noise ratio.

high resolution; astronomical image; denoising; compressed sensing; wavelet wiener filtering

10.11918/j.issn.0367-6234.201605061

2016-05-16

國家自然科學基金(61427809)

張 杰(1986—),男,博士研究生; 史小平(1965—),男,教授,博士生導師

史小平,sxp@hit.edu.cn

TN911.73

A

0367-6234(2017)04-0022-06